2019版高中数学 第二章 概率 2.2 超几何分布学案 苏教版选修2-3.doc

- 1 -2.22.2 超几何分布超几何分布学习目标 1.了解超几何分布的实际背景.2.理解超几何分布的特征.3.能用超几何分布这一概率模型解决相关问题知识点 超几何分布思考 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选 3 人中女生的人数(1)X的所有可能值是什么？(2)X的概率分布是什么？梳理 超几何分布(1)概念：一般地，若一个随机变量X的分布列为P(Xr)，其中Cr MCnrNM Cn Nr0,1,2,3，l，lmin(n，M)，则称X服从超几何分布(2)记法：X服从超几何分布，记为_，并将P(Xr)_记为H(r；n，M，N)(3)含义：在H(r；n，M，N)中，r，n，M，N的含义：特别提醒：(1)超几何分布的模型特点超几何分布中的正品、次品也可以理解为黑、白，男、女等有明显差异的两部分超几何分布中“Xk”的含义是“取出的n件产品中恰好有k件次品” (2)超几何分布的特征超几何分布的抽取是不放回的超几何分布本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与总次数的比类型一 超几何分布求概率例 1 从放有 10 个红球与 15 个白球的暗箱中，随意摸出 5 个球，规定取到一个白球得 1 分，- 2 -一个红球得 2 分，求某人摸出 5 个球，恰好得 7 分的概率反思与感悟 解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解跟踪训练 1 在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 10 个红球和20 个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出 5 个球，至少摸到 3 个红球中奖，求中奖的概率(结果保留两位小数)类型二 超几何分布求概率分布引申探究在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量，求随机变量的概率分布例 2 一- 3 -个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，其中红球有 3 个，编号为 1,2,3；黑球有 2 个，编号为 1,2；白球有 1 个，编号为 1.现从袋中一次随机抽取 3 个球(1)求取出的 3 个球的颜色都不相同的概率；(2)记取得 1 号球的个数为随机变量X，求随机变量X的概率分布反思与感悟 超几何分布的求解步骤(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生” ， “正品、次品” “优劣”等，或可转化为明显的两部分具有该特征的概率模型为超几何分布模型(2)算概率：可以直接借助公式P(Xr)求解，也可以利用排列组合及概率的知识Cr MCnrNM Cn N求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，r的含义(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来跟踪训练 2 从 5 名男生和 3 名女生中任选 3 人参加奥运会火炬接力活动若随机变量X表示所选 3 人中女生的人数，求X的概率分布及P(X<2)- 4 -类型三 超几何分布的综合应用例 3 在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品从这 10 件产品中任取 3件求：(1)取出的 3 件产品中一等品件数X的概率分布；(2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率反思与感悟 识别超几何分布的三大标准(1)总数为N件的物品只分为两类：M(MN)件甲类(或次品)，NM件乙类(或正品)(2)从N件物品中行取n(nN)件物品必须采用不放回抽样(3)随机变量X表示从N件物品中任取n(nN)件物品，其中所含甲类物品(或次品)的件数跟踪训练 3 袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用X表示取出的 3 个小球上的最大数字，求：(1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布；(3)计算介于 20 分到 40 分之间的概率- 5 -1盒中有 4 个白球，5 个红球，从中任取 3 个球，则取出 1 个白球和 2 个红球的概率是_2有 10 位同学，其中男生 6 位，女生 4 位，从中任选 3 人参加数学竞赛用X表示女生人数，则概率P(X2)_.3从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加数学竞赛，则所选 3 人中，女生的人数不超过 1人的概率为_- 6 -4从 1,2,3,4,5 中任取 3 个数，记最大的数为，则P(4)_.5一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字 2,3,4,5；另一个盒子里也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字 3,4,5,6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量xy，求的概率分布1超几何分布的判断判断随机变量是否服从超几何分布，可以从以下两个方面判断：一是超几何分布描述的是不放回抽样问题；二是随机变量为抽到的某类个体的个数2超几何分布的分布列的求法(1)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同r值时的概率P(Xr)，从而列出X的概率分布(2)一旦掌握了X的概率分布，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验- 7 -答案精析答案精析问题导学知识点思考 (1)0,1,2.