2019学年高二数学上学期第二次段考（12月）试题 理.doc

120192019 学年上学期第二次段考学年上学期第二次段考 高二年级理科数学试题高二年级理科数学试题一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题；共小题；共 6060 分）分） 1. 给定下列四个命题： 如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 如果一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直； 如果一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中为真命题的是 ( ) A. 和B. 和C. 和D. 和2. 已知直线 和平面 ， ，且 在 ， 内的射影分别为直线 和 = ，则直线 和 的位置关系是 ( )A. 相交或平行B. 相交或异面 C. 平行或异面D. 相交、平行或异面3. 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 的正方形，则此四面体的1外接球的表面积为 ( )A. B. C. D. 2435 24. 设四边形 的两条对角线为 ，则“四边形 为菱形”是“”的 ( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 设入射光线沿直线 射向直线 ，则被 反射后，反射光线所在的直线方程 = 2 + 1 = = 是 ( ) A. B. C. D. 2 1 = 0 2 + 1 = 03 2 + 1 = 0 + 2 + 3 = 06. 已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线 2222= 1( > 0, > 0) 2 52 + = 0 垂直，则双曲线的方程为 ( )A.B.C. D. 22 4= 1 24 2= 132 2032 5= 132 532 20= 127. 如图，在四棱锥 中，侧面 为正三角形，底面 为正方形，侧面 ， 为底面 内的一个动点，且满足 ，则点 在正方形 面 = 内的轨迹为下图中的 ( )A. B. C. D. 8. 双曲线 的两个焦点分别为 ，点 在双曲线上，且满足 2 3 2= 11,2，则 的面积为 1 + 2 = 2 5 12( )A. B. C.1D. 1 2359. 已知球 的半径为 ，四点 ， ， ， 均在球 的表面上，且 ，2 = 4 = 3，则点 到平面 的距离为 = = 6( )A. B. C. D. 323 233110. 已知 是直线 上的动点， 是圆 的切线，3 + 4 + 8 = 02+ 2 2 2 + 1 = 0， 是切点， 是圆心，那么四边形 面积的最小值是 ( )A. B. C. D.3 223 2 211. 为正四面体 棱 的中点，平面 过点 ，且 ， 平面，则 ， 所成角的余弦值为 平面 = 平面 = ( )A. B. C. D. 3363221 312. 设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，其焦距为 ，点 在22+22= 1( > > 0)122(,2)椭圆的内部，点 是椭圆 上的动点，且 恒成立，则椭圆离心率的取1+ 0)22+22= 1 ( > > 0)12有四个不同的交点，设 是其中的一个交点，若 的面积为 ，椭圆的长轴为 ，则 122615 + + =三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题；共小题；共 7070 分）分） 17. （10 分）如图，三棱锥 中， 平面 ， （1）求证： 平面 ； （2）若 ， 为 中点，求三棱锥 = = = 1 的体积18. （12 分）已知点 ，圆 ：(0,2)2+ 2= 1（1）求经过点 与圆 相切的直线方程；（2）若点 是圆 上的动点，求 的取值范围 419. （12 分）如图，在四棱锥 中， 为正三角形，四边形 为直角梯形， ，点 ， 分 平面 平面 别为 ， 的中点， = = 2 = 2（1）证明：；直线 平面 （2）求直线 与平面 所成角的正弦值20. （12 分） 已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的一个短轴端点及两个焦22+22= 1( > > 0)32点为顶点的三角形的面积为 ，圆 的方程为 3( )2+( )2=()2（1）求椭圆及圆 的方程：（2）过原点 作直线 与圆 交于 ， 两点，若 ，求直线 被圆 截得 = 2 的弦长21. （12 分）如图 ， ， 分别是 ， 的中点，沿着 将 1 = 90 = 30折起，记二面角 的度数为 （1）当 时，即得到图 ，求二面角 的余弦值； = 902 （2）如图 中，若 ，求 的值3 522. （12 分）已知两点(-1,0)及(1,0)，点 P 在以为焦点的椭圆 C 上，且121，2构成等差数列。|1|,|12|,|2| （1）求椭圆 的方程；（2）如图，动直线与椭圆 有且仅有一个公共点，点是直线 上的两点，且： = + 、,求四边形面积 的最大值。1 2 12佛山一中佛山一中 2017201720182018 学年上学期第二次段考学年上学期第二次段考 高二年级理科数学答案高二年级理科数学答案 一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每题小题，每题 5 5 分）：分）：1-5.DDCAA,6-10.BACBD,11-12 AB 二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分）：分）：13. 14., 15. 16.1 2,3 233 4, + )13 + 26 三、大题（共三、大题（共 6 6 小题，小题，1717 题题 1010 分分,18-22,18-22 每题每题 1212 分，总共分，总共 7070 分）：分）：17. (10 分)（1） 在三棱锥 中， 平面 ， 又 平面 ， 1 分 又 ，且 ， 平面 3 分 = （2） 法一：由 平面 ，得 ， ， 5 分 = = 1 =1 2是 中点， 6 分 =1 2 =1 4 由（1）知， 三棱锥 的高 ， 8 分 平面 = = 1因此三棱锥 的体积为 10 = =1 3 =1 12. 