(精品)第13章 动量矩定理-2012.4.ppt

第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理第第1313章章 动量矩定理动量矩定理 几个有意义的问题几个有意义的问题 质点和质点和质点系动量矩质点系动量矩 动量矩定理动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程 相对于质心相对于质心的质点系动量矩定理的质点系动量矩定理 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理？谁最先到谁最先到达顶点达顶点几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理？直升飞机如果直升飞机如果直升飞机如果直升飞机如果没有尾翼将发生没有尾翼将发生没有尾翼将发生没有尾翼将发生什么现象什么现象什么现象什么现象几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理1.1.质点的动量矩质点的动量矩质点的动量矩质点的动量矩13-1 13-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩Mo(mv)OA(x,y,z)Brmvhyxz MO(mv)=mvh=2OAB MO(F)定位矢量定位矢量度量质点绕某一点转动运动强弱的运动度量质点绕某一点转动运动强弱的运动度量质点绕某一点转动运动强弱的运动度量质点绕某一点转动运动强弱的运动特征量特征量特征量特征量第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理2.2.质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩Orimiviyxzm1mim2质点系中所有质点对于点质点系中所有质点对于点质点系中所有质点对于点质点系中所有质点对于点 O O 的动量矩的的动量矩的的动量矩的的动量矩的矢量和，称为质点系对点矢量和，称为质点系对点矢量和，称为质点系对点矢量和，称为质点系对点 O O 的动量矩。的动量矩。的动量矩。的动量矩。第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 v vi irimiyxz令：令：Jz刚体对刚体对z 轴的转动惯量轴的转动惯量绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。动惯量与转动角速度的乘积。动惯量与转动角速度的乘积。动惯量与转动角速度的乘积。u定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理思考题思考题思考题思考题1.1.质点系对某质点系对某质点系对某质点系对某点的动量矩为点的动量矩为点的动量矩为点的动量矩为,则则则则A.A.是瞬时量是瞬时量是瞬时量是瞬时量B.B.是定位矢量是定位矢量是定位矢量是定位矢量C.C.点必须是固定点点必须是固定点点必须是固定点点必须是固定点D.D.点可以是任意点点可以是任意点点可以是任意点点可以是任意点第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理思考题思考题思考题思考题2.2.均质杆的质量为均质杆的质量为均质杆的质量为均质杆的质量为,杆长为杆长为杆长为杆长为,质心质心质心质心的速度为的速度为的速度为的速度为,则对则对则对则对点的动量矩为点的动量矩为点的动量矩为点的动量矩为,对吗对吗对吗对吗?第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理12-2 12-2 动量矩定理动量矩定理 1.1.质点的动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理 Mo(F)Mo(mv)OA(x,y,z)BrmvyxzF 质点对某质点对某质点对某质点对某 固定点固定点固定点固定点 的动量矩对时间的的动量矩对时间的的动量矩对时间的的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。导数，等于作用力对同一点的力矩。导数，等于作用力对同一点的力矩。导数，等于作用力对同一点的力矩。第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理2.2.质点的动量矩守恒定律质点的动量矩守恒定律质点的动量矩守恒定律质点的动量矩守恒定律第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理rmvFMOh有心力作用下的运动问题有心力作用下的运动问题有心力作用下的运动问题有心力作用下的运动问题 有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 3.3.