2019八年级数学下册 专题突破讲练 巧解最值问题试题 （新版）青岛版.doc

1巧解最值问题巧解最值问题利用函数性质求最值利用函数性质求最值1.1. 利用图象求最值利用图象求最值 ：如：若该地 10 号、15 号的人均用水量分别为 18 千克和 15 千克，并一直按此趋势直线下降。当人日均用水量低于 10 千克时，政府将向当地居民送水。那么政府应开始送水的最合适号数为几号？答案：答案：24 号。 2.2. 利用几何图形变化求最值：利用几何图形变化求最值：如：在矩形 ABCD 中，动点 E 从点 B 出发，沿 BADC 方向运动至点 C 处停止，设点 E 运动的路程为 x，BCE 的面积为 y，AB4，AD5 时，则当 x 的值在什么范围时，BCE 面积最大？答案：。49x3.3. 根据实际问题中条件求最值：根据实际问题中条件求最值：如：某市出租车价格是这样规定的：不超过 2 公里，付车费 5 元，超过的部分按每千米 1.6 元收费，已知李老师乘出租车行驶了 x（x2）千米，付车费 y 元，则所付车费 y元与出租车行驶的路程 x 千米之间的函数关系为 。如果李老师有 22 元，那么他所乘车的最远距离是多少？ 答案：，12.625 千米。1.61.8yx4.4. 利用函数解析式中自变量的求值范围求最值：利用函数解析式中自变量的求值范围求最值：如：某商场欲购进 A、B 两种品牌的饮料 500 箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进 A 种饮料 x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为 y 元。求 y 关于 x 的函数关系式？如果购进两种饮料的总费用不超过 20000 元，那么该商场如何才能获利最多？（注：利润售价成本）品牌AB 进价（元/箱）5535售价（元/箱）63402答案：（1）32500yx（2）购进 A 种饮料 125 箱，购进 B 种饮料 375 箱。总结：总结：从一次函数的基本性质来看，当自变量 取全体实数时，它没有最值，但如果自变量的取值不是全体实数，那么它可能有最值，因此，解决有关一次函数的最值问题时。关键是求出自变量的取值范围，然后用一次函数的性质去处理。例题例题 1 1 有一个最多能称 10 千克的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表。那么在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为（ ）A. 10 厘米B. 13.5 厘米C. 14 厘米D. 14.5 厘米重量（千克）11.522.533.5 长度（厘米）4.555.566.57 解解析析：弹簧在一定的称重范围内弹簧的长度与物体重量满足一次函数关系，设出一次函数关系式，根据图中提供的数据求得函数关系式，令 x10 代入求得 y 的值即可。答答案案：由表中关系可以得到，弹簧长度 y（厘米）与称重 x（千克）的关系是一次函数关系，设弹簧长度 y（厘米）与称重 x（千克）的关系式为 ykxb，根据表格中提供的数据得当 x 1 时，y4.5；当 x2 时，y5.5；，解得：，解析式为 y3.5x，当弹簧最长时就是所4.5 25.5kb kb 1 3.5k b 挂重物最重时，此时 x10，y3.51013.5，故弹簧最长为 13.5 厘米。故选 B。点拨：点拨：本题考查了用待定系数法确定函数的解析式及如何求函数值的问题，把实际问题抽象成数学知识解决，是解决此类问题的关键。利用自变量取值范围求最值利用自变量取值范围求最值利用自变量取值范围求解最值问题，关键是正确寻找题目中的不等关系，列不等式组求得最佳方案。例题例题 为打造“书香校园” ，某学校计划用不超过 1900 本科技类书籍和 1620 本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共 30 个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍 80 本，人文类书籍 50 本；组建一个小型图书角需科技类书籍 30 本，人文类书籍 60 本。若组建一个中型图书角的费用是 860 元，组建一个小型图书角的费用是 570 元，请你设计一种组建方案，使总费用最低，最低费用是（ ）A. 22300 元B. 22610 元C. 22320 元D. 22650 元解解析析：设组建中型图书角 x 个、小型图书角（30x）个，由于组建中、小型两类图书角共 30 个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍 80 本，人文类书籍 50 本；组建一个小型图书角需科技类书籍 30 本，人文类书籍 60 本。若组建一个中型图书角的费用是 860元，组建一个小型图书角的费用是 570 元，因此可以列出不等式组 80x30（30x）1900 50x60（30x）1620，解不等式组然后去整数即可求解。