第七章-线性变换的值域与核ppt课件.ppt

2 2 线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算 3 3 线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量1 1 线性变换的定义线性变换的定义线性变换的定义线性变换的定义6 6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核8 8 若当标准形简介若当标准形简介若当标准形简介若当标准形简介9 9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式77不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间小结与习题小结与习题小结与习题小结与习题第七章第七章 线性变换线性变换5 5 对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵一、一、值域与核的概念值域与核的概念二、值域与核的有关性质二、值域与核的有关性质7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核 一、值域与核的概念定义定义1：设：设 是线性空间是线性空间V的一个线性变换，的一个线性变换，集合集合 称为称为线性变换的值域线性变换的值域，也记作或，也记作或 集合集合 称为称为线性变换的核线性变换的核，也记作，也记作 注：注：皆为皆为V的子空间的子空间.7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核事实上，事实上，且对且对 有有即即 对于对于V的加法与数量乘法封闭的加法与数量乘法封闭.为为V的子空间的子空间.再看再看 首先，首先，7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核又对又对 有有 从而从而 即即 故故 为为V的子空间的子空间.对于对于V的加法与数量乘法封闭的加法与数量乘法封闭.7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核定义定义2：线性变换的值域线性变换的值域 的维数称为的维数称为的秩的秩；的核的核 的维数称为的维数称为 的零度的零度.例例1、在线性空间在线性空间 中，令中，令则则 所以所以D的秩为的秩为n1，D的零度为的零度为1.1.(定理定理10)设是设是n 维线性空间维线性空间V的线性变换，的线性变换，是是V的一组基，在这组基下的矩阵是的一组基，在这组基下的矩阵是A，则则1）的值域的值域 是由基象组生成的子空间，即是由基象组生成的子空间，即2）的秩的秩A的秩的秩.二、有关性质7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核即即 又对又对 证：证：1）设设 于是于是 有有 7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核因此，因此，的秩，又的秩，又秩秩 秩秩等于矩阵等于矩阵A的秩的秩.2）由由1），），的秩等于基象组的秩等于基象组由第六章由第六章55的的结论结论3知，知，的秩的秩7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核2.设为设为n 维线性空间维线性空间V的线性变换，则的线性变换，则的秩的零度的秩的零度n即即 证明：设证明：设 的零度等于的零度等于r，在核，在核 中取一组基中取一组基 并把它扩充为并把它扩充为V的一组基：的一组基：生成的生成的.由定理由定理10，是由基象组是由基象组7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核但但 设设 则有则有 下证下证 为为 的一组基，即证它们的一组基，即证它们即即 可被可被 线性表出线性表出.线性无关线性无关.7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核设设 于是有于是有 由于为由于为 V的基的基.的秩的秩nr.因此，因此，的秩的秩 的零度的零度n.故故 线线 性无关，即它为性无关，即它为 的一组基的一组基.7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核虽然虽然 与与 的维数之和等于的维数之和等于n，但是，但是未必等于未必等于V.如在例如在例1中中,注意：注意：7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核)是满射是满射证明：证明：)显然显然.)因为因为 若若 为单射，则为单射，则 3.设为设为n 维线性空间维线性空间V的线性变换，则的线性变换，则)是单射是单射 反之反之，若，若 任取任取 若若 则则即即 故是单射故是单射.从而从而 是单射是单射 是满射是满射.证明：是单射证明：是单射 4.设设为为n 维线性空间维线性空间V的线性变换，则的线性变换，则是满射是满射.7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核例例2、设设A是一个是一个n阶方阵，阶方阵，证明：证明：A相似于相似于证：设证：设A是是n维线性空间维线性空间V的一个线性变换的一个线性变换 在一在一组基组基 下的矩阵，即下的矩阵，即 一个对角矩阵一个对角矩阵7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核由由 知知 任取任取 设设 则则 故有故有 当且仅当当且仅当 因此有因此有 又又 所以有所以有 从而是直和从而是直和.7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核在在 中取一组基：中取一组基：则则 就是就是V的一组基的一组基.显然有，显然有，在在 中取一组基中取一组基：用矩阵表示即用矩阵表示即 7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核所以，所以，A相似于矩阵相似于矩阵7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换在此基下的矩阵为线性变换在此基下的矩阵为 1)求求 及及 2)在在 中选一组基，把它扩充为中选一组基，把它扩充为V的一组基，的一组基，并求并求 在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵.并求并求 在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵.3)在在 中选一组基，把它扩充为中选一组基，把它扩充为V的一组基，的一组基，例例3、设是线性空间设是线性空间V的一组基，已知的一组基，已知7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核解：解：1）先求）先求 设设 它在它在下的坐标为下的坐标为故故由于由于 有有 在在 下的坐标为下的坐标为 7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：从而从而 是是 的一组基的一组基.由于由于 的零度为的零度为2，所以，所以 的秩为的秩为2，又由矩阵又由矩阵A，有，有即即 为为2维的维的.再求再求7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核2）因为）因为 从而有从而有所以，线性无关，所以，线性无关，就是就是 的一组基的一组基.7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核而而 可逆可逆.从而从而，线性无关，即为线性无关，即为V的一组基的一组基.在基在基 下的矩阵为下的矩阵为 7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核3）因为）因为 可逆可逆.而而7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核从而从而 线性无关，即为线性无关，即为V的一组基的一组基.在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为7.6 7.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核