2-3 脉冲响应及离散系统.ppt

2.5 线性系统的脉冲响应矩阵线性系统的脉冲响应矩阵2.5.1 线性时变系统的脉冲响应矩阵线性时变系统的脉冲响应矩阵假设系统初始条件为零，假设系统初始条件为零，输入为单位脉冲函数，即输入为单位脉冲函数，即其中，其中，为加入单位脉冲的时刻。而为加入单位脉冲的时刻。而第i 个分量 就表示在就表示在 时刻，仅在时刻，仅在第第i个输入端施加一个单位脉冲。系统个输入端施加一个单位脉冲。系统的输出为：的输出为：（43）为为m维向量，它表示系统输出维向量，它表示系统输出 对输入对输入 的第的第i个元素在个元素在时刻加入单位脉冲时的响应。时刻加入单位脉冲时的响应。将将 ，按次序按次序排列，则排列，则（44）线性时变系统脉冲响应矩阵线性时变系统脉冲响应矩阵（45）2.5.2 线性定常系统的脉冲响应矩阵线性定常系统的脉冲响应矩阵脉冲响应矩阵为脉冲响应矩阵为（46）如果单位脉冲出现在如果单位脉冲出现在=0 的时刻，则的时刻，则脉冲响应矩阵为脉冲响应矩阵为（47）2.5.3 传递函数矩阵与脉冲响应矩阵之间的关系传递函数矩阵与脉冲响应矩阵之间的关系对（对（47）式求拉普拉斯变换）式求拉普拉斯变换L而而（48）上式可改写成上式可改写成（49）如果如果 存在，则存在，则（50）将将（50）式代入（）式代入（48），得到），得到（51）（52）当当D=0 时时 可见，线性定常系统在初始松弛情况下脉冲可见，线性定常系统在初始松弛情况下脉冲响应矩阵的拉普拉斯响应矩阵的拉普拉斯变换就是系统传递函数矩阵。变换就是系统传递函数矩阵。2.5.4 利用脉冲响应矩阵计算系统的输出利用脉冲响应矩阵计算系统的输出如果输入如果输入向量表示为向量表示为（53）将将（53）式代入（）式代入（28）式）式（54）当系统初始状态为零时当系统初始状态为零时（55）2.6 线性连续系统方程的离散化线性连续系统方程的离散化作以下假定：作以下假定：1）被控对象上有采样开关）被控对象上有采样开关；2）采样周期为采样周期为T，满足香农采样定理要求，包含连续信号全部满足香农采样定理要求，包含连续信号全部信息；信息；3）具有零阶保持器。）具有零阶保持器。2.6.1 线性时变系统线性时变系统（56）初始状态为初始状态为状态方程的解为状态方程的解为（57）令令 ，则，则（58）（59）再令再令 ，则，则将（将（59）式两边都左乘）式两边都左乘（60）（58）减（）减（60）并且整理后，得到）并且整理后，得到令：令：考虑到考虑到于是于是省略省略T，得到，得到（61）输出方程离散化，令输出方程离散化，令 ，即可，即可以得到以得到（62）2.6.2 线性定常系统线性定常系统（63）离散化后得到离散化后得到（64）其中其中2.7 线性离散系统的运动分析线性离散系统的运动分析2.7.1 线性定常离散系统齐次状态方程的解线性定常离散系统齐次状态方程的解系统的齐次状态方程为：系统的齐次状态方程为：其中，其中，x(k)为为n维状态向量维状态向量采用迭代法可以求出系统齐次状态方程的解采用迭代法可以求出系统齐次状态方程的解（65）其中其中（66）系统的输出为系统的输出为（67）2.7.2 状态转移矩阵状态转移矩阵若系统初始状态为若系统初始状态为 ，通过，通过 将其转移到状态将其转移到状态 ，故，故 称为状态转移矩阵。称为状态转移矩阵。1.的基本性质的基本性质1）满足自身的矩阵差分方程及初始条件）满足自身的矩阵差分方程及初始条件2）传递性）传递性3）可逆性）可逆性2.状态转移矩阵的计算状态转移矩阵的计算有有4种状态转移矩阵的计算方法：种状态转移矩阵的计算方法：按定义计算；按定义计算；用用z z反变换反变换计算；计算；应用凯应用凯-哈定理计算；哈定理计算；通过线性变换计算。通过线性变换计算。在此，我们仅讨论用在此，我们仅讨论用z反变换计算。反变换计算。