3答案答案：设组建中型图书角 x 个、小型图书角（30x）个，由题意得，解之得：18x20，而 x 为整数，8030 301900 5060 301620 xx xx（） （）x18、19、20，有三种方案，费用 y860x570（30x）290x17100，当 x18 时，费用最少，为 290×181710022320 元。故选 C。 生活实践中求最值生活实践中求最值一次函数在实际生活中的应用，关键是找等量关系列方程，并运用待定系数法求 解一次函数解析式。例题例题 水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少 2 元，发现原来买这种水果 80 千克的钱，现在可买 88 千克。（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系。求 y 与 x 之间的函数关系式；请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润销售收入进货金额）解解析析：（1）设现在实际购进这种水果每千克 x 元，根据原来买这种水果 80 千克的钱，现在可买 88 千克列出关于 x 的一元一次方程，解方程即可；（2）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykxb，将（25，165） ， （35，55）代入，运用待定系数法即可求出 y 与 x 之间的函数关系式；设这种水果的销售单价为 x 元时，所获利润为 w 元，根据利润销售收入进货金额得到 w 关于 x 的函数关系式为 w11（x30）21100，再根据二次函数的性质即可求解。答案答案：解：（1）设现在实际购进这种水果每千克 x 元，则原来购进这种水果每千克（x2）元，由题意，得 80（x2）88x，解得 x20。答：现在实际购进这种水果每千克 20 元；（2）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykxb，将（25，165） ， （35，55）代入，得，解得，故 y 与 x 之间的函数关系式为 y11x440；设这种水果的销售单价为 x（元/千克）时，所获利润为 w 元，则 w（x20）y（x20） （11x440）11x2660x880011（x30）21100，所以当 x30 时，w 有最大值 1100。4答：将这种水果的销售单价定为 30 元时，能获得最大利润，最大利润是 1100 元。（答题时间：（答题时间：4545 分钟）分钟）一、选择题一、选择题1. 如图所示，是某航空公司托运行李的费用 y（元）与行李重量 x（千克）的关系图象，由图中可知，乘客可以免费托运行李的最大重量为（ ）A. 20 千克B. 30 千克C. 40 千克D. 50 千克2. 小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额 a 元后，再购买的商品按原价的 90%收费；在乙商场累计购买 50 元商品后，再购买的商品按原价的 95%收费。若累计购物 x 元，当xa 时，在甲商场需付钱数 yA0.9x10，当 x50 时，在乙商场需付钱数为 yB。下列说法：yB0.95x2.5；a100；当累计购物大于 50 元时，选择乙商场一定优惠些；当累计购物超过 150 元时，选择甲商场一定优惠些。其中正确的说法是（ ）A. B. C. D. *3. 如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC4，E、F 分别是 AB、AD 的中点。动点 R 从点 B出发，沿 BCDF 方向运动至点 F 处停止。设点 R 运动的路程为 x，EFR 的面积为y，当 y 取 到最大值时，点 R 应运动到（ ）A. BC 的中点处B. C 点处C. CD 的中点处D. D 点处*4. 某生物小组观察一植物生长，得到植物高度 y（单位：厘米）与观察时间 x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC 是线段，直线 CD 平行 x 轴） 。该植物最高长（ ）厘米。A. 11B. 13C. 15D. 165*5. 已知一列慢车与一列快车相继从武汉开往南京，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为 x（h） ，两车之间的距离为 y（km） ，图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系，如果二车都配有对讲机，并且二车相距不超过 15km 时，能相互通话，则二车均在行驶过程中能通话的时间为（ ）小时。A. 2 B. 4 C. 3 D. 1二、填空题：二、填空题：*6. 国际蔬菜科技博览会开幕，学校将组织 360 名师生乘车参观。某客车出租公司有两种客车可供选择：甲种客车每辆 40 个座位，租金 400 元；乙种客车每辆 50 个座位，租金480 元，则租用该公司客车最小需付租金 元。*7. 某工程队要招聘甲乙两种工种的工人 150 名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600 元和 1000 元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘 时可使得每月所付工资最少，最小值是 。