第二讲MATLAB的数值计算.ppt

MATLAB程序设计基础MATLAB的数值计算Matlab的数据类型o变量 变量不需要事先声明，也不需要指定变量类型，它会自动根据所赋予变量的值或对变量的操作来确定变量的类型；赋值过程中，如果变量已存在，则用新值代替旧值，以新的类型代替旧的类型。变量的命名规则：l变量名区分大小写；l变量名长度不超过31位，第31位之后的字符被忽略；l变量名以字母开头，变量名中可以包含字母、数字、下划线，但不能使用标点。变量一般为局部变量，即仅在其调用的M文件内部有效；若要定义全局变量，须在变量前加关键字global。o常量 matlab中预定义的一些特殊的量。i,j 虚数单位Realmin 最小的正浮点数，pi 圆周率Realmax 最大的浮点数，eps 浮点运算的相对精度Inf 无穷大 NaN not a number，不定值 例如：?pians=3.1416?1/0Warning:Divide by zero.ans=Inf?0/0Warning:Divide by zero.ans=NaNo定义变量时应避免与常量名相同，如果改变了某个常量的值，可以用clear命令来恢复。?pi=1pi=1?clear pi?pians=3.1416o数字变量l数字变量的运算?258*369ans=95202?x=258*369x=95202?1233ans=1860867?sqrt(ans)ans=1.3641e+003l数字的输入输出格式 缺省为实数保留小数点后4位浮点数表示。其输入格式与C语言一致：如：9-73 0.1999 1.475e6 输出格式由format命令控制，只是影响屏幕显示效果，不影响内部存储和计算。?format long;pians=3.14159265358979?format long e;pians=3.141592653589793e+000?format long g;pians=3.14159265358979o字符串l1、字符串的约定字符串用单引号输入或赋值；字符串的每个字符都是都是字符数组的一个元素；字符串和字符数组基本上等价。?s=symbolics=symbolic?size(s)ans=1 8?s(3)ans=ml字符串的转换 double 字符串转换为数值代码 num2str 数字转换为字符串 int2str 整数转换为字符串 mat2str 矩阵转换为字符串 str2num 转换字符串为数字?double(s)ans=49 50 51 50 51 52l字符串操作 strcat strcmp strvcat strncmp findstr upper lower blanks deblank l执行字符串?t=1/(a*b-1);a=2;b=3;c=eval(t)c=0.2000o结构型变量 由函数struct定义，以指针操作符“.”连接结构型变量名与属性名。结构型变量名结构型变量名struct（元素名（元素名1，元素值，元素值1，元素名，元素名2，元素值，元素值2，）?c=struct(c1,1,c2,1 2 3 4,c3,abcd)c=c1:1 c2:1 2 3 4 c3:abcd?c.c2ans=1 2 3 4?c.c3ans=abcdo单元型变量 单元型变量为任意类型的多维数组，其定义需用大括号，元素间用逗号隔开。?a=1,2;3,4a=1 2 3 4?b=1:4,a,abcdb=1x4 double 2x2 double abcd?cellplot(b)单元型变量元素的引用采用大括号为下标标识，用小括号只显示该元素的压缩形式。?b2ans=1 2 3 4?b(2)ans=2x2 doubleo向量 向量元素用“”括起来，元素间用空格、逗号或分号分隔；注意：空格和逗号分隔成行向量，分号分割成列向量。注意：空格和逗号分隔成行向量，分号分割成列向量。l冒号表达式生成向量 基本格式：xx1:step:x2 xx1:x2?a=1:2:12a=1 3 5 7 9 11?a=12:-2:1a=12 10 8 6 4 2?a=1:6a=1 2 3 4 5 6l线性等分向量生成 y=linspace(x1,x2)生成100维行向量 y=linspace(x1,x2,n)生成n维行向量?a=linspace(1,100,6)a=1.0000 20.8000 40.6000 60.4000 80.2000 100.0000l对数等分向量生成 y=logspace(x1,x2)生成50维对数等分向量，y(1)=10 x1 y(50)=10 x2 y=logspace(x1,x2,n)生成n维对数等分向量y(1)=10 x1 y(n)=10 x2?a=logspace(0,5,6)a=1 10 100 1000 10000 100000o向量的基本运算l与数运算a=1.0000 20.8000 40.6000 60.4000 80.2000 100.0000?a-1ans=0 19.8000 39.6000 59.4000 79.2000 99.0000?a*2ans=2.0000 41.6000 81.2000 120.8000 160.4000 200.0000l点积计算 指两个向量在其中一个向量方向上的投影的乘积。