2019年高中数学第二章2.4的数量积2.4.1数量积的物理背景及其含义优化练习4.doc

12.4.12.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义课时作业A 组 基础巩固1已知|a|6，|b|3，a·b12，则向量a在向量b方向上的投影是( )A2 B2C4 D4解析：记向量a与b的夹角为，由a·b|a|b|cos 12，即 6×3cos 12，所以 cos ，所以a在b方向上的投影为|a|cos 6×4.2 3(2 3)答案：D2若向量a，b，c满足ab且ac，则c·(a2b)( )A4 B3C2 D0解析：因为ab且ac，所以bc，从而c·bc·a0.所以c·(a2b)c·a2c·b0.答案：D3|a|1，|b|2，cab且ca，则a与b的夹角为( )A30° B60°C120° D150°解析：ca，设a与b的夹角为，则(ab)·a0，所以a2a·b0，所以a2|a|b|cos 0，则 12cos 0，所以 cos ，所以120°.1 2答案：C4已知a，b均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么|a3b|( )A. B.710C. D413解析：|a3b|2a26a·b9b216×cos 60°913，所以|a3b|.13答案：C5若向量a与b的夹角为，|b|4，(a2b)·(a3b)72，则向量a的模为( ) 3A2 B4C6 D12解析：由题意知a·b|a|b|cos |a|b|2|a|，(a2b)·(a3b) 31 22a2a·b6b2|a|22|a|6×4272，|a|6.答案：C6已知|a|3，|b|4，则(ab)·(ab)_.解析：(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|232427.答案：77在ABC中，BAC120°，AB2，AC1，D是边BC上一点，2 ，DCBD则·_.ADBC解析：由2，所以，DCBDBD1 3BCBCACAB故·()·ADBCABBDBC·()AB13ACABACAB·()(2 3AB13AC)ACAB·1 3ABAC1 3AC22 3AB2 |cos 120° |2 |21 3ABAC1 3AC2 3AB ×2×1× ×1 ×22 .1 3(1 2)1 32 38 3答案：8 38已知ab2i8j，ab8i16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b_.解析：将两已知等式相加得，2a6i8j，所以a3i4j.同理将两已知等式相减得，b5i12j，而i，j是两个互相垂直的单位向量，所以a·b(3i4j)·(5i12j)3×54×(12)63.答案：639已知|a|3，|b|6，当ab，ab，a与b的夹角是 60°时，分别求a·b.解析：当ab时，若a与b同向，则它们的夹角0°，a·b|a|b|cos 0°3×6×118；若a与b反向，则它们的夹角180°，3a·b|a|b|cos 180°3×6×(1)18；当ab时，它们的夹角90°，a·b0；当a与b的夹角是 60°时，有a·b|a|b|cos 60°3×6× 9.1 210设向量a，b满足|a|b|1，|3ab|.5(1)求|a3b|的值；(2)求 3ab与a3b夹角的正弦值解析：(1)由|3ab|，得(3ab)25，5所以 9a26a·bb25，因为a2b21，所以a·b .因此(a3b)5 62a26a·b9b215，所以|a3b|.15(2)设 3ab与a3b的夹角为，因为(3ab)·(a3b)3a28a·b3b2，20 3所以 cos ，3ab·a3b |3ab|a3b|20 35 34 39因为 0°180°，所以 sin ，1cos21(4 39)2339所以 3ab与a3b的夹角的正弦值为.339B 组 能力提升1已知向量a，b的夹角为 120°，|a|b|1，c与ab共线，则|ac|的最小值为( )A1 B.1 2C. D3 432解析：|a|b|1，c与ab共线a与c的夹角为 60°或 120°.当60°时|ac| a22a·cc21|c|c|2 (|c|1 2)23 4|ac|min1当120°时，|ac| 1|c|c|24 |c|1223 4|ac|min.32答案：D2在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则( )|PA|2|PB|2 |PC|2A2 B4C5D10解析：|PA|2|PB|2 |PC|2PA2PB2PC2PCCA2PCCB2PC22PC22PC·CA2PC·CBCA2CB2PC22|PC|22PC·CACBAB2|PC|2642610.|AB|2|PC|2答案：D3已知ABC中，若2···，则ABC是( )ABABACBABCCACBA等边三角形 B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形解析：由2···，得·()·()，ABABACBABCCACBABABACBCBACA即··，··0，·()0，则·0，即ABCBBCBCABBCBCBCBCABBCBCAC，BCAC所以ABC是直角三角形，故选 C.答案：C54设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则 6的最大值等于_|x| |b|解析：因为e1，e2为单位向量，e1，e2的夹角为，所以e1·e2. 632|b|b|2xe1ye22x2y22x·ye1·e2x2y2 3xy所以|x| |b|x|x2y2 3xy1y2 x2 3y x12，所以的最大值为 2.1(y x32)21 4|x| |b|答案：25已知两个向量a，b满足|a|2，|b|1，a，b的夹角为 60°，m2xa7b，naxb，xR.(1)若m，n的夹角为钝角，求x的取值范围；(2)设函数f(x)m·n，求f(x)在1,1上的最大值与最小值解析：(1)a·b|a|b|·cos 60°2×1×cos 60°1，由m，n的夹角为钝角，得m·n<0，且m，n不反向共线，m·n(2xa7b)·(axb)2xa27a·b2x2a·b7xb28x2x277x2x215x7<0，且去掉 2xa7b(axb)中小于 0 的情形解得7<x< ，且x，x的取值范围是.1 2142(7，142) (142，12)(2)由(1)得f(x)2x215x722，f(x)在1,1上单调递增，(x15 4)169 8f(x)minf(1)21576，f(x)maxf(1)215724.6.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OCBD，OA1，AOB120°.(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；OAOBMC(2)求·的取值范围MCMD解析：(1)由已知可得，OC3 4OAMCOCOM易得OAMB是菱形，则，所以().OMOAOBMCOCOM3 4OAOAOB1 4OAOB6(2)易知DMC60°，且|，那么只需求 MC 的最大值与最小值即可，当MCMDMCOA 时，MC 最小，此时 MC，则·××cos 60° .当 MC 与 MO 重32MCMD323238合时，MC 最大，此时 MC1，则·cos 60° ，所以·的取值范围为MCMD12MCMD.38，12