2019八年级数学上册 专题突破讲练 利用三角形知识解决问题试题 （新版）青岛版.doc

1利用三角形知识解决问题利用三角形知识解决问题一、综合掌握三角形各种性质、定理一、综合掌握三角形各种性质、定理1. 三角形中的重要性质、定理：2. 建立相应的数学思想（1）方程思想的应用。列方程解决三角形中相关的角和面积的问题。（2）分类讨论的思想。根据题目分类别讨论可能发生的不同情况。（3）转化的思想。将复杂图形转化成简单图形求解。（4）由特殊到一般的思想。总结规律性的内容。二、关于辅助线的运用二、关于辅助线的运用目前所学添加的辅助线主要有两种：1. 作平行线，利用平行关系求角度。如三角形内角和定理的证明。2. 构造三角形，利用内、外角关系解题。如图，A=，B=40°，C=20°，O =4，则= 度。可延长 BO 与 AC 相交，将问题转化为三角形的问题。方法归纳：方法归纳：内、外角关系的知识点应注意以下几点：内、外角关系的知识点应注意以下几点：三种重要线段三种重要线段高、角平分线、中线高、角平分线、中线作用：高垂直对边、角平分线平作用：高垂直对边、角平分线平分的角相等，中线平分对边分的角相等，中线平分对边三角形三边的关系三角形三边的关系任意两边之和大于第三边；任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。任意两边之差小于第三边。三角形中，两边长分别是三角形中，两边长分别是 3 3、5 5，则周长的取值范围是多少？则周长的取值范围是多少？三角形的内角和、外三角形的内角和、外角和角和内角和内角和 180180 度，外角和度，外角和 360360度度一内角为一内角为 8080 度，请判断该三角度，请判断该三角形的形状？形的形状？2（1）使用方程和不等式辅助解题的时候，以下注意计算的准确性以及根据比例或倍数所设的未知数间的倍数关系。（2）各个性质及定理在使用的时候要抓住定理的关键点，比如外角关系中重要的是“不相邻” 、多边形的定义要强调“在同一平面内” 。（3）数学思想的建立也不是一两节课、一两道题所能形成的，要通过不断的练习和总结，同学们才能形成这种基本思想。技巧归纳：技巧归纳：总结：1. 认真审题，充分理解各定义、性质、定理，通过已知条件寻找与所学知识的联系。2. 灵活运用辅助关系，恰当添加辅助线，将复杂图形转化为所学内容进行解题。例题例题 1 1 如图，平原上有 A、B、C、D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 H 点的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。解解析析：水池只有建在四边形 ACBD 对角线的交点处才符合要求，取任意一点，由三角形 任意两边之和大于第三边可推导出结论。答答案案：解：连接 AC、BD 交点即为所求点，任取一点，连接 AP、CP、DP、BP，则AP+CP>AC，BP+DP>BD，当在 AC、BD 交点时，到四个顶点距离和最小。即 H 点在 AC、BD 的交点时，它与四个村庄距离之和最小。点拨：点拨：本题是三角形三边关系在实际生活中的应用，注意最小距离和的条件。例题例题 2 2 已知 a，b，c 是ABC 的三条边，化简下列式子|a-b-c|-|a+b-c|+|a-b+c|= 。总结规律类习题注意探究前面所形成的数字或图形的规律，找到相同点，此为规律中的共同内容，不同点则要寻找变化规律。分类讨论类习题多方位考虑问题，画出明确图形，选择正确结果，总结结论类习题注意研究前面含有具体数据的结论是否有变化，再总结最终结论。求较复杂图形中多个角的度数和的问题。3解解析析：要化简式子|a-b-c|-|a+b-c|+|a-b+c|的值，就要知道它们的绝对值里的数是正数还是负数，根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知。答答案案：解：a-b-c0，a+b-c0，a-b+c0。|a-b-c|-|a+b-c|+|a-b+c|=-（a-b-c）-（a+b-c）+（a-b+c）=3c-a-b。