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第第1 1章章 直角三角形直角三角形1.4 1.4 角平分线的性质角平分线的性质第第1 1课时课时 角平分线的性质（角平分线的性质（1 1）湘教版八年级数学下册湘教版八年级数学下册 1.1.点到直线距离点到直线距离:从直线外一点从直线外一点 到这条直线的到这条直线的垂线段垂线段的的长度长度，叫做叫做点到直线的距离。点到直线的距离。PABOPOPO的的长度长度说一说如图，线段如图，线段PO的长度叫点的长度叫点P到直线到直线AB的距离。的距离。2.2.角平分线的定义：角平分线的定义：从角的顶点出发引出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。如图，射线如图，射线OCAOB的平分线。的平分线。oBCA 1 2AOBC如图，在纸上画一个角如图，在纸上画一个角AOB，（1）用折叠法画出）用折叠法画出AOB的平分线；的平分线；（2）在）在AOB的平分线的平分线OC上任取一点上任取一点P，过点，过点P作作PD OA,PE OB，垂足分别为点，垂足分别为点D,E，试问，试问PD与与PE相等吗？相等吗？PED将将AOB沿沿OC对折，对折，PD与与PE会重合，即会重合，即PD=PE你能证明吗？你能证明吗？AOBCPED证明：证明：PDOA，PEOB PDO=PEO=90在在PDO和和PEO中中 PD=PE PDO PEO（AAS）PDO=PEO AOC=BOC OP=OP角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.由此得到角平分线的性质定理：由此得到角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等.用符号语言表示为：用符号语言表示为：1=2 PD OA，PE OBPD=PE.P PA AO OB BC CE ED D1 12 2角平分线的性质定理角平分线的性质定理推理的理由有推理的理由有三个三个，必须写，必须写完全，不能少了任何一个。完全，不能少了任何一个。结论结论定理的作用：定理的作用：证明线段相等证明线段相等如图，点如图，点P在在AOB的内部，作的内部，作PD OA，PE OB，垂足分别，垂足分别为点为点D，E，若，若PD=PE.那么点那么点P在在AOB的平分线上吗？的平分线上吗？OEBADP分析：分析：只要画射线只要画射线OP，证明，证明OP平分平分 AOB即可。即可。动脑筋动脑筋角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？C证明：过点证明：过点O,P作射线作射线OC.PDOA，PEOB PDO=PEO=90在在PDO和和PEO中中 OC是是AOB的平分线，的平分线，PD=PE,OP=OP.Rt PDO Rt PEO（HL）OEBADPCAOC=BOC即点即点PAOB的平分线的平分线OC上。上。角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.由此得到角平分线的性质定理的逆定理：由此得到角平分线的性质定理的逆定理：用几何语言表示为：用几何语言表示为：PD=PE PD OA，PE OB1=2.即点即点PAOB的平分线的平分线OC上。上。P PA AO OB BC CE ED D1 12 2角平分线的性质定理的逆定理角平分线的性质定理的逆定理推理的理由有推理的理由有三个三个，必须写，必须写完全，不能少了任何一个。完全，不能少了任何一个。结论结论角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.定理的作用：定理的作用：证明点的位置证明点的位置 判判 定定 定定 理理性质定理性质定理 角的平分线上的点到这个角的两角的平分线上的点到这个角的两 边的距离相等。边的距离相等。判定定理判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点角的内部到角的两边距离相等的点 在角的平分线上。在角的平分线上。ABOPDE12如图，如图，PD OA，PE OB点点P在在AOB的的平分线上平分线上PD=PE例例1 如图，如图，BAD=BCD=90，1=2（1）求证求证:点点B在在ADC的平分线上；的平分线上；（2）求证）求证:BD是是ABC的平分线。的平分线。ADBC思考：思考：AC被被BD垂直平分吗？垂直平分吗？举举例例证明证明(1)在在ABC中，中，1=2 BA=BC.又又BAAD,BCCD,点点B在在ADC的平分线上的平分线上.(2)在在RtBAD和和RtBCD中，中，BA=BC，BD=BD;RtBAD RtBCD(HL)ABD=CBD.BD是是ABC的平分线的平分线.练习练习1.如图，在直线如图，在直线MN上求作一点上求作一点P，使，使P点到点到AOB两边的两边的距离相等距离相等OABMN证明：证明：DEAB,DFAC DEAB,DFAC BED=CFD=90 BED=CFD=90 ADAD平分平分BACBAC，DE=DFDE=DF(角平分线上的点到两边的距离相等角平分线上的点到两边的距离相等)又又在在RtRtBDEBDE和和RtRtCDFCDF中中 BD=CD BD=CD DE=DFDE=DF RtRtBDERtBDERtCDFCDF（HLHL）B=B=C C,A AB=B=A AC C2.2.如图如图,在在ABCABC中，中，ADAD平分平分BACBAC，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分别是垂足分别是E,F,BD=CD.E,F,BD=CD.求证求证:AB=AC.:AB=AC.1.1.如左下图如左下图,DEAB,DFBC,DEAB,DFBC,垂足分别是垂足分别是E E，F F，DE DE=DF,EDB=60,=DF,EDB=60,则则EBF=EBF=度，度，BE=BE=。60BFABCDEF 随堂练习随堂练习C12A BED2.2.如图如图,ABC,ABC中中,C=90,DEAB,1=2,C=90,DEAB,1=2,且且AC=6cm,AC=6cm,那么线段那么线段BEBE是是ABCABC的的 ，AE+DE=AE+DE=.角平分线角平分线6cm驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸3.3.如图如图,AD,AE,AD,AE分别是分别是ABCABC中中A A的内角平分线外的内角平分线外角平分线角平分线,它们有什么关系它们有什么关系?老师期望:你能说出结论并能证明它.EDABCF4.如图：在如图：在RtABC中，中，C=90，BD平分平分ABC，BD=5，BC=4，则点，则点D到到AB的距离是的距离是_.DBAC3课堂小结课堂小结角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线的判定定理：角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.拓展拓展