《代数学的新生》PPT课件.ppt

数学史11、代数学的解放 在18世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革 当时数学家们面临一系列数学发展进程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：1高于四次的代数方程的根式求解问题；2欧几里得几何中平行公理的证明问题；3牛顿、莱布尼茨微积分算法的逻辑基础问题.在在1919世纪初，这些问题已变得越发尖锐而不可回世纪初，这些问题已变得越发尖锐而不可回避它们引起数学家们集中的关注和热烈的探讨，避它们引起数学家们集中的关注和热烈的探讨，并导致了数学发展的新突破数学在并导致了数学发展的新突破数学在1919世纪跨入了世纪跨入了一个前所未有、突飞猛进的历史时期一个前所未有、突飞猛进的历史时期 本章要介绍的是代数学中的革命性变化。本章要介绍的是代数学中的革命性变化。11.1 11.1 代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现 11.1.1 11.1.1 问题的提出问题的提出 中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问直中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问直到到19世纪初，代数学研究仍未超出这个范围不过这时数学家们的世纪初，代数学研究仍未超出这个范围不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上 数学家自然要考虑一般的五次或更高次的方程能否像二、三、数学家自然要考虑一般的五次或更高次的方程能否像二、三、四次方程一样来求解，也就是说对于形如四次方程一样来求解，也就是说对于形如(其中其中 )的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到呢减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到呢?在解出三、四次方程后的整整两个半世纪内，很少在解出三、四次方程后的整整两个半世纪内，很少有人怀疑五次或五次以上方程根式求解的可能性但是有人怀疑五次或五次以上方程根式求解的可能性但是所有寻求这种解法的努力都失败了历史上，第一个明所有寻求这种解法的努力都失败了历史上，第一个明确宣布确宣布“不可能用根式解四次以上方程不可能用根式解四次以上方程”的数学家是拉的数学家是拉格朗日格朗日 拉格朗日在拉格朗日在17701770年发表的年发表的关于代数方程解的思考关于代数方程解的思考一文，讨论了在他之前人们所熟知的解二、三、四一文，讨论了在他之前人们所熟知的解二、三、四次方程的一切解法，并且指出这些成功解法所根据的次方程的一切解法，并且指出这些成功解法所根据的情况对于五次及更高次方程是不可能发生的拉格朗情况对于五次及更高次方程是不可能发生的拉格朗日试图得出这种不可能性的证明，然而经过顽强的努日试图得出这种不可能性的证明，然而经过顽强的努力力(他的论文长达他的论文长达200200页页)之后，拉格朗日不得不坦言这之后，拉格朗日不得不坦言这个问题个问题“好象是在向人类的智慧挑战好象是在向人类的智慧挑战”迎接这一挑战的是在拉格朗日的文章发表过后半个迎接这一挑战的是在拉格朗日的文章发表过后半个多世纪，来自挪威的一位年青人多世纪，来自挪威的一位年青人18241824年，年仅年，年仅2222岁的岁的数学家阿贝尔自费出版了一本小册子数学家阿贝尔自费出版了一本小册子论代数方程，证论代数方程，证明一般五次方程的不可解性明一般五次方程的不可解性，在其中严格证明了以下，在其中严格证明了以下事实：事实：如果方程的次数如果方程的次数 ，并且系数，并且系数 看成是字母，看成是字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的根那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的根 他还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程，其中的他还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类现在被称为一类现在被称为“阿贝尔方程阿贝尔方程”在这一工作中，他实在这一工作中，他实际上引进了际上引进了“域域”(field)(field)这一重要的近世代数概念这一重要的近世代数概念 