故答案为：3c-a-b点拨：点拨：本题考查了三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，难度适中。1.1. 由特殊值总结结论型习题由特殊值总结结论型习题总结结论类的习题一般题目前面会给我们一定的特殊值进行计算，然后根据多个不同数值的计算，总结出一般性的结论。注意掌握：（1）利用所学知识点通过数据进行基本计算，将不同数据的计算结论相比较，从中寻找一般性的结论；（2）结论的说明过程，也就是将前面的计算过程中数据的具体值转换成字母表示。（3）总结出的一般性结论，可以用来作为公式或定理使用，推广到同类习题的填空、选择习题中使用。例题例题 如图，在ABC 中，AD 平分BAC，P 为线段 AD 上的一个点。PEAD 交直线 BC 的延长线于点 E。（1）若B=30°，ACB=70°，则ADC= 度，E= 度；（2）若B=58°，ACB=102°，则ADC= 度，E= 度；（3）若B=m°，ACB=n°，且 nm，请用含 m、n 的式子表示ADC、E 的度数。 （写出结论即可，不需要证明）解解析析：（1）由 AD 平分BAC，得到BAD=CAD=BAC，根据三角形的内角和定理求出214BAC 的度数，根据角平分线的定义求出BAD 的度数，根据三角形的外角性质得到ADC 的度21数，根据三角形的内角和定理即可求出E 的度数；（2）和（3）的解法与（1）的求法类似，即可求出答案。答案答案：解：AD 平分BAC，BAD=CAD=BAC，21（1）B+ACB+BAC=180°，B=30°，ACB=70°，CAB=80°，BAD=×80°=40°，21ADC=B+BAD=30°+40°=70°，PEAD，DPE=90°，E=90°-70°=20°，故答案为：70，20。（2）B=58°，ACB=102°，与（1）解法类似求出ADC=68°，E=22°，故答案为：68，22。（3）ADC 的度数是，E 的度数是。180n 2m 2nm2.2. 运动变化型习题运动变化型习题本类习题是将习题的图形进行不同位置的改变，图形本身所具有的基本已知条件发生一定的改变，但结论不随图形的变化而变化，不要被图形的位置变化所影响，应做到以下几点：1. 认真读题，弄清习题的条件和要求。2. 充分联想回忆所学过的知识和题型，看和我们掌握的哪部分内容有关系。3. 从各个不同的角度分析题意，不要被运动变化所影响。4. 适当的添加辅助元素。例题例题（1）如图 1，有一块直角三角板 XYZ 放置在ABC 上，恰好三角板 XYZ 的两条直角边XY、XZ 分别经过点 B、C、ABC 中，A=40°，则ABC+ACB= 度，XBC+XCB= 度；5（2）如图 2，改变（1）中直角三角板 XYZ 的位置，使三角板 XYZ 的两条直角边 XY、XZ 仍然分别经过点 B、C，那么ABX+ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出ABX+ACX 的大小。解解析析：（1）在ABC 中，利用三角形的内角和等于 180°，可求ABC+ACB=180°-A，即可求出ABC+ACB；同理，在XBC 中，BXC=90°，那么XBC+XCB=180°-BXC，即可求出XBC+XCB 的值；（2）不发生变化，由于在ABC 中，A=40°，从而ABC+ACB 是一个定值，即等于 140°，同理，在XBC 中，BXC=90°，那么XBC+XCB 也是一个定值，即等于 90°，于是ABX+ACX 的值也不变，等于 140°-90°=50°；答案：答案：（1）140，90。解：解：（2）不发生变化。A=40°，ABC+ACB=180°-A=140°， （三角形内角和等于 180°）YXZ=90°，XBC+XCB=90°， （三角形内角和等于 180°）ABX+ACX=140°-90°=50°。（答题时间：（答题时间：4545 分钟）分钟）一、选择题1. 在一个三角形中（ ）A. 一定有一个角等于 60° B. 一定有一个角大于 60°C. 一定有一个角小于 60° D. 至少有一个角不小于 60°2. 