弯曲剪切计算.ppt

10 弯曲应力弯曲应力本章主要研究梁弯曲时横截面上的正应力和正本章主要研究梁弯曲时横截面上的正应力和正应力强度条件、梁的剪应力和剪应力强度条件、梁应力强度条件、梁的剪应力和剪应力强度条件、梁的主应力、提高梁抗弯能力的措施。的主应力、提高梁抗弯能力的措施。本章提要本章提要本本 章章 内内 容容10.1 梁弯曲时横截面上的正应力梁弯曲时横截面上的正应力10.2 梁的正应力强度计算梁的正应力强度计算10.3 提高梁抗弯强度的途径提高梁抗弯强度的途径10.4 梁的剪应力和剪应力的强度梁的剪应力和剪应力的强度计算计算10.5 梁的主应力梁的主应力10.1 梁弯曲时横截面上的正应力梁弯曲时横截面上的正应力图10.1(a)所示的简支梁，荷载与支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪力图和弯矩图如图10.1(b)、(c)所示。由图可知，在梁的AC、DB两段内，各横截面上既有剪力又有弯矩，这种弯曲称为剪切弯曲(或横力弯曲)。在梁的CD段内，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。图10.1 取一矩形截面等直梁，先在其表面画两条与轴线垂直的横线-和-，以及两条与轴线平行的纵线ab和cd(图10.2(a)。然后在梁的两端各施加一个力偶矩为M的外力偶，使梁发生纯弯曲变形(图10.2(b)。可以观察到如下现象：（1）梁变形后，横线-和-仍为直线，并与变形后梁的轴线垂直，但倾斜了一个角度。（2）纵向线变成了曲线，靠近顶面的ab缩短了，靠近底面的cd伸长了。10.1.1 现象与假设现象与假设根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的变形，作出如下的两点假设：(1)平面假设假设梁的横截面变形后仍保持为平面，只是绕横截面内某轴转了一个角度，偏转后仍垂直于变形后的梁的轴线。(2)单向受力假设将梁看成是由无数纵向纤维组成，假设所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，互相之间无挤压。图10.2(1)变形的几何关系将梁变形后截面-和-之间的一段截取出来进行研究(图10.3)。若把OO纵线看成材料的一层纤维，则这层纤维既不伸长也不缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，如图10.4所示。纵线cd的线应变为 10.1.2 纯弯曲梁的正应力纯弯曲梁的正应力(2)物理关系由于假设纵向纤维之间无挤压，只受到单向轴向拉伸或压缩，所以在正应力不超过比例极限时，由拉压虎克定律可得=E=Ey/对于确定的截面，E与均为常数。式(b)说明，横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，即应力沿截面高度方向成线性规律分布，如图10.5所示。(3)静力关系在横截面上取一微面积dA，其微内力为dA，梁发生纯弯曲时，横截面上内力简化的结果只有弯矩M，如图10.6所示。计算正应力时，M和y均可代入绝对值，正应力的正负号直接由梁的变形来判断。以中性层为界，梁变形后凸出边的正应力为拉应力，取正值；凹入边的正应力为压应力，取负值(图10.7)。【例10.1】一悬臂梁的截面为矩形，自由端受集中力P作用(图 10.8(a)。已 知 P=4kN，h=60mm，b=40mm，l=250mm。求固定端截面上a点的正应力及固定端截面上的最大正应力。【解】(1)计算固定端截面上的弯矩MM=Pl=4250kNmm=1000kNmm(2)计算固定端截面上a点的正应力Iz=bh3/12=40603/12mm4=72104mm4a=M/Izya=13.9MPa(3)计算固定端截面上的最大正应力固定端截面的最大正应力发生在该截面的上、下边缘处。由梁的变形情况可以看出，上边缘产生最大拉应力，下边缘产生最大压应力，其应力分布如图10.8(b)所示。最大正应力值为max=M/Izymax=41.7MPa【例10.2】简支梁受均布荷载q作用，如图10.9(a)所示。已知q=3.5kN/m，梁的跨度l=1m，该梁由10号槽钢平置制成。