离散系统的齐次状态方程为：离散系统的齐次状态方程为：对上式进行对上式进行 z 变换变换Z可见可见Z（68）例例2-132-13 离散系统齐次状态方程为离散系统齐次状态方程为求状态转移矩阵求状态转移矩阵解解Z2.7.3 线性定常离散系统方程的解线性定常离散系统方程的解（69）系统方程为系统方程为可以用迭代法求系统状态方程的解可以用迭代法求系统状态方程的解系统方程的解为系统方程的解为（70）系统的输出为系统的输出为（71）2.7.3 线性时变离散系统方程的解线性时变离散系统方程的解系统方程为系统方程为（72）若系统的解存在且唯一，则解为若系统的解存在且唯一，则解为（73）（用迭代法可以证明）（用迭代法可以证明）系统的输出为系统的输出为（74）2.8 用用MATLAB求解系统方程求解系统方程2.8.1 线性齐次状态方程的解线性齐次状态方程的解 使用使用MATLAB可以方便地求出状态方程的解。我们通过例可以方便地求出状态方程的解。我们通过例子来说明。子来说明。例例2-162-16 已知线性系统齐次状态方程为已知线性系统齐次状态方程为 初始条件初始条件求系统状态方程的解。求系统状态方程的解。解解用以下用以下MATLAB程序计算齐次状态方程的解，其中程序计算齐次状态方程的解，其中collect()函数的作用是合并同类项，而函数的作用是合并同类项，而ilaplace()函数的作用是求取拉函数的作用是求取拉普拉斯逆变换，函数普拉斯逆变换，函数det()的作用是求方阵的行列式。的作用是求方阵的行列式。程序执行结果程序执行结果这表示这表示2.8.2 线性非齐次状态方程的解线性非齐次状态方程的解通过以下例子说明。通过以下例子说明。例例2-172-17 已知系统状态方程为已知系统状态方程为解解 用以下用以下MATLAB程序求系统方程的解。其中，语句程序求系统方程的解。其中，语句phi=subs(phi0,t,(t-tao)表示将符号变量表示将符号变量phi0中的自变量中的自变量t用用(t-tao)代换就构成了符号变量代换就构成了符号变量phi，而语句，而语句x2=int(F,tao,0,t)表示符号变量表示符号变量F对对tao在在0到到t的积分区间上求积分，运算结果返回到的积分区间上求积分，运算结果返回到x2。程序执行结果为程序执行结果为 这表示这表示2.8.3 连续系统状态方程的离散化连续系统状态方程的离散化在在MATLAB中，函数中，函数c2d（）的功能就是将连续时间的系统模型转（）的功能就是将连续时间的系统模型转换成离散时间的系统模型。其调用格式为：换成离散时间的系统模型。其调用格式为：sysd=c2d(sysc,T,method)。其中，输入参量。其中，输入参量sysc为连续时间的系统模为连续时间的系统模型；型；T为采样周期（秒）；为采样周期（秒）；method用来指定离散化采用的方法用来指定离散化采用的方法。zoh采用零阶保持器；采用零阶保持器；foh采用一阶保持器；采用一阶保持器；tustin采用双线性逼近方法；采用双线性逼近方法；prewarm采用改进的采用改进的tustin方法；方法；matched采用采用SISO系统的零极点匹配方法；系统的零极点匹配方法；当当method为缺省时（即：调用格式为为缺省时（即：调用格式为sysd=c2d(sysc,T)时），默认时），默认的方法是采用零阶保持器。的方法是采用零阶保持器。例例2-182-18 某线性连续系统的状态方程为某线性连续系统的状态方程为其中其中 采用零阶保持器将其离散化，设采样周期为采用零阶保持器将其离散化，设采样周期为0.1秒。求离散化的状态秒。求离散化的状态方程模型。方程模型。解解 输入以下语句，其中输入以下语句，其中D=zeros(2)表示，将表示，将D赋值为赋值为22维的全零维的全零矩阵。矩阵。语句执行的结果为语句执行的结果为计算结果表示系统离散化后的计算结果表示系统离散化后的状态方程为状态方程为第第2 2 章章 结束结束