dot(a,b)a,b必须同维。?a=1 2 3;?b=3,4,5;?dot(a,b)ans=26?sum(a.*b)ans=26l叉积 表示过两相交向量的交点的垂直于两向量所在平面的向量。cross（a，b）a，b必须为三维向量。l混合积?c=cross(a,b)c=-2 4 -2?dot(a,cross(b,c)ans=24o矩阵大型矩阵通借助M文件来输入。?A=1,2,3;4,5,6;7,8,9A=1 2 3 4 5 6 7 8 9?a=1 2 34 5 67 8 9a=1 2 3 4 5 6 7 8 9x=rand(1,5)%产生的均布随机数组产生的均布随机数组 x=0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 x(3)%寻访数组寻访数组x的第三个元素。的第三个元素。ans=0.6068 x(1 2 5)%寻访数组寻访数组x的第一、二、五个元素组成的子数组。的第一、二、五个元素组成的子数组。ans=0.9501 0.2311 0.8913 x(1:3)%寻访前三个元素组成的子数组寻访前三个元素组成的子数组 ans=0.9501 0.2311 0.6068 x(3:end)%寻访除前寻访除前2个元素外的全部其他元素。个元素外的全部其他元素。end是最后一是最后一个元素的下标。个元素的下标。ans=0.6068 0.4860 0.8913 常用的特殊矩阵单位矩阵：eye(m,n);eye(m)零 矩 阵：zeros(m,n);zeros(m)一 矩 阵：ones(m,n);ones(m)对角矩阵：对角元素向量 V=a1,a2,an A=diag(V)随机矩阵：rand(m,n)产生一个mn的均匀分别的随机矩阵eye(2,3)ans=1 0 0 0 1 0zeros(2,3)ans=0 0 0 0 0 0ones(2,3)ans=1 1 1 1 1 1V=5 7 2;A=diag(V)A=5 0 0 0 7 0 0 0 2eye(2)ans=1 0 0 1zeros(2)ans=0 0 0 0ones(2)ans=1 1 1 1 如果已知A为方阵，则V=diag(A)可以提取A的对角元素构成向量V。其他特殊矩阵 compan 友矩阵函数 magic 魔方矩阵 hankel Hankel矩阵 rosser 对称特征值测试矩阵 hilb Hilbert矩阵 pascal Pascal矩阵 invhilb 反Hilbert矩阵 vander 范德蒙矩阵 o矩阵的基本运算l加减运算 要求两矩阵必须同阶。?a=1 2 3;2 3 4;3 4 5;?b=1 1 1;2 2 2;3 3 3;?c=a+bc=2 3 4 4 5 6 6 7 8l乘法 要求a为ij阶，b为jk阶时，ab才能相乘。?e=b,5 5 5e=1 1 1 5 2 2 2 5 3 3 3 5?f=a*ef=14 14 14 30 20 20 20 45 26 26 26 60l除法左除“”:相当于Ax=B的解，x=A-1B。右除“/”：相当于xA=B的解，x=BA-1 A-1B=(BA-1)。通常，右除稍快一些，而左除可以避免奇异性。对于AxB，其中A为（nm）阶矩阵：n=m且非奇异时，方程为恰定方程；nm方程为超定方程；nm 方程为欠定方程。?A=1 2 3;4 5 6;7 8 0;1 3 5;?B=1 3 5;2 4 6;?A/Bans=0 0.5000 -3.0000 3.5000 -12.0000 10.2500 1.0000 0.0000?(BA)ans=0 0.5000 -3.0000 3.5000 -12.0000 10.2500 1.0000 0.0000l矩阵与常数的运算 常数与此矩阵的各元素之间进行运算。注意：进行数除时，常数通常只能做除数。l矩阵的逆运算 函数 inv?A=2 1-3-1;3 1 0 7;-1 2 4-2;1 0-1 5;?inv(A)ans=-0.0471 0.5882 -0.2706 -0.9412 0.3882 -0.3529 0.4824 0.7647 -0.2235 0.2941 -0.0353 -0.4706 -0.0353 -0.0588 0.0471 0.2941l矩阵的行列式运算 函数 det?A=2 1-3-1;3 1 0 7;-1 2 4-2;1 0-1 5;?a1=det(A)a1=-85?a2=det(inv(A)a2=-0.0118?a1*a2ans=1l矩阵的幂运算 与数字的幂运算形式相同，用“”算符。