质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 其中：其中：质点系对某质点系对某质点系对某质点系对某固定点固定点固定点固定点 的动量矩对时间的导数，等于作用的动量矩对时间的导数，等于作用的动量矩对时间的导数，等于作用的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的于质点系的于质点系的于质点系的外力外力 对同一点的矩的矢量和。对同一点的矩的矢量和。对同一点的矩的矢量和。对同一点的矩的矢量和。第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理4.4.质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律 如果外力系对于如果外力系对于如果外力系对于如果外力系对于固定点固定点固定点固定点的主矩等于的主矩等于的主矩等于的主矩等于 0 0，则质点系对这一点的则质点系对这一点的则质点系对这一点的则质点系对这一点的动量矩守恒动量矩守恒动量矩守恒动量矩守恒。如果外力系对于如果外力系对于如果外力系对于如果外力系对于固定轴固定轴固定轴固定轴之矩等于之矩等于之矩等于之矩等于 0 0，则质点系对这一轴的则质点系对这一轴的则质点系对这一轴的则质点系对这一轴的动量矩守恒动量矩守恒动量矩守恒动量矩守恒。第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理在推导动量矩定理和使用动量矩定理时在推导动量矩定理和使用动量矩定理时在推导动量矩定理和使用动量矩定理时在推导动量矩定理和使用动量矩定理时,为为为为什么要强调对固定点或固定轴什么要强调对固定点或固定轴什么要强调对固定点或固定轴什么要强调对固定点或固定轴?对任意动点对任意动点对任意动点对任意动点(或动轴或动轴或动轴或动轴),),能否使用常用的动量矩定理的形能否使用常用的动量矩定理的形能否使用常用的动量矩定理的形能否使用常用的动量矩定理的形式式式式?思考题思考题思考题思考题第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 两个鼓轮固连在一起，其总质量是两个鼓轮固连在一起，其总质量是两个鼓轮固连在一起，其总质量是两个鼓轮固连在一起，其总质量是 m m，对水平转轴对水平转轴对水平转轴对水平转轴 O O的转的转的转的转动惯量是动惯量是动惯量是动惯量是 J JO O ；鼓轮的半径是鼓轮的半径是鼓轮的半径是鼓轮的半径是 r r1 1 和和和和 r r2 2 。绳端悬挂的重物绳端悬挂的重物绳端悬挂的重物绳端悬挂的重物 A A和和和和 B B 质质质质量分别是量分别是量分别是量分别是 m m1 1 和和和和 m m2 2 (图图图图a)a)，且且且且 m m1 1 m m2 2。试求鼓轮的角加速度试求鼓轮的角加速度试求鼓轮的角加速度试求鼓轮的角加速度。OABr1r2(a)例例例例 题题题题第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理解解解解:取鼓轮，重物取鼓轮，重物取鼓轮，重物取鼓轮，重物 A A,B B 和绳索为研究对象和绳索为研究对象和绳索为研究对象和绳索为研究对象,受力分析如图示受力分析如图示受力分析如图示受力分析如图示:OABr1r2(b)v v1 1v v2 2m m1 1g gm m0 0g gm m2 2g gF F0 0y系统的动量矩系统的动量矩系统的动量矩系统的动量矩外力主矩外力主矩外力主矩外力主矩例例例例 题题题题由动量矩定理由动量矩定理由动量矩定理由动量矩定理解得解得解得解得第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理例例例例 题题题题高炉上运送矿料的卷扬机。半径为高炉上运送矿料的卷扬机。半径为高炉上运送矿料的卷扬机。半径为高炉上运送矿料的卷扬机。半径为 R R 的卷筒可绕水平的卷筒可绕水平的卷筒可绕水平的卷筒可绕水平轴轴轴轴O O 转动，它关于转轴转动，它关于转轴转动，它关于转轴转动，它关于转轴 O O 的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为 J J。沿倾角为沿倾角为沿倾角为沿倾角为 的斜轨被提升的重物的斜轨被提升的重物的斜轨被提升的重物的斜轨被提升的重物AA重重重重 WW。作用在卷筒上主动转作用在卷筒上主动转作用在卷筒上主动转作用在卷筒上主动转矩为矩为矩为矩为 MM。设绳重和摩擦均可不计。试求重物的加速设绳重和摩擦均可不计。试求重物的加速设绳重和摩擦均可不计。试求重物的加速设绳重和摩擦均可不计。试求重物的加速度。度。度。度。