2019学年高二数学下学期期中试题（A）.doc

- 1 -20192019 学年高二下学期学年高二下学期期中考试数学（期中考试数学（A A 卷）卷）（时间 120 分钟，满分 150 分）第卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集，集合，,那么集合（ ）A B CD2、已知复数的实部为，则复数在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3、下列命题中错误的是（ ）A命题“若x25x60，则x2”的逆否命题是“若x2，则x25x60”B命题“角 的终边在第一象限，则 是锐角”的逆命题为真命题C已知命题p和q，若pq为假命题，则命题p与q中必一真一假D命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是真命题4、设，则“ ”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5、已知函数在点处的切线为，则的值为（ ）A1 B2 C3 D46、若为实数，则下列命题正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则D若，则7、已知是奇函数，且，当- 2 -时，则（ ）A B CD8、若的最小值是（ ）A B C D9、函数的图象为（ ）10、已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，则的大 小关系正确的是（ ）A B C D11、设函数要使恰有 2 个零点，则实数的取值范围是（ )A或 BCD12、设函数且的零点均在区间内,则的最小值为（ ）- 3 -A9 B10 C11 D12第卷二、填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，把答案填在答题卷的横线上。）13、对于实数，若，则的最大值为_14、已知在上不是单调函数，则的取值范围为 15、如图，在平面直角坐标系 xoy 中，将直线与直线 x1 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积据此类比：将曲线 yx2与直线 y4 所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积 V .16、已知 函数满足，函数有两个零点，则的取值范围为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分 10 分）已知函数，.（）当，解不等式；（）若存在，使得成立，求实数的取值范围.18、 （本小题满分12 分）- 4 -极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线与曲线交于（不包括极点）三点（1）求证：；（2）当时，两点在曲线上，求与的值19、 （本小题满分 12 分）在极坐标系中，曲线,曲线以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（ 为参数） （1）求的直角坐标方程；（2）与交于不同的四点，这四点在上排列顺次为,求的值20、 （本小题满分 12 分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品须向总公司缴纳元（- 5 -为常数，）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（e 为自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为 40 元时，该产品一年的销售量为 500 万件经物价部门核定每件产品的售价最低不低于 35 元，最高不超过 41 元（）求分公司经营该产品一年的利润万元与每件产品的售价元的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润最大，并求出的最大值参考公式：为常数 21、 （本小题满分 12 分）设函数.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）当时，若函数在上是增函数，求的取值范围；（）若，不等式对任意恒成立，求整数的最大值22、 （本小题满分 12 分）函数 (为实数).(1)若，求证：函数在上是增函数；(2)求函数在上的最小值及相应的的值；(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.- 6 -莆莆田第六中田第六中 20192019 学年高二下学期学年高二下学期期中考试数学（期中考试数学（A A 卷）答案卷）答案一、选择题 DCCAC DDDBB AB 二、填空题：13、4 14、15、16、(, 1)(2,) 8 2,0)4,)三、解答题：17、（本小题满分 10 分）已知函数，. 1fxx 2g xxa（）当，解不等式；0a fxg x（）若存在，使得成立，求实数的取值范围.xR fxg xa解：（）由，得，（1分） fxg x12xx两边平方，并整理得，（2 分）31 10xx所以不等式的解集为. （4 分）1|13xx（）法一：法一：由，得，即. （5 分） fxg x12xxa12xxa令，依题意可得. （6 分） 12F xxx maxF xa，（8 分） 1111F xxxxxxxx 当且仅当时，上述不等式的等号同时成立，所以.（9 分）0x max1F x所以的取值范围是. （10 分）a,1（法二：法二：由，得，即. （5 分） fxg x12xxa12xxa令，依题意可得. （6 分） 12F xxx maxF xa，（7 分） 1012= 311011xxF xxxxxxx 易得在上单调递增，在上单调递减， F x,00,- 7 -所以当时，取得最大值 . （9 分）0x F x1故的取值范围是. （ 10 分）a,1（18、 （本小题满分 12 分）极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为 极点，以 轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（ 为参数，），射线与曲线交于（不包括极点 ）三点（1）求证：；（2）当时，两点在曲线上，求与 的值18、解：(1)依题意，则；(2)当时，两点的极坐标分别为，化为直角坐标为，曲线是经过点，且倾斜角为 的直线，又因为经过点的直线方程为，- 8 -所以19、 （本小题满分 12 分）在极坐标系中，曲线,曲线以极点为坐标1:2cosC2:(cos4) cosC原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（ 为xxOyC122 3 2xtyt t参数） （1）求的直角坐标方程；12,C C（2）与交于不同的四点，这四点在上排列顺次为,求的C12,C CC, , ,H I J