11.1.2 阿贝尔与一般五次方程的不可解性阿贝尔与一般五次方程的不可解性阿贝尔出生在挪威奥斯陆附近的阿贝尔出生在挪威奥斯陆附近的芬岛，父亲芬岛，父亲SG阿贝尔阿贝尔(Abel)是个牧师幼时，他就显露出数是个牧师幼时，他就显露出数学上的才能但是家庭的极端贫学上的才能但是家庭的极端贫困，使他未能受到系统的教育困，使他未能受到系统的教育1815年，年仅年，年仅13岁的阿贝尔进入奥斯陆的一岁的阿贝尔进入奥斯陆的一所教会学校学习起初，学校里缺乏生机的所教会学校学习起初，学校里缺乏生机的教育方法没有引起他对数学的兴趣教育方法没有引起他对数学的兴趣15岁岁(1817)时，他幸运地遇到一位优秀数学教师时，他幸运地遇到一位优秀数学教师 洪洪堡堡(Holmbo)后者在数学上的最大贡献也正后者在数学上的最大贡献也正是发现并培养了这位数学天才是发现并培养了这位数学天才良师耐心细致的教诲，唤起了他学习数学的良师耐心细致的教诲，唤起了他学习数学的愿望，使他对数学产生了兴趣阿贝尔迅速愿望，使他对数学产生了兴趣阿贝尔迅速学完了初等数学课程然后，他在洪堡的指学完了初等数学课程然后，他在洪堡的指导下攻读高等数学，同时还自学了许多数学导下攻读高等数学，同时还自学了许多数学大师特别是欧拉大师特别是欧拉(Euler)、拉格朗日、拉格朗日(Lagran-ge)和高斯和高斯(Gauss)的著作的著作阿贝尔在中学最后两年时间里，如何求解五次方程问阿贝尔在中学最后两年时间里，如何求解五次方程问题吸引着他在研读拉格朗日、高斯关于方程论著作题吸引着他在研读拉格朗日、高斯关于方程论著作的基础上，按高斯对二项方程的处理方法，着手探讨的基础上，按高斯对二项方程的处理方法，着手探讨了高次方程的可解性问题最初，他自认为解五次方了高次方程的可解性问题最初，他自认为解五次方程已获成功洪堡与奥斯陆大学教授汉森丁程已获成功洪堡与奥斯陆大学教授汉森丁(Hansteen)两人都看不出所以然，又找不出论证中的两人都看不出所以然，又找不出论证中的破绽后来，只好把这篇文章寄给丹麦数学家德根破绽后来，只好把这篇文章寄给丹麦数学家德根(Degen)，请求他帮助在丹麦科学院出版，请求他帮助在丹麦科学院出版德根教授也没有发现论证本身的任何错误，德根教授也没有发现论证本身的任何错误，只是要求阿贝尔用例子说明他的方法，并建只是要求阿贝尔用例子说明他的方法，并建议他把精力放到椭圆积分的研究上去阿贝议他把精力放到椭圆积分的研究上去阿贝尔获悉德根的答复后，立即着手构造五次方尔获悉德根的答复后，立即着手构造五次方程解的例子但结果失望地发现，他的方法程解的例子但结果失望地发现，他的方法是错误的另外，他还接受了德根关于搞椭是错误的另外，他还接受了德根关于搞椭圆积分的建议，不多几年内就基本完成了他圆积分的建议，不多几年内就基本完成了他关于椭圆函数的理论关于椭圆函数的理论 1821年秋，阿贝尔在一些教授资助下进入了奥年秋，阿贝尔在一些教授资助下进入了奥斯陆大学大学期间他把主要精力用在进一步斯陆大学大学期间他把主要精力用在进一步研究上，他写出了许多有价值的论文研究上，他写出了许多有价值的论文1823年，年，他完成了一篇题为他完成了一篇题为“用定积分解某些问题用定积分解某些问题”中中首次给出了积分方程的解，这是历史上出现最首次给出了积分方程的解，这是历史上出现最早的积分方程，但长时期没有引起人们的重视早的积分方程，但长时期没有引起人们的重视 1824年，他证明了五次或五次以上的代数方程没有一年，他证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式该证明写进了般的用根式求解的公式该证明写进了“论代数方程论代数方程证明一般五次方程的不可解性证明一般五次方程的不可解性”的著名论文中，的著名论文中，从而结束了一般代数方程求根式通解的企图他深知从而结束了一般代数方程求根式通解的企图他深知其结果的重要性，决定先以小册子形式自费出版它其结果的重要性，决定先以小册子形式自费出版它为了节省经费，他把小册子压缩到为了节省经费，他把小册子压缩到6页，叙述很简洁，页，叙述很简洁，以致许多学者难以读懂以致许多学者难以读懂“数学王子数学王子”高斯也不相信高斯也不相信一个青年能用这么短的篇幅，解决连他本人都尚未解一个青年能用这么短的篇幅，解决连他本人都尚未解决的难题总之，这篇论文在当时没有得到任何一位决的难题总之，这篇论文在当时没有得到任何一位外国数学家的重视外国数学家的重视1825年，阿贝