第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理解：解：解：解：(1)(1)研究对象研究对象研究对象研究对象 卷筒与重物卷筒与重物卷筒与重物卷筒与重物A A 整个系统整个系统整个系统整个系统(2)(2)受力受力受力受力 分析分析分析分析：（所有外：（所有外：（所有外：（所有外力）力）力）力）(3)(3)分析运动分析运动分析运动分析运动，计算系统对轴，计算系统对轴，计算系统对轴，计算系统对轴OO的动量矩的动量矩的动量矩的动量矩以顺时针方向为正以顺时针方向为正以顺时针方向为正以顺时针方向为正(4)(4)外力对轴外力对轴外力对轴外力对轴OO的矩：的矩：的矩：的矩：s对重物对重物对重物对重物A A，有有有有(5)(5)由动量矩定理：由动量矩定理：由动量矩定理：由动量矩定理：第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理比赛胜负如何比赛胜负如何比赛胜负如何比赛胜负如何?例例例例 题题题题第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象受力分析：受力分析：受力分析：受力分析：可知可知可知可知,系统对系统对系统对系统对z z轴的动量矩守恒轴的动量矩守恒轴的动量矩守恒轴的动量矩守恒初始时：初始时：初始时：初始时：任意瞬时：任意瞬时：任意瞬时：任意瞬时：进一步可得到进一步可得到进一步可得到进一步可得到运动分析运动分析运动分析运动分析:由动量矩守恒定理：由动量矩守恒定理：由动量矩守恒定理：由动量矩守恒定理：解得解得解得解得第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理例例例例 题题题题均质均质均质均质圆盘，其绕轴圆盘，其绕轴圆盘，其绕轴圆盘，其绕轴OO的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为J J，可绕通过其中心的轴无可绕通过其中心的轴无可绕通过其中心的轴无可绕通过其中心的轴无摩擦地转动，另一质量为摩擦地转动，另一质量为摩擦地转动，另一质量为摩擦地转动，另一质量为 mm2 2 的人的人的人的人由由由由 BB点按规律点按规律点按规律点按规律沿沿沿沿距距距距 OO轴半径为轴半径为轴半径为轴半径为 r r 的圆周运动。初始时，圆盘与人均静止。求的圆周运动。初始时，圆盘与人均静止。求的圆周运动。初始时，圆盘与人均静止。求的圆周运动。初始时，圆盘与人均静止。求圆盘的角速度与角加速度。圆盘的角速度与角加速度。圆盘的角速度与角加速度。圆盘的角速度与角加速度。第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理取圆盘与取圆盘与取圆盘与取圆盘与人人人人一起为研究对象一起为研究对象一起为研究对象一起为研究对象受力分析：受力分析：受力分析：受力分析：可知可知可知可知,动量矩关于动量矩关于动量矩关于动量矩关于 z z 轴守恒轴守恒轴守恒轴守恒初始时：初始时：初始时：初始时：任意瞬时：任意瞬时：任意瞬时：任意瞬时：解：解：解：解：运动分析运动分析运动分析运动分析:由动量矩守恒定理：由动量矩守恒定理：由动量矩守恒定理：由动量矩守恒定理：其中其中其中其中第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理例例例例 题题题题两个两个两个两个转子转子转子转子A A和和和和B B分别以角速度分别以角速度分别以角速度分别以角速度 A A、B B 绕同一轴线绕同一轴线绕同一轴线绕同一轴线 Ox Ox、且同方向转动，转动惯量分别为且同方向转动，转动惯量分别为且同方向转动，转动惯量分别为且同方向转动，转动惯量分别为 J JA A 和和和和 J JBB，现用离合器将现用离合器将现用离合器将现用离合器将两转子突然结合在一起，求结合后两转子的公共角速度。两转子突然结合在一起，求结合后两转子的公共角速度。两转子突然结合在一起，求结合后两转子的公共角速度。两转子突然结合在一起，求结合后两转子的公共角速度。第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理取两转子取两转子取两转子取两转子 A A、B B 为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象可知可知可知可知,质点系对质点系对质点系对质点系对 x x 轴的动量矩守恒轴的动量矩守恒轴的动量矩守恒轴的动量矩守恒结合前：结合前：结合前：结合前：结合后：结合后：结合后：结合后：（这里假定（这里假定（这里假定（这里假定 与与与与 A A、B B 转向相同）转向相同）转向相同）转向相同）解：解：解：解：受力分析受力分析受力分析受力分析：运动分析运动分析运动分析运动分析:计算系统对轴计算系统对轴计算系统对轴计算系统对轴OO的动量矩的动量矩的动量矩的动量矩由动量矩守恒定理：由动量矩守恒定理：由动量矩守恒定理：由动量矩守恒定理：解得解得解得解得第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理均质圆轮半径为均质圆轮半径为均质圆轮半径为均质圆轮半径为R R、质量为质量为质量为质量为m m，圆轮对转轴的转动圆轮对转轴的转动圆轮对转轴的转动圆轮对转轴的转动惯量为惯量为惯量为惯量为J JOO。圆轮在重物。圆轮在重物。圆轮在重物。