试计算梁的最大拉应力lmax和最大压应力ymax以及它们发生的位置。【解】(1)求支座反力由对称性有RA=RB=ql/2=5.25kN(2)作出弯矩图，如图10.9(b)所示。最大弯矩发生在跨中截面，其值为Mmax=ql2/8=0.44kNm(3)由型钢表查得10号槽钢截面Iz=25.6cm4=25.6104mm4y1=1.52cm=15.2mmy2=3.28cm=32.8mm(4)计算正应力最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处lmax=Mmax/Izyz=56.05MPa最大压应力发生在跨中截面的上边缘处ymax=Mmax/Izy1=25.98MPa图10.3图10.4 图10.5 图10.6 图10.7 图10.8 图10.8 图10.9 10.2 梁的正应力强度计算梁的正应力强度计算在进行梁的强度计算时，必须算出梁的最大正应力值。对于等直梁，弯曲时的最大正应力一定在弯矩最大的截面的上、下边缘。该截面称为危险截面，其上、下边缘的点称为危险点。(1)对于中性轴是截面对称轴的梁 最大正应力的值为 max=Mmax/Wz式中Wz称为抗弯截面系数 10.2.1 最大正应力最大正应力(2)对于中性轴不是截面对称轴的梁例如图10.10所示的T形截面梁，在正弯矩M作用下，梁下边缘处产生最大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为lmax=M/Izy1ymax=M/Izy2令Wl=Iz/y1，Wy=Iz/y2则lmax=M/Wl，ymax=M/Wy图10.10(1)当材料的抗拉和抗压能力相同时，即l=y=，则梁的正应力强度条件为max=Mmax/Wz 强度校核在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸，以及所受荷载的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。截面设计当已知荷载和梁的材料时，可根据强度条件，计算所需的抗弯截面系数WzMmax/再根据梁的截面形状进一步确定截面的具体尺寸。10.2.2 正应力强度条件正应力强度条件 确定许可荷载如已知梁的材料和截面尺寸，先根据强度条件，计算出梁所能承受的最大弯矩MmaxWz再由Mmax与荷载间的关系计算出许可荷载。(2)当材料的抗拉和抗压能力不相同时，即ly，则梁的正应力强度条件为lmax=Mmax/Wllymax=Mmax/Wyy【例10.3】重物安装在如图10.11(a)所示的结构上，重物P=40kN，对称地固定在两根同型号的工字钢外伸梁上，已知工字钢的许用应力=60MPa。试选择工字钢的型号。【解】(1)外伸梁的计算简图和弯矩图分别如图10.11(b)、(c)所示。危险截面为A截面，最大弯矩值为Mmax=40kNm(2)求抗弯截面模量WzMmax/=40106/60mm3=667cm3Wz是两根工字钢的抗弯截面系数，对于单根的工字钢，抗弯截面系数Wz=Wz/2667/2cm3=333cm3查型钢表有22b号工字钢，其抗弯截面系数Wz=325cm3，比所求略小，但误差仅为2.4%，没有超过5%，是允许的。故选22b号工字钢。【例10.4】矩形截面的木搁栅两端搁在墙上，承受由地板传来的荷载(图10.12(a)。若地板的均布面荷载p=3kN/m2，木搁栅的间距a=1.2m，跨度l=5m，木材的许用应力=12MPa。试求：(1)当截面的高宽比h/b=1.5，试设计木梁的截面尺寸b、h；(2)当此木搁栅采用b=140mm、h=210mm的矩形截面时，试计算地板的许可面荷载p。【解】(1)设计木搁栅的截面尺寸木搁栅支承在墙上，可简化为简支梁计算(如图10.12(b)。