l矩阵的指数运算 常用函数 expm expm1 expm2 expm3l矩阵的对数运算 函数 logml矩阵的开方运算 函数 sqrtm?b=magic(3)b=8 1 6 3 5 7 4 9 2?sqrtm(b)ans=2.7065+0.0601i 0.0185+0.5347i 1.1480-0.5948i 0.4703+0.0829i 2.0288+0.7378i 1.3739-0.8207i 0.6962-0.1430i 1.8257-1.2725i 1.3511+1.4155i?b0.5ans=2.7065+0.0601i 0.0185+0.5347i 1.1480-0.5948i 0.4703+0.0829i 2.0288+0.7378i 1.3739-0.8207i 0.6962-0.1430i 1.8257-1.2725i 1.3511+1.4155io矩阵的基本函数运算l特征值函数 函数 x,y=eig(A)可以给出特征值和特征向量的值 x为特征向量矩阵，y为特征值矩阵。?A=7 3-2;3 4-1;-2-1 3;?x,y=eig(A)x=0.5774 0.0988 -0.8105 -0.5774 -0.6525 -0.4908 0.5774 -0.7513 0.3197y=2.0000 0 0 0 2.3944 0 0 0 9.6056l奇异值函数 函数 svd svdsl矩阵翻转 函数 fliplr flipud rot90a=7 3 -2 3 4 -1 -2 -1 3?fliplr(a)ans=-2 3 7 -1 4 3 3 -1 -2?flipud(a)ans=-2 -1 3 3 4 -1 7 3 -2?rot90(a)ans=-2 -1 3 3 4 -1 7 3 -2l范数函数 函数 norm（X，P）P1 1范数 P2 2范数 Pinf 无穷范数 Pfro F范数 norm（X）norm（X，2）l秩函数 函数 ranke=1 1 1 5 2 2 2 2 3 3 3 5?rank(e)ans=2l迹函数 矩阵所有对角线上元素的和称为矩阵的迹。函数 tracel正交空间函数 函数 orth 用来求矩阵的一组正交基。l条件数函数 判断矩阵的“病态”程度。函数 cond 计算矩阵的条件数的值 condest 计算矩阵的1范数条件数的估计值 rcond 计算矩阵的条件数的倒数值l伪逆函数 函数 pinv 求解“病态”问题时，避免产生伪解。?a=magic(4)a=16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1?b=a*1 1 1 1;?inv(a)*bWarning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=1.567374e-017.ans=0 8 0 0?pinv(a)*bans=1.0000 1.0000 1.0000 1.0000l通用函数形式 通用函数调用格式 funm（A，funname）funname包括sin sinh asin asinh cos cosh acos acosh tan exp log log2 pow2 sqrt abs?funm(a,sqrt)ans=3.7584-0.2071i -0.2271+0.4886i 0.3887+0.7700i 1.9110-1.0514i 0.2745-0.0130i 2.3243+0.0306i 2.0076+0.0483i 1.2246-0.0659i 1.3918-0.2331i 1.5060+0.5498i 1.4884+0.8666i 1.4447-1.1833i 0.4063+0.4533i 2.2277-1.0691i 1.9463-1.6848i 1.2506+2.3006i?sqrtm(a)ans=3.7584-0.2071i -0.2271+0.4886i 0.3887+0.7700i 1.9110-1.0514i 0.2745-0.0130i 2.3243+0.0306i 2.0076+0.0483i 1.2246-0.0659i 1.3918-0.2331i 1.5060+0.5498i 1.4884+0.8666i 1.4447-1.1833i 0.4063+0.4533i 2.2277-1.0691i 1.9463-1.6848i 1.2506+2.3006i?sqrt(a)ans=4.0000 1.4142 1.7321 3.6056 2.2361 3.3166 3.1623 2.8284 3.0000 2.6458 2.4495 3.4641 2.0000 3.7417 3.8730 1.0000p矩阵分解函数l特征值分解V,D=eig(X)矩阵的特征值分解：XVVDV,D=eig(X,nobalance)关闭平衡算法的求解方法（平衡算法对于某些问题可以得到更高的精度）。