圆轮在重物P P带动下绕固定轴带动下绕固定轴带动下绕固定轴带动下绕固定轴O O转动，转动，转动，转动，已知重物重量为已知重物重量为已知重物重量为已知重物重量为WW。求：重物下落的加速度求：重物下落的加速度求：重物下落的加速度求：重物下落的加速度O OPWW练练练练 习习习习第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理O OPWWm mg g解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象F FOxOxF FOyOyv v应用动量矩定理应用动量矩定理应用动量矩定理应用动量矩定理:第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理O OPWWm mg gF FOxOxF FOyOyv v应用动量矩定理应用动量矩定理应用动量矩定理应用动量矩定理:第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理例例例例 题题题题 3 3求：此时系统的角速度求：此时系统的角速度求：此时系统的角速度求：此时系统的角速度zaallABCD o ozABCD 第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理zABCD m mg gm mg g解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理13-3 13-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 v vi irimiyxzF F1 1F F2 2F Fn nF Fi i 刚体刚体刚体刚体z z轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量 刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量是刚体转动时惯性的度量是刚体转动时惯性的度量是刚体转动时惯性的度量是刚体转动时惯性的度量定轴转动微分方程定轴转动微分方程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理如图所示，已知滑轮半径为如图所示，已知滑轮半径为如图所示，已知滑轮半径为如图所示，已知滑轮半径为R R，转动惯量为转动惯量为转动惯量为转动惯量为J J，带动带动带动带动滑轮的皮带拉力为滑轮的皮带拉力为滑轮的皮带拉力为滑轮的皮带拉力为F F1 1和和和和F F2 2。求滑轮的角加速度求滑轮的角加速度求滑轮的角加速度求滑轮的角加速度 。R R O OF F1 1F F2 2例例例例 题题题题第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理根据刚体绕定轴的转动微分方程有根据刚体绕定轴的转动微分方程有根据刚体绕定轴的转动微分方程有根据刚体绕定轴的转动微分方程有于是得于是得于是得于是得 由上式可见，只有当定滑轮为匀速转由上式可见，只有当定滑轮为匀速转由上式可见，只有当定滑轮为匀速转由上式可见，只有当定滑轮为匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但动（包括静止）或虽非匀速转动，但动（包括静止）或虽非匀速转动，但动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。轮的皮带拉力才是相等的。轮的皮带拉力才是相等的。轮的皮带拉力才是相等的。R R O OF F1 1F F2 2解：解：解：解：例例例例 题题题题第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理13-4 13-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量 J Jz z 的特点的特点的特点的特点：J Jz z 00恒正的标量恒正的标量恒正的标量恒正的标量影响影响影响影响 J Jz z 的的的的因素：因素：因素：因素：与转轴与转轴与转轴与转轴 z z 的位置有关的位置有关的位置有关的位置有关与质量与质量与质量与质量 m mi i 的分布有关的分布有关的分布有关的分布有关改变改变改变改变 J Jz z 的方法的方法的方法的方法：1.改变质量（密度）改变质量（密度）2.2.改变质量分布情况改变质量分布情况改变质量分布情况改变质量分布情况J Jz z 的物理意义的物理意义的物理意义的物理意义：物体转动运动物体转动运动物体转动运动物体转动运动惯性惯性惯性惯性的度量的度量的度量的度量J Jz z 的单位（的单位（的单位（的单位（SISI）：第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理1.1.