K|HIJK值19解：（1）因为，由，得cosxcosy22xy2cos，22cos所以曲线的直角坐标方程为1C2211xy由，得，(cos4) cos22sin4 cos所以曲线的直角坐标方程为2C24yx（2）不妨设四点在上的排列顺序由下而上依次为,它们对应的参数分别为C, , ,H I J K，如图，连接,则为正三角形，1234, , ,t t t t1C J1C IJA所以,故| 1IJ | |HIJKHIIKIJ1414| 1| | () 1|tttt 把代入，得，即，故，122 3 2xtyt 24yx23824tt238320tt148 3tt - 9 -所以11|3HIJK20、 （本小题满分 12 分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品须向总公司缴纳元（a为常数，）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为元时，a25ax产品一年的销售量为（e 为自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为 40 元时，该xk e产品一年的销售量为 500 万件经物价部门核定每件产品的售价最低不低于 35 元，最高不x超过 41 元（）求分公司经营该产品一年的利润万元与每件产品的售价元的函数关系式； L xx（）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润最大，并求出的最大 L x L x值参考公式：为常数 '( ,ax bax beaea b)解：（）由题意，该产品一年的销售量为，将代入得，xkye40,500xy40500ke故该产品一年的销售量为 2 分40500xye故， 5 分40( )30500303541xL xxa yxa ex（）由（）得，'404040( )5003050031xxxL xexa eeax3541x当时，当且仅当时取等号，24a'40( )500314350xL xe4,35ax故在上单调递减，故的最大值为7 分( )L x35,41( )L x5(35)500 5La e当时，45a'( )0L x 3531xa'( )0L x 3141ax故在上单调递增，在上单调递减，( )L x35,31a31,41a- 10 -故的最大值为a 10 分( )L x9(31)500aLae综上所述，当时，每件产品的售价为 35 元时，该产品一年的利润最大，最大利润24a为万元；当时，每件产品的售价为（31+a）元时，该产品一年的利润5500 5a e45a最大，最大利润为万元； 12 分9500ae21、 （本小题满分 12 分）设函数.322( )33()f xxaxb xabR、（）若，求曲线在点处的切线方程；1,0ab( )yf x(1,(1)f（）当时，若函数在上是增函数，求的取值范围；1b ( )f x-1,1a（）若，不等式对任意0ab1 ln()( )1xkffxx恒成立，求整数的最大值(1,)xk21(本小题满分 15 分) 解：（）当时，所以即1,0ab32( )3f xxx(1)2f 切点为(1, 2)P因为所以2( )36fxxx(1)363f 所以切线方程为即23(1)yx 31yx （）y=f(x)在1，1上单调递增，又) 12(3363)(22axxaxxxf方法一：（求函数的最值，即二次函数的动轴定区间最值）依题意在1，1)(xf )(xf 上恒有0，即)(xf . 0122 axx；所以舍去；1, 022) 1 ()(,1minaafxfax时当；所以舍去；1, 0121) 1()(,1minaafxfax时当. 11, 01)()(,112 minaaafxfa则时综上所述，参数 a 的取值范围是。11a方法二：（分离参数法）- 11 -（）/22( )363,fxxaxb由于，所以0ab22363636()()0abab ab 所以函数在上递增( )f xR所以不等式对恒成立1 ln()( )1xkffxx1 ln(1 ln ) 11xkx xkxxx(1,)x构造(1 ln )( )1x xh xx22(2ln )(1)(ln )ln2( )(1)(1)x xxxxxxh xxx构造( )ln2g xxx11( )1xg xxx 对，所以在递增(1,)x1( )0xg xx( )ln2g xxx(1,)x(1)1, (2)ln2, (3)1 ln30, (4)2ln40gggg 所以,0(3,4)x000()ln20g xxx所以,所以在递减/ 0(1,), ( )0,( )0xxg xh x(1 ln )( )1x xh xx0(1,)x,所以在递增/ 0(,), ( )0,( )0xxg xh x(1 ln )( )1x xh xx0(,)x 所以,结合得到00 min0 0(1 ln)( )()1x xh xh xx000()ln20g xxx00 min00 0(1 ln)( )()(3,4)1x xh xh xxx所以对恒成立，所以，整数的最大值为 3 .(1 ln ) 1x xkx(1,)xmin( )kh x3k k- 12 -22、 （本小题满分 12 分）函数 (为实数). 2lnf xxa xa(1)若，求证：函数在上是增函数；2a f x1,(2)求函数在上的最小值及相应的的值； f x 1,ex(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 1,xe 2f xaxa解：(1)当时，其定义域为，2a 22lnf xxx0,， 2212'2xfxxxx当时，恒成立，1,x '0fx 故函数在上是增函数. f x1,(2)， 22'20axafxxxxx当时， 1,xe2222,2xaaae若，在上有 (仅当，时，)，2a 'fx 1,e '0fx 2a 1x '0fx 故函数在上是增函数，此时； f x 1,e min11f xf若，由，得，222ea '0fx 2ax当时，有，此时在区间上是减函数；12ax '0fx f x1,2a当时，有，此时，在区间上是增函数，2axe '0fx f x,2ae故； minln2222aaaaf xf- 13 -若，在上有 (仅当，时，)，22ae 'fx 1,e '0fx 22ae xe '0fx 故函数在上是减函数，此时 f x 1,e 2 minf xf eae综上可知，当时，的最小值为 1，相应的的值为 1；2a f xx当时，的最小值为，相应的值为；222ea f xln222aaax 2a当时，的最小值为，相应的的值为.22ae f x2aexe(3)不等式可化为， 2f xax2ln2a xxxx因为，所以，且等号不能同时取， 1,xeln1xx 所以，即，所以，lnxxln0xx 221,lnxxaxexx令，则， 221,lnxxg xxexx 2122ln' lnxxxgx xx 当时， 1,xe10x 22ln0xx从而 (仅当时取等号)， '0gx 1x 所以在上为增函数，所以的最小值为， g x 1,e g x 11g 所以实数的取值范围为.a1,