(2)P(X0) ，C3 4 C3 64 201 5P(X1) ，C1 2C2 4 C3 612 203 5P(X2) ，C2 2C1 4 C3 64 201 5X的概率分布如下表：X012P1 53 51 5梳理 (2)XH(n，M，N) Cr MCnrNM Cn N题型探究例 1 解 设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N25，M10，n5.由于摸出 5 个球，得 7 分，仅有两个红球的可能，那么恰好得 7 分的概率为P(X2)0.385，C 2 10C 3 15 C 5 25即恰好得 7 分的概率约为 0.385.跟踪训练 1 解 设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N30，M10，n5.于是中奖的概率为P(X3)P(X3)P(X4)P(X5)C 3 10C 533010 C 5 30C 4 10C 543010 C 5 30C 5 10C 553010 C 5 30120 × 190210 × 20252 C 5 3027 252 142 5060.19.例 2 解 (1)从袋中一次随机抽取 3 个球，基本事件总数nC 20，取出的 3 个球的颜色3 6都不相同包含的基本事件的个数为 C C C 6，所以取出的 3 个球的颜色都不相同的概率为1 3 1 2 1 1P.6 203 10- 8 -(2)由题意知，X0,1,2,3.P(X0)，P(X1)C3 3 C3 61 20C1 3C2 3 C3 6，9 20P(X2)，P(X3)C2 3C1 3 C3 69 20C3 3 C3 6.1 20所以X的概率分布为X0123P1 209 209 201 20引申探究解 由题意可知0,1，服从两点分布又P(1) ，所以的概率分布如下表：C2 5 C3 61 201P1 21 2跟踪训练 2 解 由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布，其中N8，M3，n3.所以P(X0)，P(X1)，C3 5C0 3 C3 85 28C2 5C1 3 C3 815 28P(X2)，P(X3).C1 5C2 3 C3 815 56C0 5C3 3 C3 81 56故随机变量X的概率分布如下表：X0123P5 2815 2815 561 56所以P(X<2)P(X0)P(X1) .5 2815 285 7例 3 解 (1)由于从 10 件产品中任取 3 件的基本事件总数为 C，从 10 件产品中任取 3 件，3 10其中恰有m(0m3 且mN N)件一等品的基本事件个数为 C C，那么从 10 件产品中任取m3 3m73 件，其中恰有m件一等品的概率为P(Xm)，m0,1,2,3.Cm3C3m7 C 3 10所以随机变量X的概率分布如下表：- 9 -X0123P7 2421 407 401 120(2)设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A， “恰好取出 1 件一等品和2 件三等品”为事件A1， “恰好取出 2 件一等品”为事件A2， “恰好取出 3 件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且AA1A2A3，又因为P(A1)，C1 3C2 3 C 3 103 40P(A2)P(X2)，7 40P(A3)P(X3)，1 120所以P(A)P(A1)P(A2)P(A3).3 407 401 12031 120即取出的 3 件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为.31 120跟踪训练 3 解 (1)“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A) .C3 5C1 2C1 2C1 2 C 3 102 3(2)由题意知，X所有可能的取值为 2,3,4,5.P(X2)，C2 2C1 2C1 2C2 2 C 3 101 30P(X3)，C2 4C1 2C1 4C2 2 C 3 102 15P(X4)，C2 6C1 2C1 6C2 2 C 3 103 10P(X5)，C2 8C1 2C1 8C2 2 C 3 108 15所以随机变量X的概率分布如下表：X2345P1 302 153 108 15(3)“一次取球得分介于 20 分到 40 分之间”记为事件C，则P(C)P(X3)P(X4).2 153 1013 30当堂训练- 10 -1. 2. 3. 4.10 2129 304 53 105解 依题意，的可能取值是 5,6,7,8,9,10,11.则有P(5)，1 4 × 41 16P(6) ，P(7)，2 161 83 16P(8) ，P(9)，4 161 43 16P(10) ，P(11).2 161 81 16所以的概率分布为567891011P1 161 83 161 43 161 81 16