简单形状物体的转动惯量的计算简单形状物体的转动惯量的计算简单形状物体的转动惯量的计算简单形状物体的转动惯量的计算（1 1）均质细直杆）均质细直杆）均质细直杆）均质细直杆CBAlxdxxz（2 2）均质圆环）均质圆环）均质圆环）均质圆环ROz第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理（3 3）均质圆板）均质圆板）均质圆板）均质圆板2.2.惯性半径（或回转半径）惯性半径（或回转半径）惯性半径（或回转半径）惯性半径（或回转半径）R d d O第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理3.3.转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理OxzyCMih设设设设 z z 轴过刚体的质心轴过刚体的质心轴过刚体的质心轴过刚体的质心C C，z z 与与与与z z轴轴轴轴平行，平行，平行，平行，两轴间的距离为两轴间的距离为两轴间的距离为两轴间的距离为 h h，由转动惯量的定义，有由转动惯量的定义，有由转动惯量的定义，有由转动惯量的定义，有 mh2?第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理mh2?转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理两轴必须是相互平行两轴必须是相互平行两轴必须是相互平行两轴必须是相互平行JZ 必须是通过质心的必须是通过质心的必须是通过质心的必须是通过质心的第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理CBAzCzllOCdm1m2第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理例例例例 题题题题均质圆盘，质量为均质圆盘，质量为均质圆盘，质量为均质圆盘，质量为 mm，半径为半径为半径为半径为R R，不计轴承摩擦，图不计轴承摩擦，图不计轴承摩擦，图不计轴承摩擦，图示位置，示位置，示位置，示位置，OBOB处于水平。现将绳子处于水平。现将绳子处于水平。现将绳子处于水平。现将绳子 BDBD突然切断，求：突然切断，求：突然切断，求：突然切断，求：切断瞬时轴承切断瞬时轴承切断瞬时轴承切断瞬时轴承 OO处的反力。处的反力。处的反力。处的反力。BCOD第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理BCOD解：解：解：解：取圆盘取圆盘取圆盘取圆盘 为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象mgn列列列列写定写定写定写定轴轴轴轴转动微分方程：转动微分方程：转动微分方程：转动微分方程：切断瞬时圆盘的角速度为：切断瞬时圆盘的角速度为：切断瞬时圆盘的角速度为：切断瞬时圆盘的角速度为：以顺时针为正以顺时针为正以顺时针为正以顺时针为正质心的加速度：质心的加速度：质心的加速度：质心的加速度：第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理质心的加速度：质心的加速度：质心的加速度：质心的加速度：由质心运动定理：由质心运动定理：由质心运动定理：由质心运动定理：BCODmgn解得解得解得解得 第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理对于一般的动点和动轴，动量矩定理有较复杂的形对于一般的动点和动轴，动量矩定理有较复杂的形对于一般的动点和动轴，动量矩定理有较复杂的形对于一般的动点和动轴，动量矩定理有较复杂的形式，但是对于一些特殊点式，但是对于一些特殊点式，但是对于一些特殊点式，但是对于一些特殊点（质点系质心），（质点系质心），（质点系质心），（质点系质心），动量矩动量矩动量矩动量矩定理仍保持其简单的形式。定理仍保持其简单的形式。定理仍保持其简单的形式。定理仍保持其简单的形式。平移参考系平移参考系平移参考系平移参考系质点系相对于质心质点系相对于质心质点系相对于质心质点系相对于质心C C的动量矩：的动量矩：的动量矩：的动量矩：质点系相对于定点质点系相对于定点质点系相对于定点质点系相对于定点O O的动量矩：的动量矩：的动量矩：的动量矩：13-5 13-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理其中其中其中其中为质心为质心为质心为质心C C对于动系对于动系对于动系对于动系的矢径的矢径的矢径的矢径质点系对任一点质点系对任一点质点系对任一点质点系对任一点O O的动量矩等于集中于系统质心的动量对于的动量矩等于集中于系统质心的动量对于的动量矩等于集中于系统质心的动量对于的动量矩等于集中于系统质心的动量对于点点点点O O的动量矩加上此系统对于质心的动量矩。的动量矩加上此系统对于质心的动量矩。的动量矩加上此系统对于质心的动量矩。的动量矩加上此系统对于质心的动量矩。0第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。系的外力对质心的主矩。