尔大学毕业他到了德国柏林年，阿贝尔大学毕业他到了德国柏林结识了一位很有影响的工程师克雷尔结识了一位很有影响的工程师克雷尔(Crelle)克雷尔虽不是数学家，但对数学有克雷尔虽不是数学家，但对数学有浓厚的兴趣克雷尔于浓厚的兴趣克雷尔于1826年创办了著名的年创办了著名的数学刊物数学刊物纯粹与应用数学纯粹与应用数学杂志后被称为杂志后被称为克雷尔杂志它的第一卷刊登了克雷尔杂志它的第一卷刊登了5篇阿贝尔的篇阿贝尔的文章，其中有关于一般五次方程不能用根式文章，其中有关于一般五次方程不能用根式求解的证明克雷尔杂志头三卷发表了阿贝求解的证明克雷尔杂志头三卷发表了阿贝尔包括方程论、无穷级数、椭圆函数等方面尔包括方程论、无穷级数、椭圆函数等方面的开创性论文从此，欧洲大陆数学家才开的开创性论文从此，欧洲大陆数学家才开始注意他的工作始注意他的工作1826年年7月，阿贝尔从柏林来到巴黎，他写了月，阿贝尔从柏林来到巴黎，他写了一篇题为一篇题为“关于一类极为广泛的超越函数的关于一类极为广泛的超越函数的一个一般性质一个一般性质”的文章，于的文章，于1826年年10月月30日日提交给法国科学院当时科学院的秘书傅里提交给法国科学院当时科学院的秘书傅里叶叶(Fourier)读了论文的引言，然后委托勒让德读了论文的引言，然后委托勒让德和柯西对论文作出评价这篇论文很长而且和柯西对论文作出评价这篇论文很长而且难懂，因为它包含了许多新概念柯西把它难懂，因为它包含了许多新概念柯西把它放在一边，醉心于自己的工作勒让德也把放在一边，醉心于自己的工作勒让德也把它忘了它忘了1827年年5月月20日，阿贝尔回到奥斯陆日，阿贝尔回到奥斯陆回国后更失望，仍然没有找到职回国后更失望，仍然没有找到职位的希望，他不得不靠作家庭教师位的希望，他不得不靠作家庭教师维生在贫病交迫中，他并没有倒维生在贫病交迫中，他并没有倒下去，仍在坚持研究，取得了许多下去，仍在坚持研究，取得了许多重大成果他写下了一系列关于椭重大成果他写下了一系列关于椭圆函数的文章圆函数的文章.18291829年年4 4月月6 6日晨，这颗耀眼的数学新星日晨，这颗耀眼的数学新星便过早地殒落了。阿贝尔死后两天，便过早地殒落了。阿贝尔死后两天，克克雷尔雷尔的一封信寄到，告知柏林大学已决的一封信寄到，告知柏林大学已决定聘请他担任数学教授。定聘请他担任数学教授。此后荣誉和褒奖接踵而来，此后荣誉和褒奖接踵而来，18301830年年6 6月月2828日，他和雅可比日，他和雅可比(Jacobi)(Jacobi)共同获得了共同获得了法国科学院大奖法国科学院大奖11.1.11.1.3 3 伽罗瓦与置换群伽罗瓦与置换群 在阿贝尔的工作之后，数学家在阿贝尔的工作之后，数学家所面临的一个问题就是：什么所面临的一个问题就是：什么样的特殊方程能够用根式来求样的特殊方程能够用根式来求解解?这个问题稍后被一位同样这个问题稍后被一位同样年青的法国数学家伽罗瓦年青的法国数学家伽罗瓦(1811-1832)解决解决 伽罗瓦伽罗瓦伽罗瓦在伽罗瓦在18291831年间完成的几篇论文中，年间完成的几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而宣告了方程根式可解这一经历了三百年的难而宣告了方程根式可解这一经历了三百年的难题的彻底解决题的彻底解决 伽罗瓦的思想是将一个伽罗瓦的思想是将一个 次方程次方程 的的 个根个根 (由代数基本定理可知由代数基本定理可知)作为一个整体来考察，并研究它们之间的排列或称作为一个整体来考察，并研究它们之间的排列或称“置换置换”为了容易理解起见，我们以四次方程的四个根为了容易理解起见，我们以四次方程的四个根 为例，在包含这些为例，在包含这些 的任何表达式中交换的任何表达式中交换 和和 就是一个置就是一个置换，用换，用 来表示另一个置换用来表示另一个置换用 表示第一个置换后再实行第二个置换，等价于实行第三个置换表示第一个置换后再实行第二个置换，等价于实行第三个置换 这是因为这是因为(以以 为例为例)，由第一个置换，由第一个置换 变成变成 ，由第，由第二个置换二个置换 又变成又变成 ，而由第三个置换，而由第三个置换 直接变换直接变换成成 .我们说头两个置换按上述顺序作成的我们说头两个置换按上述顺序作成的“乘积乘积”就就是第三个置换，即是第三个置换，即 对于四次方程的情形，对于四次方程的情形，易知共有易知共有4!=24个可能的置换这些置换的全体构成一个可能的置换这些置换的全体构成一个集合，而其中任意两个置换的乘积仍是原来集合中个集合，而其中任意两个置换的乘积仍是原来集合中的一个置换，伽罗瓦称之为的一个置换，伽罗瓦称之为“群群”。