*8. 一辆警车在高速公路的 A 处加满油，以每小时 60 千米的速度匀速行驶。已知警车一次加满油后，油箱内的余油量 y（升）与行驶时间 x（小时）的函数关系的图象如图所示的直线 上的一部分。如果警车要回到 A 处，且要求警车中的余油量不能少于 10 升，那么l警车可以行驶到离 A 处的最远距离是 km。*9. 某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午 8001200，下午 14001800，每月 25 天；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于 60 件。生产6产品件数与所用时间之间的关系见下表：生产甲产品件数（件）生产乙产品件数（件）所用总时间（分）10103503020850 信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得 1.50 元，每生产一件乙产品可得 2.80 元。根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品、每生产一件乙种产品分别需要 分。（2）小王该月最多能得_元？此时生产甲、乙两种产品分别_件。三、解答题：三、解答题：*10. 为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中 30 亩空地进行绿化。绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于 10 亩。并且种植草皮面积不少于种植树木面积的。已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为3 2 8000 元与 12000 元。（1）种植草皮的最小面积是多少？（2）种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低？最低费用为多少？*11. 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买 10 副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配 x（x2）个羽毛球，供社区居民免费借用。该社区附近 A、B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为 30 元，每个羽毛球的标价为 3 元，目前两家超市同时在做促销活动：A 超市：所有商品均打九折（按标价的 90%）销售；B 超市：买一副羽毛球拍送 2 个羽毛球。设在 A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 yA（元） ，在 B 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 yB（元） 。请解答下列问题：（1）分别写出 yA、yB与 x 之间的关系式；（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？（3）若每副球拍配 15 个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案。*12. 已知甲、乙两种原料中均含有 A 元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表所示：A 元素含量单价（万元/吨）甲原料5%2.5 乙原料8%6 已知用甲原料提取每千克 A 元素要排放废气 1 吨，用乙原料提取每千克 A 元素要排放废气 0.5 吨，若某厂要提取 A 元素 20 千克，并要求废气排放不超过 16 吨，问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元？71. A 解析：设一次函数的解析式为 ykxb，由图象过点（40，200）和（50，300）得，解得：，解析式为 y10x200，当 y0 时，x20，300 50 20040kb kb 10 200k b 即重量不超过 20 千克可免费。故选 A。2. C 解析：、yB0.95x50（195%）0.95x2.5，正确；、根据题意yAa（xa）×90%0.9x0.1a0.9x10，所以 a100；、当累计购物大于 50时上没封顶，选择乙商场一定优惠显然不对；、当 yAyB时，即0.9x100.95x2.5，解之得 x150。所以当累计购物超过 150 元时，选择甲商场一定优惠些。故选 C。3. B 解析：根据题意，EFR 的面积边 EF×其对应的高，当EFR 的面积最大时，边 EF 对应的高最大，从而将问题转化为求点 R 运动到何处时，到线段 EF 的距离最大。由所给图形可以看出当点 R 运动到 C 点时，点 R 到线段 EF 的距离最大。故选 B。