系的外力对质心的主矩。系的外力对质心的主矩。质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理例例例例 题题题题质量为质量为质量为质量为 mm的偏心轮，轴心为的偏心轮，轴心为的偏心轮，轴心为的偏心轮，轴心为 AA，质心为，质心为，质心为，质心为 CC，（1 1）当轮子不滑时，若已知）当轮子不滑时，若已知）当轮子不滑时，若已知）当轮子不滑时，若已知，求轮子的动量和对地面上，求轮子的动量和对地面上，求轮子的动量和对地面上，求轮子的动量和对地面上 BB点的动量矩。（点的动量矩。（点的动量矩。（点的动量矩。（2 2）当轮子又滚又滑时，若已知）当轮子又滚又滑时，若已知）当轮子又滚又滑时，若已知）当轮子又滚又滑时，若已知求轮子的动量和对地面上求轮子的动量和对地面上求轮子的动量和对地面上求轮子的动量和对地面上 BB点的动量矩。点的动量矩。点的动量矩。点的动量矩。第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理解：解：（1）只滚不滑时，）只滚不滑时，（2）又滚又滑时，由基点法：）又滚又滑时，由基点法：第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理质量为质量为质量为质量为m m半径为半径为半径为半径为r r的滑轮（可视作均质圆盘）上绕有的滑轮（可视作均质圆盘）上绕有的滑轮（可视作均质圆盘）上绕有的滑轮（可视作均质圆盘）上绕有软绳，将绳的一端固定于点软绳，将绳的一端固定于点软绳，将绳的一端固定于点软绳，将绳的一端固定于点A A而令滑轮自由下落如图示。而令滑轮自由下落如图示。而令滑轮自由下落如图示。而令滑轮自由下落如图示。不计绳子的质量，求轮心不计绳子的质量，求轮心不计绳子的质量，求轮心不计绳子的质量，求轮心C C的加速度和绳子的拉力。的加速度和绳子的拉力。的加速度和绳子的拉力。的加速度和绳子的拉力。C Cr rv vC C A A例例例例 题题题题第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理取滑轮和软绳组成的系统为对象，画出受力图。取滑轮和软绳组成的系统为对象，画出受力图。取滑轮和软绳组成的系统为对象，画出受力图。取滑轮和软绳组成的系统为对象，画出受力图。滑轮的运动可看作沿过点滑轮的运动可看作沿过点滑轮的运动可看作沿过点滑轮的运动可看作沿过点A A的铅垂线向下作纯滚动的铅垂线向下作纯滚动的铅垂线向下作纯滚动的铅垂线向下作纯滚动.解：解：解：解：由由由由质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理，得，得，得，得在在在在列列列列写写写写第第第第二二二二个个个个方方方方程程程程时时时时，可可可可以以以以任任任任意意意意选选选选用用用用以以以以下下下下方方方方法中的一种：法中的一种：法中的一种：法中的一种：(a)(a)1.1.列写列写列写列写对固定轴对固定轴对固定轴对固定轴A Az z的动量矩定理的动量矩定理的动量矩定理的动量矩定理。C Cr rm mg gF F A A例例例例 题题题题第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理联立求解式联立求解式联立求解式联立求解式（a a），（），（b b），得到得到得到得到2.2.列写列写列写列写对质心轴对质心轴对质心轴对质心轴C Cz z的动量矩定理的动量矩定理的动量矩定理的动量矩定理。再代入式再代入式再代入式再代入式（a a）解得解得解得解得将将将将，,，代入上式，得，代入上式，得，代入上式，得，代入上式，得即即即即C Cr rm mg gF F A A（b b）例例例例 题题题题第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理13-6 13-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程由质心运动定理和相对于质由质心运动定理和相对于质由质心运动定理和相对于质由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，有：心的动量矩定理，有：心的动量矩定理，有：心的动量矩定理，有：F1F2FnOyxxyCD 第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 半半半半径径径径为为为为r r，质质质质量量量量为为为为m m的的的的均均均均质质质质圆圆圆圆轮轮轮轮沿沿沿沿水水水水平平平平直直直直线线线线滚滚滚滚动动动动，如如如如图图图图所所所所示示示示。设设设设轮轮轮轮的的的的惯惯惯惯性性性性半半半半径径径径为为为为 C C，作作作作用用用用于于于于圆圆圆圆轮轮轮轮的的的的力力力力偶偶偶偶矩矩矩矩为为为为MM。求求求求轮轮轮轮心心心心的的的的加加加加速速速速度度度度。