伽罗瓦正是利用。伽罗瓦正是利用他提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的他提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的 进一步考虑一个方程根的置换群中某些置换组成进一步考虑一个方程根的置换群中某些置换组成的的“子群子群”(最大正规子群最大正规子群)。考虑由方程系数考虑由方程系数 的的全部有理系数有理分全部有理系数有理分式的集合这个集合，现在叫方程的式的集合这个集合，现在叫方程的“基本域基本域”，并，并记为记为 ,为有理数域为有理数域 设法找到一个方程的根的以设法找到一个方程的根的以 的元素为系数的的元素为系数的代数关系式代数关系式,且对且对“子群子群”中的一切置换保持不变中的一切置换保持不变由最大正规子群的性质判断方程的可解性由最大正规子群的性质判断方程的可解性我们以四次方程为例来说明这个重要的概念我们以四次方程为例来说明这个重要的概念 设方程 其中 是独立的，令 是 的有理表达式形成的域(基本域)，这个方程的四个根：是我们已经知道的，并且容易看出这些根的系数在 中的下列两个关系成立：可以验证，在方程根的所有24个可能置换中，下面8个置换 都能使上述两个关系在 中保持成立，并且这8个置换是24个置换中，使根之间在域 中的 代数关系 都保持不变的仅有的置换 这8个置换就是方程在域 中的群，即伽罗瓦群 需要指出，需要指出，保持根的代数关系不变，就意味着在保持根的代数关系不变，就意味着在此关系中根的地位是对称的此关系中根的地位是对称的因此，伽罗瓦群刻画因此，伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性伽罗瓦于是指出，方程的群了方程的根的对称性伽罗瓦于是指出，方程的群(即伽罗瓦群即伽罗瓦群)与它是否根式可解存在着本质联系，对与它是否根式可解存在着本质联系，对方程的群的认识，是解决全部根式可解问题的关键方程的群的认识，是解决全部根式可解问题的关键伽罗瓦证明，伽罗瓦证明，当且仅当方程的群满足一定的条件当且仅当方程的群满足一定的条件(即方程的群是可解群即方程的群是可解群)时，方程才是根式可解的时，方程才是根式可解的，也就是说他找到了方程根式可解的充分必要条件也就是说他找到了方程根式可解的充分必要条件 在伽罗瓦之前，拉格朗日已经讨论过方程根的置在伽罗瓦之前，拉格朗日已经讨论过方程根的置换换,并意识到置换理论是并意识到置换理论是“整个问题的真正哲学整个问题的真正哲学”，但他，但他却未能继续前进只是伽罗瓦通过引进全新的群的概却未能继续前进只是伽罗瓦通过引进全新的群的概念，才明确指出了其间的实质联系，从而解决了包括念，才明确指出了其间的实质联系，从而解决了包括欧拉，拉格朗日等许多大数学家都感到棘手的问题欧拉，拉格朗日等许多大数学家都感到棘手的问题 伽罗瓦伽罗瓦(E.Galois，18111832)1811年出生于巴黎附近，他是一个小年出生于巴黎附近，他是一个小镇镇长的儿子。刚过十五岁生日，他镇镇长的儿子。刚过十五岁生日，他就显示出非凡的数学天才。他两次报就显示出非凡的数学天才。他两次报考高等工艺学院，两次落榜，因为他考高等工艺学院，两次落榜，因为他不能满足考官们的死板的要求，他们不能满足考官们的死板的要求，他们根本理解不了伽罗瓦的天才。伽罗瓦根本理解不了伽罗瓦的天才。伽罗瓦坚持不懈，终于在坚持不懈，终于在1829年进了师范学年进了师范学院，准备当个教师。但第二年因参加院，准备当个教师。但第二年因参加反对波旁王朝的反对波旁王朝的“七月革命七月革命”而被校而被校方开除，方开除，以后又因参加政治活动被捕入狱释放后不久，在以后又因参加政治活动被捕入狱释放后不久，在1832年年5月的一天，伽罗瓦在爱情纠葛而挑起的一场月的一天，伽罗瓦在爱情纠葛而挑起的一场手枪决斗中身亡，死时不到手枪决斗中身亡，死时不到21岁岁 伽罗瓦伽罗瓦 在中学时在中学时 伽罗瓦熟练地掌握他那个时候的数学课本，伽罗瓦熟练地掌握他那个时候的数学课本，继而攻读勒让德、雅科比和阿贝尔的重要论文，而后搞继而攻读勒让德、雅科比和阿贝尔的重要论文，而后搞他自己的数学创作。在他的第十七个年头里，获得很重他自己的数学创作。在他的第十七个年头里，获得很重要的成果，但是，他送给法国科学院的两篇研究报告被要的成果，但是，他送给法国科学院的两篇研究报告被法国科学院不可原谅地丢失了，法国科学院不可原谅地丢失了，第一次所交论文被柯西第一次所交论文被柯西遗失了，第二次则被傅立叶遗失，遗失了，第二次则被傅立叶遗失，这对他又是一个挫折。