2019八年级数学上册 专题突破讲练 分式中的特殊运算试题 （新版）青岛版.doc

1分式中的特殊运算分式中的特殊运算一、分式的混合运算一、分式的混合运算分式的混合运算关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。归纳：归纳：运算过程中，要注意运算顺序，在没括号的情况下，按从左向右的方向，先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的要先算小括号，再算中括号，最后算大括号的顺序运算；分子或分母的系数是负数时，要把“-”转化为分式本身的符号；在解题过程中，要掌握“1”的使用技巧， “1”可以化成任意一个分子、分母相同的分式。二、分式运算中常用的方法二、分式运算中常用的方法分式运算是以分式的性质为基础，根据分式的结构特征，通过适当的变形、转化、运用适当方法就会使运算过程变得容易，起到事半功倍的效果。1. 改变“运算符号”对于两个分母互为相反数的分式相加减，只须把其中一个分式分母的运算符号提出来，变成同分母分式进行相加减即可。如：111111111xxx xxxxx2. 拆分法有些分式的分母具有一定的规律，我们可以把它拆分成两个分式相减的形式，用来简化运算。如：111 (1)1a aaa3. 换元法对于有些分式的分子和分母都含有多项式，并且这些多项式大多相同，这时我们可以把每一个多项式看成一个整体，用一个简单的字母来代替它进行运算，起到简化运算的效果，最后不要忘记再替换过来。4. 因式分解法2对有些分式的分母是多项式时，直接运算会很繁琐，通常为了简化运算，我们可以把这些多项式进行因式分解，找出规律约分，起到简化运算的效果。如：=2211()()abab 1111()()abababab总之，分式运算方法有多种，在分式的实际运算中，我们要认真观察，反复思考，不断地归纳，寻找规律，以便能准确迅速计算出结果。例题例题 1 1 计算22223322332223()2baba abab bababa ababab 解析：解析：本题我们如果直接去计算，计算量是很大的。从题中我们可以看到分式的分子和分母中都含有，因此我们可以用换元法，用字母 x，y 来代替它们简化运算，大大的提高了运算速度，,b a a b最后不要忘记再替换回来。答案：答案：解：设，则 xy1，于是,baxyab=原式=22332223()2xyxyxyxyxy xyxyxy 232()()xyxyxyxy （）223()() ()()xyxyxy xyxyxy所以原式=222222222222=baba baabbaabab baabbababa abab 例题例题 2 2 设、b、c 均为正整数，若，则、b、c 的大小是 ac aba bcb aca。3解析：解析：首先根据、b、c 均为正整数，确定+b、b+c、+c、+b+c 也为正整数，再通过aaaa分为、分别通分，因式分c aba bcb acc abb aca bcb acc aba bc 解，判断出 bc、b、c，综合得出 bc。aaa答案：答案：、b、c 均为正整数，+b、b+c、+c、+b+c 也为正整数，aaaa，c aba bcb ac，c abb acc2+cb2+b，aab2-c2+b-c0，aa（b-c） （b+c）+a（b-c）0（b-c） （+b+c）0，abc，a bcb acc+2b2+bc，aab2-2+bc-c0，aa（b+） （b-）+c（b-）0，aaa（b-） （+b+c）0，aab，a，c aba bc2+bbc+c2，aa2+b-bc-c20，aa（+c） （-c）+b（-c）0，aaa（-c） （+b+c）0，aac，a综上，cb。a点拨：点拨：我们运用因式分解法，把分式进行因式分解后可以进行约分，大大地简化了分式，提高了运算的速度。4巧用拆分法解决规律问题巧用拆分法解决规律问题分式的混合运算、分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式再约分同时注意最后结果应为最简分式。例题例题 用你发现的规律解答下列问题。1-，-，-1 1 21 21 2 31 21 31 3 41 31 4（1）计算+= 。1 1 21 2 31 3 41 4 51 5 6（2）探究+= 。 （用含有 n 的式子表示）1 1 21 2 31 3 41 1nn（3）+的值为，n= 。1 1 31 3 51 5 7 1 2121nn17 35解析：解析：根据所给的等式可得=-，据此可求出（1） 、 （2）的值；1 1nn1 n1 1n（3）依据=（-）先展开，再合并，可化简（3）式，求出的结果等于1 2nn1 21 n1 2n，进而可求 n。17 35答案：答案：解：（1）原式=1-+-+-=1-=；1 21 21 31 51 61 65 6（2）原式=1-+-+-=1-=；1 21 21 31 n1 1n1 1n1n n（3）原式=×（1-+-+-）=×（1-）=，1 21 31 31 51 21n1 21n1 21 21n21n n根据题意可得：=，解得 n=17。21n n17 35故答案为：(1)； (2)； (3)17。5 61n n一、选择题51. 化简的结果是（ ）4(1)22a aaA. B. C. D. 2a a+ 2a a+2a a- 2a a-2. 化简的结果是（ ）24()(2)22mmmmA. 