分 法二： 由 平面 知，平面 平面 ， 4 分 又平面 平面 ， = 6如图，过点 作 交 于点 ， 则 平面 ，且 6 分 =1 2 =1 2,又 ，所以 7 分 , = = 1 =1 2,三棱锥 的体积 10 分 = =1 3 1 3 =1 12.18. （1） 由题意，所求直线的斜率存在 1 分 设切线方程为 ，即 ， 2 分 = + 2 + 2 = 0所以圆心 到直线的距离为 ， 3 分 =22+ 1所以 ，解得 ， 4 分 =22+ 1= 1 =± 3 所求直线方程为 或 6 分 = 3 + 2 = 3 + 2（2） 设点 ，(,)所以 ， 8 分 =(,) =(, 2)所以 9 分 = 2+ 2 2因为点 在圆上，所以 ，所以 10 分 2+ 2= 1 = 1 2 又因为 ，所以 ， 11 分 2+ 2= 1 1 1所以 12 分 1,3 19. （1） 取 中点 ，连接 ，如图 ， 1易知 ， 2 分 平面， 平面 得 平面，同理 ，得，4 分 平面 平面 平面又 ， = 平面 平面所以， 5 分平面 平面 又 ，所以直线 6 分 平面 平面（2） 解法一：连接 ，如图 ，27因为 ，且 ，平面 平面平面 平面 = 所以 ， 平面又 ， 平面所以 又因为 ， = 平面 平面所以 ， 8 分 平面平面 平面过点 作 于点 ，连接 ， 由 可知， 平面 平面 平面 所以直线 与平面 所成角为 10 分在直角三角形 中，求得 ， =1 2 =62在直角三角形 中，求得 ， =3 77所以， 12 分 = =3 7762=42720.20. （1） 设椭圆的焦距为 ，左、右焦点分别为 ，由离心率为 ，21( ,0)2(,0)32可得 ，即 ， 1 分2= 1 22=3 4 = 2 =33以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为， 即 ，1 2 2 = 31 233 2 = 3所以 ，则 ， 3 分 = 3 = 2 = 1所以椭圆的方程为 ，圆 的方程为 5 分2 4+ 2= 1( 2)2+( 1)2= 4（2）法一：由题意得 8 分 =| = 2 × 2 = 2所以 10 分 =1 2，又 （0，） = 120° 12 分 = 2 × 260°= 2 3 法二： 当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，与圆 相切， = 0不符合题意； 6 分 当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ， = 由 可得 ， = , ( 2)2+( 1)2= 4,?(2+ 1)2(2 + 4) + 1 = 0由条件可得 ，即 ， 7 分 =(2 + 4)2 4(2+ 1)> 0 >3 4设 ，(1,1)(2,2)则 ，1+ 2=2 + 42+ 112=12+ 1， 1+ 2= (1+ 2)=22+ 42+ 112= 212=22+ 1而圆心 的坐标为 ，则 ，(2,1) =(1 2,1 1) =(2 2,2 1)所以 ， 8 分 =(1 2)(2 2)+(1 1)(2 1)= 28即 ， 12 2(1+ 2)+ 12(1+ 2)+ 5 = 2所以 ， 12+ 1 2 ×2 + 42+ 1+22+ 122+ 42+ 1+ 5 = 2 解得 或 ， 10 分 = 0 =4 3 当 时，在圆 中，令 可得 ，故直线 被圆 截得的弦长为 ； = 0 = 0 = 2 ± 32 3当 时，直线 的方程为 ，圆心 到直线 的距离 ， =4 34 3 = 0(2,1) =8 3 5= 1故直线 被圆 截得的弦长为 ； 11 分222 12= 2 3综上可知，直线 被圆 截得的弦长为 12 分2 321. （1） 因为 所以即为二面角 的平面角 1 分 , 当时，则 2 分 = 90° 又，所以 3 分 ， = 平面过点 向 作垂线交 延长线于 ，连接 ， 则 为二面角 的平面角 4 分 设 ， = 2 = = 4 = 2 3， 6 分 = 3 =32 = =3232+3 42=55（2） 过点 向 作垂线，垂足为 ， 由（1）知，即面，所以面 7 分 面 面 又面， 8 分 因为 ， 9 分 = 面又面 有 ， 10 分 因 为正三角形， 故 ，则 ， 11 分 = 30=2 33 =33而 ，故 12 分 = 3 = =1 322.（1）依题意，设椭圆 的方程为.因为构成等差数列，22+22= 1|1|,|12|,|2|所以，所以 .2 分2 =|1|+|2|= 2|12|= 4 = 2又因为，所以，所以椭圆 的方程为. 4 分 = 12= 32 4+2 3= 19（2）将直线 的方程代入椭圆 的方程中，得 = + 2 4+2 3= 1(42+ 3)2+ 8 + 42 12 = 0由直线 与椭圆 仅有一个公共点知，()=0, = 6422 4(42+ 3) 42 12化简得： ， 5 分2= 42+ 3设, 6 分1=|1|=| + |2+ 12=|2|=| + |2+ 1法 1：当 时，设直线 的倾斜角为 ，则 0=, 所以 |1 2|× |=|1 2|8 分 =1 2|1 2|（1+ 2）=|12 222|=2|2+ 1=2|2 3 4+ 1=8| +1 |因为，所以当时，2= 42+ 3 0|> 3,. 10 分|+1|> 3 +13=4 33 < 2 3当时，四边形是矩形，. 11 分 = 012 = 2 3所以四边形面积 的最大值为. 12 分 122 3法 2：因为,12+ 22=(| + |2+ 1)2+(| + | 2+ 1)2=2(2+ 2)2+ 1=2(52+ 3)2+ 1, 8 分12=| + |2+ 1| + |2+ 1=|2 2|2+ 1=32+ 32+ 1= 3所以。 |= 122 （1 2）2= 4 （12+ 22 212） =22+ 1四边形的面积 10 分12 =1 2|（1+ 2）=12+ 1（1+ 2） 2=12+ 1（12+ 22+ 212） =162+ 12（2+ 1）2= 16 4（12+ 1 2）2 12当且仅当时，所以. = 02= 12 = 2 3= 2 3所以四边形的面积 的最大值为. 12 分122 3