这对他又是一个挫折。18311831年年1 1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这篇又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作，当时负责审查的数论文是伽罗华关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁。最后结论是学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁。最后结论是“完完全不能理解全不能理解”。在在伽罗瓦伽罗瓦意识到很可能被杀的这场决斗意识到很可能被杀的这场决斗的前夕，他以给一个朋友的信的形式写的前夕，他以给一个朋友的信的形式写了他的科学遗嘱。这遗嘱，只有伟大的了他的科学遗嘱。这遗嘱，只有伟大的数学家才能理解，它实际上包含关于群数学家才能理解，它实际上包含关于群论和方程的所谓伽罗瓦理论。方程的伽论和方程的所谓伽罗瓦理论。方程的伽罗瓦理论，奠定了群论的概念罗瓦理论，奠定了群论的概念基础基础，提，提供了用根式解代数方程的可能性的判别供了用根式解代数方程的可能性的判别准则准则 伽罗瓦的思想大大超出了他的时代他的工作可伽罗瓦的思想大大超出了他的时代他的工作可以看成是近世代数的发端这不只是因为它解决了方以看成是近世代数的发端这不只是因为它解决了方程根式可解这样一个难题，更重要的是群的概念的引程根式可解这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革 1919世纪后半叶，数学家们认识到，世纪后半叶，数学家们认识到，“群群”可以是可以是一个更加普遍的概念，而不必仅限于置换群凯莱一个更加普遍的概念，而不必仅限于置换群凯莱(A.Cayley)(A.Cayley)在在1849185418491854年间指出矩阵在乘法下、四年间指出矩阵在乘法下、四元数在加法下都构成群元数在加法下都构成群1868186918681869年间，若尔当年间，若尔当(C.Jordan)(C.Jordan)开展了无限群开展了无限群(即有无限多个元素的群即有无限多个元素的群)的系统研究若尔当的工作又影响克莱因的系统研究若尔当的工作又影响克莱因(F.Klein)(F.Klein)关于几何分类中的无限变换群的研究关于几何分类中的无限变换群的研究1874188318741883年年间，挪威数学家李间，挪威数学家李(S.Lie)(S.Lie)又研究了无限连续变换群又研究了无限连续变换群到到1919世纪世纪8080年代，关于各种不同类型的群的研究使年代，关于各种不同类型的群的研究使数学家们有了足够的积累来形成抽象群的概念。数学家们有了足够的积累来形成抽象群的概念。经过抽象定义的群，可以理解为一类对象的集合，这些对象经过抽象定义的群，可以理解为一类对象的集合，这些对象之间存在着类似于加法或乘法那样的二元运算关系，这种运算之间存在着类似于加法或乘法那样的二元运算关系，这种运算(不不妨称它为乘法，用妨称它为乘法，用表示表示)满足如下的性质：满足如下的性质：1 1封闭性封闭性.集合中任意两个元素的乘积仍属于该集合；集合中任意两个元素的乘积仍属于该集合；2 2结合性对于集合中任意三个元素结合性对于集合中任意三个元素 满足结合律满足结合律 3 3存在单位元存在单位元 ，使对该集合中任意元素，使对该集合中任意元素 ，有，有4 4对该集合中任意元素对该集合中任意元素 ，存在唯一的逆元素，存在唯一的逆元素 ，使得，使得 这种定义，在这种定义，在1919世纪末已得到公认在这样定义世纪末已得到公认在这样定义的群中，集合元素本身的具体内容无关紧要，关键是的群中，集合元素本身的具体内容无关紧要，关键是联系这些元素的运算关系这样建立起来的一般群论联系这些元素的运算关系这样建立起来的一般群论是描写其他各种数学和物理现象的对称性质的普遍工是描写其他各种数学和物理现象的对称性质的普遍工具具 代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象的象的“对象对象”的运算关系的运算关系.11.2 11.2 从四元数到超复数从四元数到超复数 11.2.1 11.2.1 哈密顿与四元数哈密顿与四元数 四元数的发现是继伽罗瓦提出群的概念后四元数的发现是继伽罗瓦提出群的概念后1919世纪世纪代数学最重大的事件四元数是推广平面复数系结构代数学最重大的事件四元数是推广平面复数系结构的产物的产物 