如如如如果果果果圆圆圆圆轮轮轮轮对对对对地地地地面面面面的的的的静静静静滑滑滑滑动动动动摩摩摩摩擦擦擦擦系系系系数数数数为为为为f fs s，问问问问力力力力偶偶偶偶矩矩矩矩MM必必必必须须须须符符符符合合合合什么条件方不致使圆轮滑动。什么条件方不致使圆轮滑动。什么条件方不致使圆轮滑动。什么条件方不致使圆轮滑动。MMC Cr ra aC Cx x例例例例 题题题题第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 根据刚体的平面运动微分方程根据刚体的平面运动微分方程根据刚体的平面运动微分方程根据刚体的平面运动微分方程:式中式中式中式中MM和和和和 均以顺时针转向为正。均以顺时针转向为正。均以顺时针转向为正。均以顺时针转向为正。MMC Cr ra aC Cm mg gF FF FNNx x解：解：解：解：根据圆轮滚而不滑的条件，有根据圆轮滚而不滑的条件，有根据圆轮滚而不滑的条件，有根据圆轮滚而不滑的条件，有a aC C=r=r 例例例例 题题题题联立求解，得：联立求解，得：联立求解，得：联立求解，得：(1)(1)(4)(4)(2)(2)(3)(3)第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理欲使圆轮从静止开始滚动而不滑动，必欲使圆轮从静止开始滚动而不滑动，必欲使圆轮从静止开始滚动而不滑动，必欲使圆轮从静止开始滚动而不滑动，必须有须有须有须有 F F f fs sF FN N,或或或或 F F f fs smgmg。于是得圆轮只滚不滑的条件为于是得圆轮只滚不滑的条件为于是得圆轮只滚不滑的条件为于是得圆轮只滚不滑的条件为 MMC Cr ra aC Cm mg gF FF FNNx x例例例例 题题题题第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理例例例例 题题题题已知：已知：已知：已知：m m，R,fR,f，。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。CFNmg(a a)斜面光滑斜面光滑斜面光滑斜面光滑aC解：取圆轮为研究对象解：取圆轮为研究对象解：取圆轮为研究对象解：取圆轮为研究对象 圆盘作平动圆盘作平动圆盘作平动圆盘作平动第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理C(b b)斜面足够粗糙斜面足够粗糙斜面足够粗糙斜面足够粗糙F由由得：得：满足纯滚的条件：满足纯滚的条件：FNmgaC第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理(c c)斜面介于上述两者之间斜面介于上述两者之间斜面介于上述两者之间斜面介于上述两者之间圆盘既滚又滑圆盘既滚又滑圆盘既滚又滑圆盘既滚又滑CFFNmgaC第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理FC例例例例 题题题题已知：已知：已知：已知：m m1 1,m m2 2,R,fR,f,F F。求：求：求：求：板的加速度。板的加速度。板的加速度。板的加速度。第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理FCFCF1FN1FN2F2FN2F2m1gm2gaaCar解：取圆轮和板为研究对象解：取圆轮和板为研究对象解：取圆轮和板为研究对象解：取圆轮和板为研究对象对板：对板：对板：对板：对圆轮：对圆轮：对圆轮：对圆轮：第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理本章小结：本章小结：本章小结：本章小结：1、质点系的动量矩定理。、质点系的动量矩定理。2、刚体定轴转动微分方程、刚体定轴转动微分方程。3、刚体对轴的转动惯量，平行轴定理、刚体对轴的转动惯量，平行轴定理。4、相对于质心的动量矩定理、相对于质心的动量矩定理。5、刚体平面运动微分方程、刚体平面运动微分方程。第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理请您思考请您思考请您思考请您思考?1.2.第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理请您思考请您思考请您思考请您思考?3.4.第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理请您思考请您思考请您思考请您思考?5.第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理请您思考请您思考请您思考请您思考?6.第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理请您思考请您思考请您思考请您思考?7.