每根木搁栅的受荷宽度a=1.2m，所以其承受的均布线荷载为 q=pa=31.2kN/m=3.6kN/m最大弯矩发生在跨中截面Mmax=ql2/8=3.652/8kNm=11.25kNm由强度条件可得所需的抗弯截面系数为WzMmax/=937.5103mm3由于h=1.56，有Wz=bh2/6=b(1.5b)2/6=2.25b3/6所以2.25b3/6937.5103得b136mm为施工方便，取b=140mm，则h=1.5b=210mm(2)求地板的许可面荷载p当木搁栅的截面尺寸为b=140mm、h=210mm时，抗弯截面系数为Wz=bh2/6=1402102/6mm3=1.029106mm3木搁栅能承受的最大弯矩为MmaxWz=1.02910612Nmm=12.3106Nmm=12.3kNm而Mmax=ql2/8=pal2/8即pal2/812.3kNmp12.38/1.252kN/m2=3.25kN/m2所以，地板的许可面荷载p=3.25kN/m2。【例10.5】T形截面外伸梁的受力如图10.13(a)所示。已知材料的许用拉应力l=32MPa，许用压应力y=70MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。【解】(1)画出M图如图10.13(b)，由图中可知，B截面有最大的负值弯矩，C截面有最大的正值弯矩。(2)计算截面形心的位置及截面对中性轴的惯性矩。取下边界为参考轴z0，确定截面形心C的位置(图10.13(c)yC=yiAi/Ai=139mm计算截面对中性轴z的惯性矩Iz=40.3106mm4(3)校核强度由于梁的抗拉强度与抗压强度不同，且截面中性轴z不是对称轴，所以梁的最大负弯矩和最大正弯矩截面都需校核。校核B截面的强度：B截面为最大负弯矩截面，其上边缘产生最大拉应力，下边缘产生最大压应力。lmax=MB/Izy上=30.3MPalymax=MB/Izy下=69MPay校核C截面强度：C截面为最大正弯矩截面，其上边缘产生最大压应力，下边缘产生最大拉应力。ymax=MC/Izy上=5.1MPa因max远大于，应重新选择更大的截面。现以25b号工字钢进行试算，由型钢表查得：Iz/Szmax=21.27cm，d=1cm再次进行剪应力强度校核max=Qmax/(Iz/Szmaxd)=210103/21.271010MPa=98.6MPa=1.8MPa 原设计的截面尺寸不能满足剪应力强度条件，必须根据剪应力强度条件重新设计截面尺寸。(4)根据剪应力强度条件设计截面尺寸max=3Qmax/2A=1.8得h23551034/231.8mm2=61111mm2h247mm取h=248mm，则b=3/4h=186mm最后确定的枕木矩形截面尺寸为h=248mm，b=186mm。【例 10.8】一民用房屋的三角形屋架，桁条采用圆木，桁条间距为90cm，屋面上总荷载(包括瓦、屋面板、桁条等重量)为1.1kN/m2，木材的许用应力=12MPa，=1.3MPa。试选择桁条的梢径d0。【解】(1)桁条的计算简图如图10.25(c)，荷载q为q=1.10.9kN/m=0.99kN/m(2)画出桁条的Q图和M图，如图10.25(d)、(e)所示。(3)根据正应力强度条件设计桁条直径d由M图可知，Mmax=1/8ql2=1/80.9942kNm=1.98kNm由正应力强度条件WzMmax/=1.98106/12mm3=165103mm3Wz=d3/32165103mm3d118.9mm=11.89cm圆木直径是沿长度变化的，一般变化规律是直径沿每米长度变化为0.9cm。圆木直径一般用梢径表示，而上面求出的d是跨中的直径，故梢径d0为d0=11.89-0.94/2=10.09cm取梢径d0=11cm。(4)剪应力强度校核由Q图知，最大剪力为Qmax=1/2ql=1/20.994=1.98kN最大剪应力为max=4Qmax/3A=0.28MPa=1.3MPa满足剪应力强度条件。图10.23 图10.24 图10.2510.5 梁的主应力梁的主应力前面研究了梁在横截面上的应力分布规律及其计算，并建立了横截面正应力和剪应力的强度条件：max，max但实际上梁还可能沿斜截面发生破坏。例如图10.26所示的钢筋混凝土梁，在荷载作用下，除了在跨中产生竖向裂缝外，支座附近会发生斜向裂缝。这说明在梁的斜截面上也存在着导致破坏的应力。图10.26当研究梁内任意一点A斜截面上的应力时，围绕点A取出一个边长为dx的无限小的单元体abcd(图10.27)。由于单元体的边长为无穷小，可以认为各平面上的应力是均匀分布的，且平行面上的应力是相同的。