我们知道，向量的概念在物理学上十分重要，力、我们知道，向量的概念在物理学上十分重要，力、速度或加速度这些有大小和方向的量都是向量，而人速度或加速度这些有大小和方向的量都是向量，而人们很早就已知道向量的合成服从平行四边形法则数们很早就已知道向量的合成服从平行四边形法则数学家们发现两个复数相加的结果正好对应于用平行四学家们发现两个复数相加的结果正好对应于用平行四边形法则相加的向量的和用复数来表示向量及其运边形法则相加的向量的和用复数来表示向量及其运算的一个很大优点，就是人们不一定要几何地作出这算的一个很大优点，就是人们不一定要几何地作出这些运算，但能够代数地研究它们，就像是曲线的方程些运算，但能够代数地研究它们，就像是曲线的方程能用来表示曲线和研究曲线而带给人们便利一样能用来表示曲线和研究曲线而带给人们便利一样 但是数学家不久就发现，复数的利用是受到限制的但是数学家不久就发现，复数的利用是受到限制的例如，当几个力作用于一个物体时，这些力不一定在一例如，当几个力作用于一个物体时，这些力不一定在一个平面上为了能从代数上处理这些力，就需要复数的个平面上为了能从代数上处理这些力，就需要复数的一个三维类似物然而，虽然我们能很容易地用三维笛一个三维类似物然而，虽然我们能很容易地用三维笛卡儿坐标表示从原点到该点的向量，但数学家很快认识卡儿坐标表示从原点到该点的向量，但数学家很快认识到，不存在三元数组的运算来表示向量的运算到，不存在三元数组的运算来表示向量的运算 对复数的类似推广作出重要贡献的是爱尔兰数学家对复数的类似推广作出重要贡献的是爱尔兰数学家哈密顿哈密顿 哈密顿推广复数的工作是从他把复数处理成实数的哈密顿推广复数的工作是从他把复数处理成实数的有序数偶开始的哈密顿在有序数偶开始的哈密顿在1837年发表的一篇文章中年发表的一篇文章中指出，复数指出，复数 不是不是2十十3意义上的一个真正的和，意义上的一个真正的和，加号的使用是历史的偶然，而加号的使用是历史的偶然，而 是不能加到是不能加到 上去的，上去的，复数复数 不过是有序实数偶不过是有序实数偶 .哈密顿给这种数哈密顿给这种数偶定义了加法和乘法，如：偶定义了加法和乘法，如：并且证明这两种运算具有封闭性、交换性和结合并且证明这两种运算具有封闭性、交换性和结合性性 哈密顿下一步试图要做的事就是推广有序实数哈密顿下一步试图要做的事就是推广有序实数偶的思想他考虑会不会有一种三元数组作为复偶的思想他考虑会不会有一种三元数组作为复数的三维类似物，它具有实数和复数的基本性质数的三维类似物，它具有实数和复数的基本性质 但是经过长期的努力之后，哈密顿发现他所要但是经过长期的努力之后，哈密顿发现他所要找的新数应包含四个分量，而且找的新数应包含四个分量，而且必须放弃乘法的必须放弃乘法的交换性交换性他把这种新数命名为四元数他把这种新数命名为四元数哈密顿的四元数形如哈密顿的四元数形如 其中其中 为实数，为实数，满足满足 两个四元数相乘可以根据上面的规则仿照复数两个四元数相乘可以根据上面的规则仿照复数乘法那样去做，例如设乘法那样去做，例如设 则则 可见可见 ，但哈密顿证明了四元数乘法具有，但哈密顿证明了四元数乘法具有“结合性结合性”四元数也是历史上第一次构造的不满足乘法交四元数也是历史上第一次构造的不满足乘法交换律的数系它本身虽无广泛的应用，但它对于换律的数系它本身虽无广泛的应用，但它对于代数学的发展来说是革命性的，从此数学家们可代数学的发展来说是革命性的，从此数学家们可以更加自由地构造新的数系，通过减弱、放弃或以更加自由地构造新的数系，通过减弱、放弃或替换普通代数中的不同定律和公理替换普通代数中的不同定律和公理(如交换律、结如交换律、结合律等合律等)，就为众多代数系的研究开辟了道路，就为众多代数系的研究开辟了道路 在英国数学家中哈密顿，在英国数学家中哈密顿，18051865)的声誉仅的声誉仅次于牛顿，而且和牛顿一样，他作为一个物理学家次于牛顿，而且和牛顿一样，他作为一个物理学家甚至比作为一个数学家在当时更有名甚至比作为一个数学家在当时更有名 哈密顿哈密顿l805年出生于都柏林。才一年出生于都柏林。才一岁时，就被委托给一个叔叔教育，这岁时，就被委托给一个叔叔教育，这位叔叔热心给他侧重在语言上的教育。位叔叔热心给他侧重在语言上的教育。哈密顿是个神童，他在十三岁时，就哈密顿是个神童，他在十三岁时，就能流利地讲十三种外文。他逐步喜爱能流利地讲十三种外文。他逐步喜爱上了古典文学，沉醉于诗的写作，然上了古典文学，沉醉于诗的写作，然而没有真正的成就。