4. D 解析：CDx 轴，从第 50 天开始植物的高度不变，设直线 AC 的解析式为ykxb（k0） ，经过点 A（0，6） ，B（30，12） ，解得。所6 3012b kb 1 5 6 kb以，直线 AC 的解析式为 yx6（0x50） ，当 x50 时，y×50616cm。故51 51选 D。 5. D 解析：设慢车每小时行驶km，快车每小时行驶km，由题意和图意得1v2v，解得：，则慢车每小时行驶 60km，快车每小时行驶1221321919(1)10033vvvv126090vv90km，设快车行驶 m 小时后，两车之间的距离不超过 15km，由题意得，解得：1.5m2.5。2.51.51 小时。则二车均在行驶过程60 190159060 115 mmmm中能通话的时间为 1 小时。故答案为 D。6. 3520 解析：只租甲种客车的费用为：360÷40×4003600 元；360÷507.2，需要乙种客车的辆数为 718，只租乙种客车的费用为 8×4803840；若两种客车都租，设租甲种客车 x 辆，乙种客车 y 辆，则40x50y360，4x5y36，4x365y，x9y，解得：，需要资金为：4544xy4×400480×43520 元，租用该公司客车最小需付租金 3520 元。故答案为 3520 元。7. 甲 50 人，乙 100 人，130000 元 解析：设招聘甲工种工人 x 人，则乙工种工人（150x）人，每月所付的工资为 y 元，则 y600x1000（150x）400x150000，（150x）2x，x50，而4000，当 x50 时，y最小400×50150000130000 元。招聘甲 50 人，乙 100 人时，可使得每月所付的工资最少；最少工资 130000 元。故答案为：甲 50 人，乙 100 人，130000 元。8. 250 解析：设直线 的解析式是 ykxb，由题意可知（3，42） ， （1，54）在函数l图象上，代入得：kb54 3kb42，解得：k6 b60，故直线 l 的解析式是：8y6x60，由题意得：y6x6010，解得：x，故警车最远的距离可以到：32560××250 千米，故答案为：250325 219. （1）15，20；（2）1644，60 和 555 解析：（1）设生产一件甲种产品需分钟，x生产一件乙种产品需分钟，由题意得：，即 解这个y1010350 3020850xy xy 35 3285xy xy 方程组得：即生产一件甲产品需要 15 分钟，生产一件乙产品需要 20 分钟。15 20x y （2）设生产甲种产品共用了分钟，生产乙种产品需用分钟，则生x(25 8 60)x 产甲种产品件，生产乙种产品件。15x25 8 60 20x 25 8 601.52.81520xxw 总额120000.12.820xx，又，得0.116800.14xx0.041680x 6015x900x由一次函数的增减性，当取最小值，即时取得最大值，x900x w此时（元）0.04 900 16801644w 这时甲生产了（件） ，乙生产了（件）900601525 8 60900120009005552020 即小王该月最多能得到 1644 元，此时生产甲、乙两种产品分别为 60 件和 555 件。10. 解：（1）设种植草皮面积为亩，则种植树木面积为（30）亩，xx由，解得18，即种植草皮的最小面积为 18 亩。x)30(23xx答：种植草皮的最小面积为 18 亩。 （2）3600004000)30(120008000xxxS因为种植草皮与种植树木的面积都不少于 10 亩。所以的取值范围为 10x20.x 所以当取最大值 20 时，函数（元） 。x280000360000204000最小值S即当种植草皮的面积为 20 亩时绿化总费用最低，最低费用为 280000 元。答：种植草皮的面积为 20 亩时绿化总费用最低，为 280000 元。11. 解：（1）由题意，得 yA（10×303x）×0.92.7x270，yB10×303（x20）3x240，（2）当 yAyB时，2.7x2703x240，得 x100；当 yAyB时，2.7x2703x240，得 x100；当 yAyB时，2.7x2703x240，得 x100，当2x100 时，到 B 超市购买划算，当 x100 时，两家超市一样划算，当 x100 时在 A超市购买划算。（3）由题意知 x15×10150100，选择 A 超市，yA2.7×150270675 元，先选择 B 超市购买 10 副羽毛球拍，送 20 个羽毛球，然后在 A 超市购买剩下的羽毛球（10×1520）×30.9351 元，共需要费用 10×30351651（元） 。651675，最佳方案是先选择 B 超市购买 10 副羽毛球拍，然后在 A 超市购买 130 个羽毛球12. 解：设需要甲原料 x 吨，乙原料 y 吨。由题意，得95%8%0.025%100 1 8%1000 0.516 xyxy由，得 y。把代入，得 x。设这两种原料的费用为 W 万元，由题意，得 W2.5x6y1.25x1.5。k1.250，W 随 x 的增大而减小。x时，W最小1.2。答：该厂购买这两种原料的费用最少为 1.2 万元。答：该厂购买这两种原料的费用最小是 1.2 万元。