V,D=eig(A,B)广义特征值分解：AVBVD?a=-149-50-154;537 180 546;-27-9-25;?v,d=eig(a)v=0.3162 0.4041 0.1391 -0.9487 -0.9091 -0.9740 0.0000 -0.1010 0.1789d=1.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 3.0000?b=2 10 2;10 5-8;2-8 11;?v,d=eig(a,b)v=0.8211 -0.3138 -0.0191 -0.3452 0.9495 -0.9441 -0.4546 -0.0044 0.3290d=12.9030 0 0 0 -0.0045 0 0 0 0.0706l奇异值分解 U,S,V=svd(X)其中XUSV?a=1;1;?U,S,V=svd(a)U=0.7071 -0.7071 0.7071 0.7071S=1.4142 0V=1 lLU分解 L,U=lu(A)又称三角分解，目的是分解成一个下三角阵L和一个上三角阵U的乘积，即ALU?a=1 2 3;2 4 1;4 6 7;?l,u=lu(a)l=0.2500 0.5000 1.0000 0.5000 1.0000 0 1.0000 0 0u=4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000注意：L实际上是一个“心理上”的下三角矩阵，它事实上是一个置换矩阵P的逆矩阵与一个真正下三角矩阵L1（其对角线元素为1）的乘积。?l,u,p=lu(a)l=1.0000 0 0 0.5000 1.0000 0 0.2500 0.5000 1.0000u=4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000p=0 0 1 0 1 0 1 0 0?inv(p)*l*uans=1 2 3 2 4 1 4 6 7p为置换矩阵，此时满足AP-1LUlChol分解 如果A为n阶对称正定矩阵，则存在一个非奇异下三角实矩阵L，使得ALLT,当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的。?a=4-1 1;-1 4.25 2.75;1 2.75 3.5;?chol(a)ans=2.0000 -0.5000 0.5000 0 2.0000 1.5000 0 0 1.0000l正交分解 AQR?a=1 1 1;2-1-1;2-4 5;?q,r=qr(a)q=-0.3333 -0.6667 -0.6667 -0.6667 -0.3333 0.6667 -0.6667 0.6667 -0.3333r=-3 3 -3 0 -3 3 0 0 -3将矩阵A做正交化分 解，使 得Q*R=A，其 中 Q为正交矩阵（其范 数 为 1，指 令norm(Q)=1)，R为对角化的上三角矩阵。矩阵的特殊操作p变维lreshape(X,M,N)X变为MN维lreshape(X,M,N,P,)X变为MNP 或reshape(X,M N P)l“：”操作符?a=1:12;?b=reshape(a,2,6)b=1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 12?c=zeros(4,3);?c(:)=a(:)c=1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12p矩阵抽取l对角元素抽取 diag（X,k）抽取X的第k条对角线元素，k=0为主对角线，上对角线为正值，下对角线为负值。diag（X）抽取主对角线元素?a=pascal(4)a=1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20?v=diag(a)v=1 2 6 20?v=diag(a,2)v=1 4l三角阵的抽取 tril(X)提取X的主下三角部分 tril(X,k)提取X的第k条对角线下面的元素 triu(X)提取X的主上三角部分 triu(X,k)提取X的第k条对角线上面的元素?al=tril(a,-1)al=0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1 4 10 0?au=triu(a,-1)au=1 1 1 1 1 2 3 4 