而没有真正的成就。哈密顿哈密顿 直到直到15岁，哈密顿的兴趣才转变，爱上了数学。这岁，哈密顿的兴趣才转变，爱上了数学。这变化是由他认识美国快速心算家科尔伯恩变化是由他认识美国快速心算家科尔伯恩(Zerah Colburn)引起的。不久以后，哈密顿偶尔见到牛顿引起的。不久以后，哈密顿偶尔见到牛顿通用算术通用算术的抄本。他贪婪地读它，然后又掌握解的抄本。他贪婪地读它，然后又掌握解析几何和微积分。继而，他读牛顿析几何和微积分。继而，他读牛顿(Newton)的的自然自然哲学的数学原理哲学的数学原理并接着读欧洲大陆的数学巨著。他并接着读欧洲大陆的数学巨著。他读了拉普拉斯的读了拉普拉斯的天体力学天体力学，指出其中一个数学错，指出其中一个数学错误，误，1823年，他写了一篇关于这件事的论文，受到相年，他写了一篇关于这件事的论文，受到相当的注意。第二年，他进了都柏林的三一学院。当的注意。第二年，他进了都柏林的三一学院。哈密顿在大学的经历是独一无二的哈密顿在大学的经历是独一无二的:18281828年，当他才年，当他才2121岁还是大学生时，就无异议岁还是大学生时，就无异议地被任命为爱尔兰的皇家天文学者、邓辛克天文地被任命为爱尔兰的皇家天文学者、邓辛克天文台台长和大学的天文学教授。台台长和大学的天文学教授。不久以后，仅从数学理论方面，预见到二轴晶体不久以后，仅从数学理论方面，预见到二轴晶体中圆锥形的折射，后来，由物理学家们戏剧般地从中圆锥形的折射，后来，由物理学家们戏剧般地从实验上加以肯定。实验上加以肯定。18331833年，他把自己有价值的论文送给爱尔兰科学院，年，他把自己有价值的论文送给爱尔兰科学院，在这篇论文中，复数的代数被看作有序实数对的代数。在这篇论文中，复数的代数被看作有序实数对的代数。18351835年，他被封为爵士。年，他被封为爵士。继他继他1833年的论文之后，哈密顿许多年断断续年的论文之后，哈密顿许多年断断续续地考虑实数的有序三元数组和有序四元数组的代续地考虑实数的有序三元数组和有序四元数组的代数，但总是在如何定义乘法，使得保持人们熟悉的数，但总是在如何定义乘法，使得保持人们熟悉的运算定律上处于困境。运算定律上处于困境。最后，在最后，在1843年一闪念间年一闪念间那时，他正在都柏林城那时，他正在都柏林城外皇家运河边散步外皇家运河边散步，直觉地想到：要求得太多了，必，直觉地想到：要求得太多了，必须牺牲交换律，于是，四元数的代数，第一个非交换须牺牲交换律，于是，四元数的代数，第一个非交换的代数，突然诞生的代数，突然诞生 在生命的最后二十多年中，哈密顿花费了大部在生命的最后二十多年中，哈密顿花费了大部分时间和精力推演其四元数，他认为这将在数学物分时间和精力推演其四元数，他认为这将在数学物理中引起巨大的变革。他的伟大著作理中引起巨大的变革。他的伟大著作论四元数论四元数发表于发表于1853年年.四元数这个课题曾一度获得许多坚定四元数这个课题曾一度获得许多坚定的支持者。但是，由于后来有了美国物理学家和数的支持者。但是，由于后来有了美国物理学家和数学家、耶鲁大学的吉布斯的更方便的向量分析，有学家、耶鲁大学的吉布斯的更方便的向量分析，有了格拉斯曼的更一般的有序了格拉斯曼的更一般的有序n元数组，四元数理论被元数组，四元数理论被淹没而成为数学史上一件有趣的古董淹没而成为数学史上一件有趣的古董 物理学者常见到哈密顿的名字物理学者常见到哈密顿的名字:哈密顿函数和动哈密顿函数和动力学的哈密顿力学的哈密顿雅科比微分方程雅科比微分方程;在矩阵理论中的哈在矩阵理论中的哈密顿密顿凯利定理凯利定理;在数学游戏中，有在十二面体上玩在数学游戏中，有在十二面体上玩的哈密顿博奕。的哈密顿博奕。11.2.2 11.2.2 格拉斯曼超复数（格拉斯曼超复数（维向量空间）维向量空间）在哈密顿之后，各种新的超复数在哈密顿之后，各种新的超复数像雨后春笋般涌现出来一位德国像雨后春笋般涌现出来一位德国数学家格拉斯曼数学家格拉斯曼(H.G.Grassmann)(H.G.Grassmann)也也在对复数作出推广与哈密顿相比，在对复数作出推广与哈密顿相比，格拉斯曼的推广更为大胆，格拉斯曼的推广更为大胆，18441844年，年，格拉斯曼出版了他的格拉斯曼出版了他的线性扩张论线性扩张论但由于他把神秘的教义和本来但由于他把神秘的教义和本来就抽象难懂的数学内容揉合在一起，就抽象难懂的数学内容揉合在一起，再加上语言晦涩，所以这本书影响再加上语言晦涩，所以这本书影响很小直到很小直到18621862年，格拉斯曼对他年，格拉斯曼对他的书作了修订、简化，他的理论的的书作了修订、简化，他的理论的独创性才逐渐为人所知独创性才逐渐为人所知 格拉斯曼格拉斯曼Hermann Grassmann 格拉斯曼实际上涉及的是 n维 向量空间他所说的“扩张的量”就是一种有n个分量的超复数。