2019学年高中数学 4.2.1 曲线的极坐标方程的意义学案 苏教版选修4-4.doc

14.2.14.2.1 曲线的极坐标方程的意义曲线的极坐标方程的意义1理解曲线的极坐标方程的意义2掌握求曲线的极坐标方程的基本方法和一般步骤3掌握曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化基础·初探1曲线的极坐标方程一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(，)0；并且，极坐标适合方程f(，)0 的点都在曲线上那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线2求曲线的极坐标方程的基本步骤(1)建系(建立适当的极坐标系)；(2)设点(在曲线上任取一点P(，)，使点与坐标对应)；(3)列式(根据曲线上的点所满足的条件列出等式)；(4)化简(用极坐标，表示上述等式，化简得极坐标方程)；(5)证明(证明所得的方程是曲线的极坐标方程)3直角坐标方程与极坐标方程的互化Error!或Error!思考·探究1曲线的极坐标方程与直角坐标方程的含义有什么不同？【提示】 由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(，)，(，2)，(，)，(，)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可例如对于极坐标方程，点M(，)可以表示为(，2)或(， 4 4 4 4 42)或(，)等多种形式，其中，只有(，)的极坐标满足方程. 4 45 4 4 42在极坐标系内，如何确定某一个点P是否在某曲线C上？【提示】 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标2系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一个坐标适合曲线C的方程即可质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_求曲线的极坐标方程(1)求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程； 4(2)在极坐标系中，求半径为r，圆心为C的圆的极坐标方程(r，3 2)【自主解答】 (1)如图，设M(，)(0)为直线上除点A以外的任意一点，则xAM， 4OAM，3 4OMA， 4在OAM中，由正弦定理得，OM sinOAMOA sinOMA即，所以sin()，sin341sin4 422即(sincos cossin )， 4 4223化简，得(cos sin )1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1.(2)由题意知，圆经过极点O，设OA为其一条直径，设M(，)为圆上除点O，A以外的任意一点，如图，则OA2r，连接AM，则OMMA，在 RtOAM中，OMOAcosAOM，即2rcos()，即2rsin ，3 2经验证，点O(0,0)，A(2r，)的坐标皆满足上式，3 2所以满足条件的圆的极坐标方程为2rsin .再练一题1(1)求从极点出发，倾斜角为的射线的极坐标方程 4(2)在极坐标平面上，求圆心为A，半径为 5 的圆的方程(8， 3)【导学号：98990009】【解】 (1)设M(，)是所求射线上的任意一点，则射线OM就是集合Error!.所以所求射线的极坐标方程是(0) 4(2)在圆上任取一点P(，)，那么，在AOP中，OA8，AP5，AOP 3或.由余弦定理得 528222×8××cos()， 3 3即216cos390 为所求圆的极坐标方程.( 3)直角坐标方程与极坐标方程的互化进行直角坐标方程与极坐标方程的互化(1)y24x；(2)y2x22x10；(3)； 3(4)cos21；(5)2cos 24；(6). 21 2cos 【自主解答】 (1)将xcos ，ysin 代入y24x，4得(sin )24cos ，化简得sin24cos .(2)将xcos ，ysin 代入y2x22x10 得(sin )2(cos )22cos 10，化简得22cos 10.(3)tan .tan ，化简得yx(x0)y x 3y x33(4)cos21.1 即cos 2. 21cos 2x2，化简得y24(x1)x2y2(5)2cos 24，2(cos2sin2)4，即2cos22sin24，x2y24.(6)，2cos 1，1 2cos 2x1，化简得 3x24y22x10.x2y2再练一题2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化(1)yx；(2)x2y21；(3)cos 2；(4)2cos .3【解】 (1)将xcos ，ysin 代入yx得sin cos ，33从而. 3(2)将xcos ，ysin 代入x2y21，得2cos22sin21，化简，得2.1 cos 2(3)cos 2，x2，是过点(2,0)且垂直于x轴的直线(4)2cos ，22cos ，x2y22x0，即 (x1)2y21.故曲线是圆心在(1,0)，半径为 1 的圆.极坐标方程的应用已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos 3，4cos (0,0)，求曲线C1与C2交点的极坐标【思路探究】 联立两极坐标方程求解、即为交点的极坐标【自主解答】 联立方程组得Error!即 4cos23，cos ±.325又0，0，. 6将代入方程组，得2， 63C1与C2交点的极坐标为(2，)3 6解决极坐标系中曲线问题大致有两种思路：化方程为直角坐标方程再处理；根据、的几何意义，数形结合再练一题3在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是cos() 43和sin28cos ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长2【解】 直线l与曲线C的直角坐标方程分别是xy6 和y28x.解方程组Error!得Error!或Error!设A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.182212422真题链接赏析(教材第 32 页习题 4.2 第 5 题)将下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1)sin3；(2)5sin；( 4)( 6)(3)2cos 216；(4).6 12cos 若曲线的极坐标方程为2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_【命题意图】 本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】 2sin 4cos ，22sin 4cos ，x2y22y4x，即x2y22y4x0.【答案】 x2y22y4x01在极坐标系中有如下三个结论：点P在曲线C上，则点P的极坐标满足C的极坐6标方程；tan 1(R R)和(R R)表示同一条曲线；1 和1 表示 4同一条曲线其中正确的命题是_(填写相应的序号)【解析】 在极坐标系中，曲线上的点的极坐标中必有满足曲线方程的坐标，但不一定所有坐标都满足极坐标方程，错误；tan 1(R R)和 (R R)均表示经过 4极点倾斜角为的直线，正确；1 和1 均表示以极点为圆心，1 为半径的圆， 4正确【答案】 2在极坐标系中，过点P且垂直于极轴的直线方程为_(3， 3)【导学号：98990010】【解析】 设直线与极轴的交点为A，则OAOP·cos ，又设直线上任意一点M(，)， 33 2则OM·cos OA，即cos .3 2【答案】 cos 3 23极坐标方程1 表示_【解析】 由1 得21，即x2y21，故表示圆【答案】 圆4在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是_【解析】 由2sin 得22sin ，化成直角坐标方程为x2y22y，化成标准方程为x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为(1，) 2【答案】 (1，) 2我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_7(2)_