0 B. 1 C. -1 D. 22()m+3. 化简的结果是（ ）()xyxy yxxA. B. C. D. y1 yxy y+xy y-*4. 已知 x 为整数，且为整数，则符合条件的 x 有（ ）2119 339x xxx+-A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个5. 已知：a1=x+1（x0 且 x-1） ，a2=1÷（1-a1） ，a3=1÷（1-a2） ，an=1÷（1-an-1） ，则a2011等于（ ）A. x B. x+1 C. D. 1 x1x x二、填空题*6. 计算：=_。22221(1)121aaaaaa*7. 化简：，其结果是_。2216 636xxxx xxx*8. 对于任意非零实数 a，b，定义运算“”如下：ab=，2ab ab则1+32+43+20102009+20112010+20122011+20132012= 。*9. 若 a3b0，则=_。22222(1)24baabb abab三、解答题6*10. 先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作22444() 2xxxxxx 55x-<<为 x 的值代入求值。*11. 已知，求分式的值.（用整体思想求分式的值） 。114ab-=22 2aabb aabb+- -*12. 解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题例如，原问题是“若矩形的两边长分别为 3 和 4，求矩形的周长” ，求出周长等于 14 后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为 14，且一边长为 3，求另一边的长” ；也可以是“若矩形的周长为 14，求矩形面积的最大值”等。（1）设 A=-，B=，求 A 与 B 的积；3 2x x3 2x x24x x（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题。71. A 解析：熟记分式运算的顺序，先把括号里的通分合并，再进行除法运算。，故选 A。42422(1)222aaaa aaaaa2. B 解析：熟记分式运算的顺序，先把括号里的通分合并，再进行除法运算。2244(2)(2)1()(2)()(2)1222222mmmmmmmmmmmm3. B 解析：，故选 B。22 ()()xyxyxyxxy yxxxyxyy4. C 解析：，x 取222119339333 33333999() ()()xxxxx xxxxxxxx+-+=+=+-+-0、2、6、4 时，该分式为整数，符合条件的 x 有 4 个，故选 C。5. B 解析：a1=x+1（x0 且 x-1） ，a2=1÷（1-a1） ，a3=1÷（1-a2） ，an=1÷（1-an-1） ，a2=-，a3=，a4=x+1，1 x1x xa3n=，a3n+1=x+1，a3n+2=-，1x x1 x2011=670×3+1，a2011=x+1。故选 B。6. 1 解析：22221(1)121aaaaaa8222222222(1)11 11(1)21 1(1)221(1)(21)(1) 1aa aaaa aaaaaaaa 。7. 0 解析：。22161 (6)(6)666066(1)36xxxxxxxxxx xxxx xxxxx8. 解析：解：根据题意得：1006 201321+32+43+20102009+20112010+20122011+20132012=+2 1 22 1 32 2 3 2 20122011 220122011 20132012 22013 2012 =-+-+-+-1 2 11 221 221 2 31 220111 220121 220121 22013=-=。1 21 40262012 40261006 2013故答案为：。1006 20139. 解析：5 222222(1)24baabb abab222() 2(2 )(2 ) (2 )(2 ) 2() 2abbab abab ab abab ab abab ab ab 由3b0，可得3b，代入=。aa2ab ab- +5 2910. 解：，选值时要注意既要1 3222444(2)1()(2) (2)(2)22xxxxxxx xxxxxx使分式的结果有意义，又要使过程中每一步都要有意义。只要 x 不等于 0 或就可2±取 x=1 时，该分式的值为；取 x=-1 时，该分式的值为 1。范围取整数，55-x1 311. 11:4,444,222()2 ( 4)77 2()24266ab ba ab baabababaabbababababab aabbababababab 。解析：将变形为b4b，将分式变形为，114ab-=aa22 2aabb aabb+- -2 2() ()abab abab-+ -把式子中的b 看成一个整体，将式子中的b 都换成4b 问题就解决了。aaa12. 解：（1）AB（-）=23 23Axx xxxxB423 2x x3 2x x24x x12；12 22x xx24x x xx xx4 41222（2） “逆向”问题：已知 AB=12，B，求 A。24x x解答：A=（AB）÷B=12÷；24x x 21212(2)(2)4xx xxx即。23 23 xx xxA