2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末检测新人教A版选修2-1.doc

1章末检测章末检测( (二二) ) 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线1 的右焦点到渐近线的距离是( )x2 3y2 6A. B36C3 D6解析：双曲线的焦点到渐近线的距离等于b，即b.6答案：B2设P是双曲线1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x2y0，F1，F2分别x2 a2y2 9是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|等于( )A4 B6C7 D8解析：由渐近线方程yx，且b3，得a2，由双曲线的定义，得|PF2|PF1|4，又3 2|PF1|3，|PF2|7.答案：C3方程(xy)2(xy1)20 的曲线是( )A一条直线和一条双曲线B两条双曲线C两个点D以上答案都不对解析：(xy)2(xy1)20Error!Error!或Error!答案：C4已知F1，F2是椭圆1 的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在AF1Bx2 16y2 9中，若有两边之和是 10，则第三边的长度为( )A6 B5C4 D3解析：根据椭圆定义，知AF1B的周长为 4a16，故所求的第三边的长度为 16106.答案：A25已知椭圆1 的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )x2 a2y2 2A.1 B.1x2 4y2 2x2 3y2 2Cx21 D.1y2 2x2 6y2 2解析：由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c2，a2246，因此椭圆方程为1，故选 D.x2 6y2 2答案：D6.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析：由条件知|PM|PF|，|PO|PF|PO|PM|OM|k>|OF|，P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆答案：A7从抛物线y24x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|5，则MPF的面积为( )A5 B.625 34C20 D10解析：由题意，设P，则|PF|PM|15，所以y0±4，(y2 0 4，y0)y2 0 4所以SMPF |PM|·|y0|10.1 2答案：D8椭圆1 的离心率为e，点(1，e)是圆x2y24x4y40 的一条弦的中点，x2 4y2 3则此弦所在直线的方程是( )A3x2y40 B4x6y70C3x2y20 D4x6y10解析：依题意得e ，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点的连线的斜率为 ，1 2(1，1 2)212 213 23所求直线的斜率等于 ，所以所求直线方程是y (x1)，即 4x6y70，选 B.2 31 22 3答案：B9已知定点A(2,0)，它与抛物线y2x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为( )Ay22(x1) By24(x1)Cy2x1 Dy2 (x1)1 2解析：设P(x0，y0)，M(x，y)，则Error!，所以Error!，由于yx0，所以 4y22x2，2 0即y2 (x1)1 2答案：D10设F1，F2为椭圆y21 的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两x2 4点，当四边形PF1QF2的面积最大时，·的值等于( )PF1PF2A0 B2C4 D2解析：易知当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大此时，F1(，0)，F2(，0)，P(0,1)，33(，1)，(，1)，PF13PF23·2.PF1PF2答案：D11已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为( )A2 B3C. D.5 23 2解析：由题意知F(1,0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|2p4 时，为最小值，所以|AC|BD|的最小值为 2.答案：A12过椭圆C：1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且x2 a2y2 b2点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若 0)的焦点F作倾斜角为 30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则_.|AF| |FB|解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方程为yx ，与x22py联立得A，B(0，p 2)33p 2两点的横坐标为xAp，xBp，故A，B，所以|AF|p，333(33p，16p)(3p，32p)2 3|BF|2p，所以 .|AF| |BF|1 35答案：1 316. 已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，|FA|FB|4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点)答案：1(y0)x2 4y2 3三、解答题(本大题共有 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分)如果直线l过定点M(1,2)且与抛物线y2x2有且只有一个公共点，求直线l的方程解析：当直线l的斜率不存在时，x1 与对称轴平行，有一个交点；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y2k(x1)，与y2x2联立，得 2x2kxk20，由k28(k2)0 得k4，所以直线l的方程为y4x2.综上，直线l的方程为x1 或y4x2.18(12 分)已知双曲线的中心在原点，过右焦点F(2, 0)作斜率为 的直线，交双曲线于3 5M，N两点，且|MN|4，求双曲线方程解析：设所求双曲线方程为1(a>0，b>0)，由右焦点为F(2,0)知x2 a2y2 b2c2，b24a2，则双曲线方程为1.直线MN的方程为：y(x2)，代入x2 a2y2 4a23 5双曲线方程整理，得(208a2)x212a2x5a432a20.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.12a2 208a25a432a2 208a2|MN|×1(3 5)2x1x224x1x2× 4.8 5(12a2 208a2)24·5a432a2 208a2解得：a21，b2413.6故所求双曲线方程为：x21.y2 319(12 分)已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，且过点P(2,2)，过F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(1)求抛物线的方程；(2)设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与准线l相切解析：(1)设抛物线y22px(p>0)，将点(2,2)代入得p1.y22x为所求抛物线的方程(2)证明：设lAB的方程为：xty ，代入y22x得：x2(12t2)x 0，设AB的中1 21 4点为M(x0，y0)，则x0.12t2 2点M到准线l的距离dx0 1t2，又1 212t2 21 2ABx1x2p12t2122t2，dAB，故以AB为直径的圆与准线l相切1 220(12 分)正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p>0)上，求这个正三角形的边长解析：如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2px2.又|OA|OB|，所以2 12 2xyxy，即xx2px12px20，整理得(x1x2)(x1x22p)2 12 12 22 22 12 20.因为x1>0，x2>0,2p>0，所以x1x2，由此可得|y1|y2|，即点A，B关于x轴对称由此得AOx30°，所以y1x1，与y2px1联立，解332 1得y12p.所以|AB|2y14p.3321(13 分)已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上若右焦点F到直线xy20 的距离为 3.2(1)求椭圆的方程；(2)设直线ykxm(k0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|AN|时，求m的取值范围解析：(1)依题意，可设椭圆方程为y21，则右焦点为F(，0)x2 a2a21由题意，知3，解得a23.|a212 2|2故所求椭圆的方程为y21.x2 3(2)设点M，N的坐标分别为M(xM，yM)，N(xN，yN)，弦MN的中点为P(xP，yP)7由Error!得(3k21)x26mkx3(m21)0.直线ykxm(k0)与椭圆相交于不同的两点，(6mk)24(3k21)×3(m21)>0m20，解得m> .2m1 31 2综上可得，m的取值范围是 b>0)，其右焦点为x2 a2y2 b2F2(1,0)，点P在椭圆E上(1，3 2)(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于(不同于点A的)两点M，N.问：直线MN是否一定经过x轴上一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由解析：(1)椭圆E的右焦点为F2(1,0)，c1，左焦点为F1(1,0)，点P在椭(1，3 2)圆E上2a|PF1|PF2|4.112(32)2112(32)28a2，b.a2c23椭圆E的方程为1.x2 4y2 3(2)由(1)知A点坐标为(2,0)，设直线AM的方程为yk(x2)，则由Error!(34k2)x216k2x16k2120，解得M，(68k2 34k2，12k 34k2)同理可得N.(6k28 3k24，12k 3k24)若，则得k21，即直线MN的方程为x ，此时过x轴上一点Q68k2 34k26k28 3k242 7.(2 7，0)当k21 时，假设直线MN过x轴上一定点Q(m,0)，则，又QMNQQM，(68k2 34k2m，12k 34k2)NQ(m6k28 3k24，12k 3k24)则由，解得m .QMNQ2 7直线 MN 过 x 轴上一定点 Q.(27，0)