2019学年高中数学 4.1.3 球坐标系与柱坐标系学案 苏教版选修4-4.doc

14.1.34.1.3 球坐标系与柱坐标系球坐标系与柱坐标系1球坐标系、柱坐标系的理解2球坐标、柱坐标与直角坐标的互化基础·初探1球坐标系与球坐标(1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系图 4­1­5(2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，表示以Oz为始边，OP为终边的角，表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，)就叫做点P的球坐标，其中r0,0，02.2直角坐标与球坐标间的关系图 4­1­6若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的关系，如图 4­1­6 所示x2y2z2r2，xrsin_cos_，yrsin_sin_，2zrcos_.3柱坐标系建立了空间直角坐标系O­xyz后，设P为空间中任意一点，它在xOy平面上的射影为Q，用极坐标(，)(0,02)表示点Q在平面xOy上的极坐标，这时点P的位置可以用有序数组(，z)(zR R)表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(，z)叫做点P的柱坐标，记作P(，z)，其中0,02，zR R.图 4­1­74直角坐标与柱坐标之间的关系Error!思考·探究1空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成2在空间的柱坐标系中，方程0(0为不等于 0 的常数)，0，zz0分别表示什么图形？【提示】 在极坐标中，方程0(0为不等于 0 的常数)表示圆心在极点，半径为0的圆，方程0(0为常数)表示与极轴成0角的射线而在空间的柱坐标系中，方程0表示中心轴为z轴，底半径为0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的方程0表示与zOx坐标面成0角的半平面方程zz0表示平行于xOy坐标面的平面，如图所示常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面质疑·手记3预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_将点的柱坐标或球坐标化为直角坐标(1)已知点M的球坐标为，则点M的直角坐标为_(2，3 4，34)(2)设点M的柱坐标为，则点M的直角坐标为_(2， 6，7)【自主解答】 (1)设M(x，y，z)，则x2sin ·cos 1，3 43 4y2×sin ×sin 1，3 43 4z2×cos .3 42即M点坐标为(1,1，)2(2)设M(x，y，z)，则x2×cos ， 63y2×sin 1，z7. 6即M点坐标为(，1,7)3【答案】 (1)(1,1，) (2)(，1,7)23再练一题1(1)已知点P的柱坐标为，则它的直角坐标为_(4， 3，8)(2)已知点P的球坐标为，则它的直角坐标为_(4，3 4，4)【解析】 (1)由变换公式得：x4cos 2， 34y4sin 2，z8. 33点P的直角坐标为(2,2，8)3(2)由变换公式得：xrsin cos 4sin cos 2，3 4 4yrsin sin 4sin sin 2，3 4 4zrcos 4cos 2.3 42它的直角坐标为(2,2，2)2【答案】 (1)(2,2，8) (2)(2,2，2)32将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为 1，如图 4­1­8 建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标图 4­1­8【思路探究】 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可【自主解答】 点C1的直角坐标为(1,1,1)，设点C1的柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)，其中0，r0,0，02，由公式Error!及Error!得Error!及Error!得Error!及Error!结合图形得，由 cos 得 tan . 4332点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(， ，1)，球坐标为(，)，2 43 45其中 tan ，0.2化点M的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(，z)或球坐标(r，)，需要对公式Error!以及Error!进行逆向变换，得到Error!以及Error!提醒 在由三角函数值求角时，要先结合图形确定角的范围再求值再练一题2(1)设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标(2)设点M的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标2【导学号：98990006】【解】 (1)设M的柱坐标为(，z)，则有Error!解之得，.2 4因此，点M的柱坐标为.(2，4，1)(2)由坐标变换公式，可得r2.x2y2z21212 22由rcos z，2得 cos ，.2r22 4又 tan 1，(M在第一象限)，y x 4从而知M点的球坐标为.(2， 4，4)真题链接赏析(教材第 17 页习题 4.1 第 16 题)建立适当的球坐标系或柱坐标系表示棱长为 3 的正四面体的四个顶点结晶体的基本单位称为晶胞，如图 4­1­9(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体)图形中的点代表钠原子，如图 4­1­9(2)，建1 2立空间直角坐标系O­xyz后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标6(1) (2)图 4­1­9【命题意图】 本题以食盐晶胞为载体，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用【解】 下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是 0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)，(1， 2，0) (2，2，4) (1， 2，2)；(22，2，4)它们的柱坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，.(2，4，0) (1，2，0)(22，4，0)1已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为_【解析】 由点A的柱坐标为(1,0,1)知，1，0，z1，故xcos 1，ysin 0，z1，所以直角坐标为(1,0,1)【答案】 (1,0,1)2设点M的直角坐标为(1，1，)，则它的球坐标为_2【解析】 由坐标变换公式，r2.x2y2z2cos ，.tan 1，z r22 4y x .5 4故M的球坐标为.(2， 4，54)【答案】 (2， 4，54)3已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，这两个点在空间(2，4，5)(6，3，6)直角坐标系中点的坐标分别为_【导学号：98990007】7【解析】 设P(x，y，z)，则xcos1，2 4ysin1，z5，2 4P(1,1,5)设B(x，y，z)，则xsin cos ××，ysinsin×6 3 6632323 646 3 66× ，321 23 24z·cos × .6 361 262故B(，)3 643 2462【答案】 P(1,1,5)，B(，)3 643 24624把A(4， ，2)、B(3， ，2)两点的柱坐标化为直角坐标，则两点间的距离为 6 4_【解析】 点A化为直角坐标为A(2，2,2)，点B化为直角坐标为B3.(3 22，3 22，2)AB222(22)(2 33 22)(23 22)212 64 616416()9 269 2262所以AB.416 6 2【答案】 416 6 2我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_