单元体两横截面ab、dc上的应力和分别为=M/Iy，=QSz/Izb单元体上、下面ad、bc上的应力可由剪应力互等定律得到(图10.27(b)。取任意斜截面ef，其外法线n与x轴的夹角为，规定由x轴转到外法线n为逆时针转向时，则为正。10.5.1 梁内一点斜截面上的应力梁内一点斜截面上的应力取ebf为研究对象(图10.27(d)。若ef面的面积为dA，则eb面和bf面的面积分别为dAcos和dAsin(图10.27(e)。取垂直和平行于斜截面的坐标轴n和。列平衡方程Fn=0dA+(dAcos)sin-(dAcos)cos+(dAsin)cos=0即-cos2+2sincos=0F=0dA-(dAcos)cos-(dAcos)sin+(dAsin)sin=0即-cossin-(cos2-sin2)=0将三角公式cos2=(1+cos2)/22sincos=sin2cos2-sin2=cos2代入(a)、(b)两式，简化整理后得=/2+/2cos2-sin2=/2sin2+cos2运用式(10.13)和式(10.14)可求得梁内一点任意斜截面上的应力和。图10.27图10.27对式(10.13)取导数并令d/d=0得/2sin2+cos2=0剪应力等于零的截面称为主平面，主平面上的应力称为主应力。主平面的位置可由上式确定，即tan20=-2/求得最大主应力1和最小主应力3：10.5.2 梁的主应力及最大剪应力梁的主应力及最大剪应力表明最大剪应力等于最大主应力与最小主应力之差的一半。比较式(10.15)和式(10.17)可以看出tan21=-cot20=tan(20+90)可见剪应力极值所在的平面与主平面的夹角为45。【例 10.10】求图10.28(a)所示梁内某点单元体的主应力值及其所在的位置。【解】(1)计算主应力值根据公式(10.16)，可得1=(-20+202)MPa=8.28MPa3=(-20-202)MPa=-48.28MPa(2)计算主平面的位置根据公式(10.15)，可得tan20=-2/=-210/-20=1由三角函数知20=45，0=22.5则0=0+90=22.5+90=112.5主应力及其所在位置如图10.28(b)所示。图10.28由于应力组合有各种可能，要采用试验的方法建立强度条件是难以达到的。因此，这类问题应根据材料在各种情况下的破坏现象，运用判断、推理的方法，提出一些假说，说明材料的破坏无论是单向应力状态还是复杂应力状态，都是由同一个因素所引起。于是，可以利用单向应力状态的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。这种假说称为强度理论。10.5.3 主应力强度条件主应力强度条件最大剪应力理论(第三强度理论)这一理论认为：材料塑性破坏的主要因素是最大剪应力。也就是说，无论是在复杂应力状态还是在单向应力状态下，只要材料危险点处的最大剪应力达到轴向拉伸破坏时的最大剪应力值，材料就发生塑性破坏。第三强度理论的强度条件为 形状改变比能理论(第四强度理论)这一理论认为：形状改变比能是引起材料塑性破坏的主要因素。经过推演后，可得到第四强度理论的强度条件为【例 10.11】用20a号工字钢制成的简支梁如图10.29(a)所示。已知材料的许用应力=150MPa，=95MPa。试对此梁进行全面的强度校核。【解】(1)画剪力图和弯矩图，确定危险截面画出梁的剪力图和弯矩图，如图10.29(b)、(c)所示。在截面C和D上不但弯矩最大，而且剪力也是最大，所以它们是危险截面。任选其中一个截面，例如截面C进行强度校核。在截面C上的内力为Mmax=32kNmQmax=100kN由型钢表查得20a号工字钢：Iz=2370cm4，Wz=237cm3,Iz/Szmax=17.2cm，其截面尺寸如图10.29(d)所示。(2)正应力强度校核(K1点)max=Mmax/Wz=32106/237103MPa=135MPa(3)剪应力强度校核(K3点)max=Qmax/(Iz/Szmaxd)100103/(17.2107)MPa=83.1MPa由于（xd4-）/100%=（163.8-150）/150100%=9.2%5%所以原有截面不满足强度要求，需要改选较大的工字钢。图10.29图10.29图10.29