2.5函数的值域与最值.ppt

第第5 5讲函数的值域与最值讲函数的值域与最值【学习目标学习目标】理理解解函函数数的的最最大大(小小)值值的的概概念念及及几几何何意意义义，熟熟练练掌掌握握基基本本初初等等函函数数的的值值域域，掌掌握握求求函函数数的的值值域域和和最值的基本方法最值的基本方法【基础检测基础检测】1设设函函数数f(x)的的定定义义域域为为R，有有下下列列三三个个命命题题：若若存存在在常常数数M，使使得得对对任任意意xR，有有f(x)M，则则M是是函函数数f(x)的的最最大大值值；若若存存在在x0R，使使得得对对任任意意xR，且且xx0，有有f(x)f(x0)，则则f(x0)是是函函数数f(x)的的最最大大值值；若若存存在在x0R，使使得得对对任任意意xR，有有f(x)f(x0)，则则f(x0)是是函函数数f(x)的的最最大大值值这这些些命命题题中中，正正确命题的个数是确命题的个数是()A0个个 B1个个 C2个个 D3个个C【解析解析】根据最大值的定义，对于根据最大值的定义，对于M可能是最大可能是最大值，也可能是比最大值还大的数；值，也可能是比最大值还大的数；则显然与则显然与最大值的定义是一致的，因此是正确的最大值的定义是一致的，因此是正确的2函函数数yx22x的的定定义义域域是是0,1,2，则则该该函函数数的的值值域域为为()A1,0 B0,1,2Cy|1y0 Dy|0y2A【解析解析】当当x0时，时，y0；当；当x1时，时，y1；当当x2时，时，y0.故值域为故值域为1,0BB5已知函数已知函数f(x)x22x3，若在，若在0，m上有最大上有最大值为值为3，最小，最小值为值为1，则则m的取的取值值范范围围是是 2,4【解析解析】f(x)(x2)21，由图可知：由图可知：m2,4【知识要点知识要点】1函数的值域函数的值域函函数数f(x)的的值值域域是是 的的集集合合，记记为为y|yf(x)，xA，其中，其中A为为f(x)的定的定义义域域2常见函数的值域常见函数的值域(1)一次函数一次函数ykxb(k0)的值域为的值域为 .(2)二次函数二次函数yax2bxc(a0)，当当a0时，值域为时，值域为，)；当当a0时，值域为时，值域为(，函数函数函数函数值值值值y yR(3)反比例函数反比例函数y(k0)的的值值域域为为.(4)指数函数指数函数yax(a0且且a1)的的值值域域为为 .(5)对对数函数数函数ylogax(a0且且a1)的的值值域域为为 .(6)正、余弦函数正、余弦函数ysinx，ycosx的的值值域域为为 ；正切函数的；正切函数的值值域域为为 .(，0)(0，)(，0)(0，)R1,1R3函数的最值函数的最值一一般般地地，设设函函数数yf(x)的的定定义义域域为为I，如如果果存存在在实实数数M：(1)若若xI，f(x)M且且x0I，f(x0)M，则则称称M为为f(x)的的 (2)若若xI，f(x)M且且x0I，f(x0)M，则则称称M为为f(x)的的 最大最大值值最小最小值值(3)单调性法和导数法：如求无理函数的值域，单调性法和导数法：如求无理函数的值域，务必先考虑定义域，若为单调函数，则直接求务必先考虑定义域，若为单调函数，则直接求解即可；若不是单调函数，往往通过换元转化解即可；若不是单调函数，往往通过换元转化为二次函数、三角函数等函数的值域问题或利为二次函数、三角函数等函数的值域问题或利用均值不等式求解换元时，务必注意新变量用均值不等式求解换元时，务必注意新变量的取值范围，否则将会扩大取值范围的取值范围，否则将会扩大取值范围(4)判判别别式式法法：主主要要适适用用于于可可化化为为关关于于x的的二二次次方方程程a(y)x2b(y)xc(y)0的的函函数数yf(x)在在由由0且且a(y)0,求求出出y的的最最值值后后，要要检检验验这这个个最最值值在在定定义义域域内内是否有相应的是否有相应的x的值的值(5)换换元元法法：主主要要有有三三角角代代换换、二二元元代代换换、整整体体代代换换等用换元法时，一定要注意新变量的取值范围等用换元法时，一定要注意新变量的取值范围 (6)数形结合法：常用于解答选择题、填空题或数形结合法：常用于解答选择题、填空题或探究解题思路探究解题思路二、函数的最值二、函数的最值例例2已已知知二二次次函函数数f(x)ax2bx，f(x1)为为偶偶函函数数，函函数数f(x)的图象与直线的图象与直线yx相切相切(1)求求f(x)的解析式；的解析式；(2)若常数若常数k，存存在在区区间间m，n(m0，b0，且且函函数数f(x)4x3ax22bx2在在x1处处有极有极值值，则则ab的最大的最大值值等于等于()A2 B3 C6 D9D(2)(2011北京北京)已知函数已知函数f(x)(xk)ex.()求求f(x)的的单调单调区区间间；()求求f(x)在区在区间间0,1上的最小上的最小值值()当当k10，即即k1时时，f(x)在在0,1上上单单调调递递增增，f(x)minf(0)k；当当0k11，即，即1k2时，时，由由()知知f(x)在在0，k1上上单单调调递递减减，k1,1上上单调递增，单调递增，f(x)minf(k1)ek1，当当k11，即，即k2时，时，f(x)在在0,1上单调递减，上单调递减，f(x)minf(1)(1k)e.综上所述：当综上所述：当k1时，时，f(x)mink；当当1k2时，时，f(x)minek1；当当k2时，时，f(x)min(1k)e.【命命题题立立意意】(1)本本题题考考查查了了用用导导数数求求极极值值，均均值值不不等等式式等等知知识识，题题目目难难度度中中等等，重重在在考考查查基基础知识和基本计算能力础知识和基本计算能力(2)本本题题考考查查利利用用导导数数研研究究函函数数的的单单调调性性与与极极值值、最最值值问问题题，考考查查分分类类讨讨论论思思想想，考考查查学学生生转转化化与化归的能力，难度适中与化归的能力，难度适中1若若函函数数f(x)loga(x1)(a0，a1)的的定定义义域域和和值值域域都是都是0,1，则则a的的值值等于等于()A.B.C.D2D【解析解析】0 x1，1x12，而，而0f(x)1，可知，可知a1且且loga21，a2.CA4若若函函数数f(x)x33xa在在区区间间0,3上上的的最最大大值值和最小和最小值值分分别别是是M、N，则则MN()A10 B20 C30 D40B【解析解析】f(x)3x233(x1)(x1)则则x0,1时，时，f(x)0，f(x)为增函数为增函数f(x)minf(1)2a，即，即N2a.又又f(0)a0时时，f(x)0，f(1)，且，且f(x)在在R上是减上是减函数，求函数，求f(x)在在3,3上的最大上的最大值值和最小和最小值值【解析解析】f(x)对于任意对于任意x，yR，总有总有f(x)f(y)f(xy)，令令xy0得得f(0)0.令令yx，得，得f(x)f(x)f(x)在在R上是减函数上是减函数f(x)在在3,3上是减函数上是减函数f(x)maxf(3)，f(x)minf(3)，而而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2，f(x)max2，f(x)min2.