格拉斯曼定义了两个超复数的加减法和两种乘法，一种称为内积，另一种称为外积。对于外积，没有交换律。将四元数改造成物理将四元数改造成物理学家所需要的工具的第学家所需要的工具的第一步，是由英国数学物一步，是由英国数学物理学家麦克斯韦迈出的理学家麦克斯韦迈出的他区分了四元数的数他区分了四元数的数量部分和向量部分在量部分和向量部分在个四元数个四元数 中，称中，称 为数量部分，为数量部分，称称 为向量部分为向量部分 麦克斯韦麦克斯韦11.3 布尔代数 早在早在早在早在17171717世纪，莱布尼兹就试图建立一种推理代数，通世纪，莱布尼兹就试图建立一种推理代数，通世纪，莱布尼兹就试图建立一种推理代数，通世纪，莱布尼兹就试图建立一种推理代数，通过演算完成一切正确的推理过程。但是莱布尼兹并没有过演算完成一切正确的推理过程。但是莱布尼兹并没有过演算完成一切正确的推理过程。但是莱布尼兹并没有过演算完成一切正确的推理过程。但是莱布尼兹并没有完成这项工作。莱布尼茨的思想在两个世纪后才获得实完成这项工作。莱布尼茨的思想在两个世纪后才获得实完成这项工作。莱布尼茨的思想在两个世纪后才获得实完成这项工作。莱布尼茨的思想在两个世纪后才获得实质性进展。英国数学家布尔的逻辑代数即现今所称的质性进展。英国数学家布尔的逻辑代数即现今所称的质性进展。英国数学家布尔的逻辑代数即现今所称的质性进展。英国数学家布尔的逻辑代数即现今所称的“布尔代数布尔代数布尔代数布尔代数”基本上完成了逻辑的演算工作。基本上完成了逻辑的演算工作。基本上完成了逻辑的演算工作。基本上完成了逻辑的演算工作。19世纪中后叶，代数学还开拓了另一个完全不同的世纪中后叶，代数学还开拓了另一个完全不同的领域，即布尔代数。领域，即布尔代数。布尔很早就有了将数学应用于逻辑的想法，传布尔很早就有了将数学应用于逻辑的想法，传统的亚里士多德逻辑所讨论的命题是一种具有统的亚里士多德逻辑所讨论的命题是一种具有“主主谓谓”形式的命题，亚里士多德的三段论也是建立形式的命题，亚里士多德的三段论也是建立在对这种命题进行推理的基础上的它们有四种基在对这种命题进行推理的基础上的它们有四种基本的形式：本的形式：1 1全称肯定命题：所有全称肯定命题：所有X X是是Y Y；2 2全称否定命题：所有全称否定命题：所有X X不是不是Y Y；3 3特称肯定命题：有些特称肯定命题：有些X X是是Y Y；4 4特称否定命题：有些特称否定命题：有些X X不是不是Y.Y.这四种命题中只有主词是被量化的这四种命题中只有主词是被量化的19世纪上半叶，一世纪上半叶，一些逻辑学家在对逻辑形式进行新的分析后指出，人们在实际些逻辑学家在对逻辑形式进行新的分析后指出，人们在实际进行判断时，不但要考虑主词的量，而且也要考虑谓词的量，进行判断时，不但要考虑主词的量，而且也要考虑谓词的量，将谓词量化的努力使人们想到可以用等式来处理命题，从而将谓词量化的努力使人们想到可以用等式来处理命题，从而为布尔的逻辑代数作了技术上的准备为布尔的逻辑代数作了技术上的准备 布尔的逻辑代数首先是作为一种类演算建立起来的，后布尔的逻辑代数首先是作为一种类演算建立起来的，后来，布尔又对它作了命题演算和概率演算的解释类就是我来，布尔又对它作了命题演算和概率演算的解释类就是我们现在所说的集合，用们现在所说的集合，用 等表示，符号等表示，符号 等则代表等则代表个体元素个体元素I表示全类或称论域表示全类或称论域(这个概念属于德摩根这个概念属于德摩根)，0代表代表空类空类 两个类两个类 和和 相加用相加用 表示，这类似于我们现在所说表示，这类似于我们现在所说的两个集合的并但与现在的意义不同的是，布尔只考虑了的两个集合的并但与现在的意义不同的是，布尔只考虑了和和 之间没有公共元素的情况，后来的逻辑学家则把它推广之间没有公共元素的情况，后来的逻辑学家则把它推广为两个可以相交的类之间的和为两个可以相交的类之间的和 两个类两个类 和和 相乘用相乘用 表示，它相当于两个集合的交表示，它相当于两个集合的交 代表那些所有不在代表那些所有不在 中的个体元素组成的类，中的个体元素组成的类，更一般地，布尔还考虑了两个类相减更一般地，布尔还考虑了两个类相减 。包含包含 则可写成则可写成 有了这些记号，传统逻辑中的四种基本命题就可以有了这些记号，传统逻辑中的四种基本命题就可以用符号清楚地表示出来，例如：用符号清楚