如图长方形中的阴影部分，左边的面积（ ）右边的面积.6A. B. C. = D. 无法确定*3. 如图，把ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCED 的外部时，则A 与1、2 之间保持一种数量关系始终不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）A. A=1-2B. 2A=1-2C. 3A=21-2D. 3A=2（1-2）21EDCABA*4. 三角形内部有 2013 个点，将这 2013 个点与三角形的三个顶点连接，将三角形分割成互不重叠的三角形共有（ ）个。A. 2014 B. 4026 C. 4027 D. 4028*5. 如图，ABCD， OE 平分BOC，OFOE，POCD，ABO40°，则下列结论： BOE70°； OF 平分BOD；POEBOF；POB2DOF。其中结论正确的有（ ）A. B. C. D. 二、填空题*6. 如图，ABD、ACD 的角平分线相交于点 P，若A=50°，D=10°，则P 的度数为 。7*7. 如图，在ABA1中，B=20°，A =A A1B，在 A1B 上取一点 C，延长 AA1到 A2，使得A1A2C=A1C A2；在 A2C 上取一点 D，延长 A1A2到 A3，使得A2A3D=A2D A3；，按此做法进行下去，则An的度数为 _。*8. 将图中三角形纸片按照虚线方向折叠，原三角形面积是这个图形面积的 1.5 倍。已知图中三个阴影三角形面积之和为 1，那么原来三角形的面积是 。三、解答题9. 如图，在 RtACB 中，ACB=90°，A=25°，D 是 AB 上一点。将 RtABC 沿 CD 折叠，使B 点落在 AC 边上的 B处，求ADB是多少度？*10. 探究：（1）如图12 与BC 有什么关系？为什么？（2）把图ABC 沿 DE 折叠，得到图，填空：12_BC（填“” “” “=” ） ，当A40°时，BC12_。8（3）如图，是由图的ABC 沿 DE 折叠得到的，如果A30°，则 xy360°（BC12）360° ，猜想BDACEA 与A 的关系为 。12ADCBE12 ADCBEy°x°ADCBE*11. 如图，O 是ABC 的三条角平分线的交点，OGBC，垂足为 G。（1）猜想：BOC 与BAC 之间的数量关系，并说明理由；（2）DOB 与GOC 相等吗？为什么？*12. 如图 1，在平面直角坐标系中，AOB 是直角三角形，AOB=90°，斜边 AB 与 y 轴交于点C。（1）若A=AOC，求证：B=BOC；（2）如图 2，延长 AB 交 x 轴于点 E，过 O 作 ODAB，若DOB=EOB，A=E，求A 的度数；（3）如图 3，OF 平分AOM，BCO 的平分线交 FO 的延长线于点 P，A=40°，当ABO 绕 O点旋转时（斜边 AB 与 y 轴正半轴始终相交于点 C） ，问P 的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由。91. D 解析：A. 不一定，例如：90°，45°，45°；B. 有可能是两个，例如：70°，70°，40°；C. 不一定，例如：60°，60°，60°；D. 正确。故选 D。2. C 解析：两个阴影部分加上下面的空白三角形是同底等高的两个三角形，面积相等。3. B 解析：连接 AA' DAE=DA'E（它们是同一个角），2=EA'A+EAA'，1=BAA'+DA'A=DA'E+EA'A+DAE+EAA'=2DAE+2=2A+2，即 2A=1-2。4. C 解析：因为此题点数较多，这就要求我们寻找规律，可以通过画图来寻找规律：通过画图发现，当点数为 1 时，三角形的个数为 3；当点数为 2 时，三角形的个数为 5；当点数为3 时，三角形的个数为 7，当点数为 n 时，三角形的个数为 2n+1。画图如下：（1）图中，当ABC 内只有 1 个点时，可分割成 3 个互不重叠的小三角形。 （2）图中，当ABC 内只有 2 个点时，可分割成 5 个互不重叠的小三角形。 （3）图中，当ABC 内只有 3 个点时，可分割成 7 个互不重叠的小三角形。 （4）根据以上规律，当ABC 内有 n（n 为正整数）个点时，可以把ABC 分割成（2n+1）个互不重叠的三角形。因此，三角形内部有 2013 个点时，可将三角形分割成互不重叠的三角形的个数为：2n+1=2×2013+1=4027（个） 。故选 C。5. B 解析：根据垂直定义、角平分线的性质、直角三角形的性质求出POE、BOF、BOD、BOE、DOF 等角的度数，即可对进行判断。解：ABCD，BOD=ABO=40°，COB=180°-40°=140°，又OE 平分BOC，BOE=COB=×140°=70°。21 21POCD，POD=90°，又ABCD，BPO=90°，又ABO=40°，POB=90°-40°=50°，BOF=POF-POB=70°-50°=20°，FOD=40°-20°=20°，OF 平分BOD。EOB=70°，POB=90°-40°=50°，POE=70°-50°=20°，又BOF=POF-POB=70°-50°=20°，POE=BOF。由可知POB=90°-40°=50°，FOD=40°-20°=20°，故POB2DOF。故选 B。6. 20° 解析：利用角平分线的性质计算。延长 DC，与 AB 相交于点 E。根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得ACD=50°+AEC=50°+ABD+10°，整理得ACD-ABD=60°。设 AC10与 BP 相交于点 O，则AOB=POC，P+ACD=A+ABD，即P=50°-（ACD-21 21 21ABD）=20°。7. 解析：在ABA1中，B=20°，A=AA1B，BA1A=80°，A1A2C=A1CA2，BA1A 是A1A2C 的外角，CA2A1=40°；同理可得，DA3A2=20°，EA4A3=10°，An=。故答案为：。8. 3 解析：设折叠后空白部分的面积是 s，则折叠后图形的面积=s+s阴影，折叠前的三角形的面积=2s+s阴影，原三角形面积是折叠后图形面积的 1.5 倍，2s+s阴影=1.5（s+s阴影） ，s=1，s=2s+s阴影=2+1=3。9. 解：在 RtACB 中，ACB=90°，A=25°，B=90°25°=65°， CDB由CDB 反折而成， CBD=B=65°，CBD 是ABD 的外角，ADB=CBDA=65°25°=40°。10. 解：（1）根据三角形的内角和是 180°，可知：1+2=180°-A，B+C=180°-A，1+2=B+C；（2）1+2+BDE+CED=B+C+BDE+CED=360°，1+2=B+C；当A=40°时，B+C+1+2=140°×2=280°；（3）如果A=30°，则BDA+CEA=360°-（B+C+1+2）=360°-300°=60°，BDA+CEA 与A 的关系为：BDA+CEA=2A。11. 解：（1）BOC90°BAC21AD、BE、CF 是角平分线，OBCOCB（ABCACB）（180°BAC）21 211190°BAC21BOC180°（90°BAC）90°BAC21 21（2）DOB 与GOC 相等，理由如下：DOB=EBA+BAD，DOB=（ABC+BAC） （角平分线）21OCG-90ACB21-90GOC=180°-90°-OCG，BODCOG12. （1）证明：AOB 是直角三角形，A+B=90°，AOC+BOC=90°，A=AOC，B=BOC；（2）解：A+ABO=90°，DOB+ABO=90°，A=DOB，又DOB=EOB，A=E，DOB=EOB=OAE=OEA，DOB+EOB+OEA=90°，A=30°；（3）P 的度数不变，P=25°。理由如下： AOM=90°-AOC，BCO=A+AOC，又OF 平分AOM，CP 平分BCO，FOM=45°-AOC ，PCO=A+AOC ，+得：21 21 21PCO+FOM=45°+A，P=180°-（PCO+FOM+90°）21=180°-（45°+A+90°）=180°-（45°+20°+90°）=25°。21