0 3 6 10 0 0 10 20o稀疏矩阵 用元素的行列号和元素值来存储一个元素。?a=speye(100)a=(1,1)1 (2,2)1 (3,3)1 (4,4)1 (99,99)1(100,100)1?b=eye(100);?whos a b Name Size Bytes Class a 100 x100 1604 sparse array b 100 x100 80000 double arrayGrand total is 10100 elements using 81604 bytesl常规矩阵转换为稀疏矩阵 sparse(A)?a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;?b=sparse(a)b=(1,1)1 (2,1)4 (3,1)7 (1,2)2 (2,2)5 (3,2)8 (1,3)3 (2,3)6?whos a b Name Size Bytes Class a 3x3 72 double array b 3x3 112 sparse arrayGrand total is 17 elements using 184 bytes sparse(i,j,s,n,m,nzmax)sparse(i,j,s,n,m)sparse(i,j,s,n)n,m为生成稀疏矩阵的行列数，i,j,s为子矩阵，nzmax最多的非零元素数l稀疏矩阵转换为常规矩阵 full（）数组及其运算 数组的建立、存储完全同于矩阵，由于计算的不同，把相同型矩阵之间的运算称为数组运算。p基本数组运算l数组的四则运算 普通运算同矩阵的运算，另有点运算“.*”、”./”、”.”，即两数组对应元素之间的运算。?a1=1 2 3;2 3 4;3 4 5;?b1=1 1 1;2 2 2;3 3 3;?a1./b1ans=1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 1.5000 2.0000 1.0000 1.3333 1.6667?a1.b1ans=1.0000 0.5000 0.3333 1.0000 0.6667 0.5000 1.0000 0.7500 0.6000l数组与常数运算 与矩阵的运算一致。l数组的幂运算 “.”表示每个数组元素的幂运算。?a=pascal(4)?a3ans=69 224 504 944 224 741 1680 3160 504 1680 3821 7200 944 3160 7200 13581?a.3ans=1 1 1 1 1 8 27 64 1 27 216 1000 1 64 1000 8000l数组的指数运算、对数运算和开方运算 分别为exp、log和sqrt，其运算实质是针对数组内部的每个元素进行。l数组函数运算 通用形式为funname（A），funname为函数名。l数组逻辑运算关系比较的结果由0和1组成，关系满足时对应值为1，否则为0。逻辑与 运算双方的对应元素都非0时，为1，否则为0 逻辑或 运算双方的对应元素有一非0时，为1，否则为0 逻辑非 运算数组对应的值为0时结果为1，否则为0运算双方有一方为常数时，结果与数组同维，是数组元素依次与常数比较的结果。基本逻辑运算 =等于eq =不等于ne 大于gt =大于等于ge&逻辑与and|逻辑或or 逻辑非not?a=1:3;4:6;7:9;?x=5;?y=ones(3)*5;?xa=x=axa=0 0 0 0 1 1 1 1 1?b=0 1 0;1 0 1;0 0 1;?ab=a&bab=0 1 0 1 0 1 0 0 1?nb=bnb=1 0 1 0 1 0 1 1 0逻辑关系函数any向量的任意元素不为0则返回真all向量的所有元素不为0则返回真xor逻辑或非isempty判断空矩阵isequal判断相等矩阵isnumeric判断数值矩阵islogical 判断逻辑数组logical转换数值为逻辑型isnan判断不定数isinf判断无穷大元素isfinite判断有限大元素find寻找非零元素坐标?a=magic(5);?a(:,3)=zeros(5,1)a=17 24 0 8 15 23 5 0 14 16 4 6 0 20 22 10 12 0 21 3 11 18 0 2 9?a1=all(a(:,1)3)a2=1 1 0 0 0?a11=any(a(:,1)10)a11=1?a22=any(a10)a22=1 1 0 1 1?a=1:5;?a=1./aa=1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000?f1=find(a)f1=1 2 3 4 5?f1=find(abs(a)0.4|abs(a)0.23)f1=1 2 5