第四节函数的极限重要极限无穷大与无穷小.ppt

第四节第四节 函数的极限函数的极限一、函数极限的定义一、函数极限的定义二、函数极限的性质和计算二、函数极限的性质和计算三三、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量四、小结与思考判断题四、小结与思考判断题一、函数极限的定义 本本节节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限限.函数的极限与自变量的变化过程有关函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研主要研究两种情形：究两种情形：函数的极限六种存在形式函数的极限六种存在形式即函数极限的两种主要形式如下即函数极限的两种主要形式如下1.自变量趋于有限值时函数的极限 考虑自变量考虑自变量 趋近于有限值趋近于有限值 ，记这一变，记这一变化过程为化过程为 仿照数列极限的定义，给出仿照数列极限的定义，给出 时函数时函数的极限的定义的极限的定义.则则讨论单侧极限2函数值无限接近于函数值无限接近于2.2.函数值无限接近于函数值无限接近于2.2.左极限右极限记作记作左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例1证结论：小结小结注：注：分段函数分点处的极限，分段函数分点处的极限，要分要分 别求左极限和右极限别求左极限和右极限.证明函数极限证明函数极限不存在不存在的方法是的方法是:(1)(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在；证明左极限与右极限至少有一个不存在；(2)或或证明左极限和右极限均存在证明左极限和右极限均存在,但不相等。但不相等。2.自变量趋于无穷大时函数的极限 自变量自变量 表示表示 及及 ，对正数对正数 ，表示表示 及及 .定义2 如果对于任意给定的正数（不论它多么如果对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在着正数小）总存在着正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 的一切的一切 ，所对应的函数值，所对应的函数值 都满足不等式都满足不等式那么常数那么常数 就叫函数就叫函数 当当 时的极限，时的极限，记作记作 另两种情形:结论结论：二、函数极限的性质 1.局部有界性定理若在某个过程下,)(xf有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后)(xf有界.定理,2.唯一性 若)(limxf存在 则极限唯一.定理定理(保号性保号性)推论推论3.局部保号性定理定理1极限的四则运算法则三、极限的运算法则推论1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2推论推论3 3数数,则则定理定理1 1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到给出了极限的四则运算法则，它可以推广到或或以及（以及（3）中的某些情形：）中的某些情形：（1）当时，而）当时，而时，（2 2）当时，而时，）当时，而时，（3 3）当时，而时，）当时，而时，（4 4）当时，而时，）当时，而时，（5 5）当时，而时，）当时，而时，.,0)(0则商的法则不能应用可用推广的则商的法则不能应用可用推广的若若=xQ公式求公式求例1求解当时，分子、分母的极限都为零，此时当时，分子、分母的极限都为零，此时不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约去无穷小因子的方法将函数变形后求极限去无穷小因子的方法将函数变形后求极限例2求求极限极限解当时，分子分母都趋于无穷大，当时，分子分母都趋于无穷大，用无穷大因子去用无穷大因子去除除分子分母，然后再求极限分子分母，然后再求极限解：原式解：原式 例例3 求求解解:原式原式又例又例:求求 极限存在准则极限存在准则 四、两个重要极限四、两个重要极限(1)注注此此结论可推广到结论可推广到注意注意：解解例例2 求求xxx3sinlim0解解xxx3sinlim0解解例例4 4解解解解 当当 n时时,因此因此例例6 6,有有例例5 5 求求 解解例例7 7 求求解解于是于是练习练习解解(2)利用数列公式利用数列公式用变量代换可求出用变量代换可求出此结论可推广到此结论可推广到注注 注意注意：例例 1 解解例例2 2解解一般地一般地例例3 3 求求解一解一解二解二例例4 求求解解例5解解解解解解解练习练习解解.解解.4.思考题思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.思考题思考题求极限求极限思考题解答思考题解答 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一、无穷小量一、无穷小量 在实际应用中，经常会遇到极限为在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义论价值，值得我们单独给出定义定义定义1:在在x的某一变化过程中的某一变化过程中,函数函数f(x)极限为零极限为零,称称f(x)为该过程的为该过程的无穷小量无穷小量（简称（简称无穷小无穷小）.当当例如例如 :函数函数 当当时为无穷小时为无穷小;函数函数 时为无穷小时为无穷小;注意注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；变化过程；2.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.无穷小无穷小证证 必要性必要性充分性充分性意义意义 将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);无穷小的性质无穷小的性质（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.（1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.（3 3）在同一过程中）在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.（4 4）常数与无穷小的乘积是无穷小）常数与无穷小的乘积是无穷小.例例1 1解解二、无穷大量二、无穷大量记作记作 记作记作 注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系意义意义 据此定理，据此定理，关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结都可归结为关于无穷小的讨论为关于无穷小的讨论.若若为无穷大为无穷大,为无穷小为无穷小 ;若若为无穷小为无穷小,且且则则为无穷大为无穷大.则则定理定理3 3 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,0C 型型再利用再利用无穷无穷小小与无穷与无穷大大 之间的关系之间的关系,可得可得:解解例例3 3解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)【注】【注】对对 型型的有理式函数的的有理式函数的极限极限,由于分子分母极限由于分子分母极限为为 ,极限不存在极限不存在 ,不能用法则不能用法则 ,先对分子先对分子、分母同分母同除以除以x的最高次幂再求极限。的最高次幂再求极限。练习：练习：求求解解一般地一般地 ,设设0,000 ba ,nm,为正整数为正整数 ,则则解解2.3.3 极限的复合运算法则极限的复合运算法则定理定理5 5 （极限复合运算法则极限复合运算法则变量代换法则变量代换法则）例例5 5解解三、小结函数极限的统一定义(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 4.无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理.2、几点注意、几点注意:（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;3.两个重要极限