第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理结论与讨论结论与讨论第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理关于突然解除约束问题关于突然解除约束问题第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理OF FOxOxF FOyOyWW=m mg gOF FOyOyF FOxOxWW=m mg g解除约束前：解除约束前：解除约束前：解除约束前：F FOxOx=0 0,F FOyOy=mgmg/2/2突然解除约束瞬时：突然解除约束瞬时：突然解除约束瞬时：突然解除约束瞬时：F FOxOx=？,F FOyOy=？例例例例 题题题题关于突然解除约束问题关于突然解除约束问题第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 突然解除约束瞬时，突然解除约束瞬时，突然解除约束瞬时，突然解除约束瞬时，杆杆杆杆OAOA将绕将绕将绕将绕O O轴转动，轴转动，轴转动，轴转动，不再是静力学问题。不再是静力学问题。不再是静力学问题。不再是静力学问题。这时，这时，这时，这时，0 0，0 0。需要先求出需要先求出需要先求出需要先求出 ，再确定再确定再确定再确定约束力。约束力。约束力。约束力。应用定轴转动微分方程应用定轴转动微分方程应用定轴转动微分方程应用定轴转动微分方程应用质心运动定理应用质心运动定理应用质心运动定理应用质心运动定理O OF FOxOxF FOyOyWW=m mg g第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，加速度与角加速度将发生突变。加速度与角加速度将发生突变。加速度与角加速度将发生突变。加速度与角加速度将发生突变。突然解除约束问题的特点突然解除约束问题的特点突然解除约束问题的特点突然解除约束问题的特点 系统的自由度一般会增加；系统的自由度一般会增加；系统的自由度一般会增加；系统的自由度一般会增加；WW=m mg gOABC例例例例 题题题题 1010已知：已知：已知：已知：OA=OB=AB=lOA=OB=AB=l。求：剪断求：剪断求：剪断求：剪断OB OB 绳瞬时，绳瞬时，绳瞬时，绳瞬时，OAOA绳的张力。绳的张力。绳的张力。绳的张力。第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理BWW=m mg gACF FA A解：取解：取解：取解：取AB AB 杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象应用平面运动微分方程应用平面运动微分方程应用平面运动微分方程应用平面运动微分方程:60aAaCAaA应用平面运动加速度分析，取应用平面运动加速度分析，取应用平面运动加速度分析，取应用平面运动加速度分析，取 A A 为基点。为基点。为基点。为基点。ACB第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理解得：解得：解得：解得：请问能否直接对请问能否直接对请问能否直接对请问能否直接对A A点列写动量矩方程？点列写动量矩方程？点列写动量矩方程？点列写动量矩方程？BWW=m mg gACF FA A60aAaCAaAACB第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理WW=m mg gOABCWW=m mg gABC 请问若将上述两问题中的绳子改为一刚性系数请问若将上述两问题中的绳子改为一刚性系数请问若将上述两问题中的绳子改为一刚性系数请问若将上述两问题中的绳子改为一刚性系数为为为为 k k 的弹簧，则会发生什么变化，其计算过程和计的弹簧，则会发生什么变化，其计算过程和计的弹簧，则会发生什么变化，其计算过程和计的弹簧，则会发生什么变化，其计算过程和计算方法是否还不变？算方法是否还不变？算方法是否还不变？算方法是否还不变？第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理结论与讨论结论与讨论质点系动力学中的两个矢量系质点系动力学中的两个矢量系质点系动力学中的两个矢量系质点系动力学中的两个矢量系 作用在质点系上的外力系作用在质点系上的外力系作用在质点系上的外力系作用在质点系上的外力系 力系及其基本特征量力系及其基本特征量力系及其基本特征量力系及其基本特征量第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理 作用在质点系上的动量系作用在质点系上的动量系作用在质点系上的动量系作用在质点系上的动量系 动量系及其基本特征量动量系及其基本特征量动量系及其基本特征量动量系及其基本特征量结论与讨论结论与讨论质点系动力学中的两个矢量系质点系动力学中的两个矢量系质点系动力学中的两个矢量系质点系动力学中的两个矢量系第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理之一：之一：之一：之一：质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理