2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程阶段复习课学案 新人教A版选修1-1.doc

1第二课第二课 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程核心速填1椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹标准方程1 或x2 a2y2 b21(a>b>0)y2 a2x2 b21 或x2 a2y2 b21(a>0，b>0y2 a2x2 b2)y22px或y22px或x22py或x22py(p>0)关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线y±x或b ay±xa b无限延展，没有渐近线变量范围|x|a，|y|b或|y|a，|x|b|x|a或|y|ax0 或x0 或y0或y0对称中心为原点无对称中心 对称性 两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e ，且 01c ae12.双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的 1 换成 0，即可得到两条渐近线的方程如双曲线1(a>0，b>0)的渐近线方程为x2 a2y2 b20(a>0，b>0)，即y±x；双曲线1(a>0，b>0)的渐近线方程为x2 a2y2 b2b ay2 a2x2 b20(a>0，b>0)，即y±x.y2 a2x2 b2a b2(2)如果双曲线的渐近线为 ± 0 时，它的双曲线方程可设为(0)x ay bx2 a2y2 b23抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论(1)y22px(p>0)中，|AB|x1x2p.(2)y22px(p>0)中，|AB|x1x2p.(3)x22py(p>0)中，|AB|y1y2p.(4)x22py(p>0)中，|AB|y1y2p.体系构建题型探究圆锥曲线的定义及应用(1)已知动点M的坐标满足方程 5|3x4y12|，则动点M的轨迹是x2y2( )A椭圆 B双曲线C抛物线 D以上都不对(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为 16，那么C的方程为_. 22【导学号：97792110】解 (1)把轨迹方程 5|3x4y12|写成.x2y2x2y2|3x4y12| 5动点M到原点的距离与它到直线 3x4y120 的距离相等点M的轨迹是以原点为焦点，直线 3x4y120 为准线的抛物线3(2)设椭圆方程为1(ab0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示，x2 a2y2 b2则ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，a4.又离心率e ，c2，b2a2c28，c a222椭圆C的方程为1.x2 16y2 8答案 (1)C (2)1x2 16y2 8规律方法 “回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件跟踪训练1点P是抛物线y28x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，求|PM|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标解 抛物线y28x的准线方程是x2，那么点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线x2 的距离，过点P作PD垂直于准线x2，垂足为D，那么|PM|PF|PM|PD|.如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|PF|的值最小，且最小值为|MD|2(2)4，所以|PM|PF|的最小值是 4.此时点P的纵坐标为 3，所以其横坐标为 ，即点P的坐标是.9 8(9 8，3)圆锥曲线的方程(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于 ，则C的方程1 2是( )A.1 B.1x2 3y2 4x2 4y234C.1 D.1x2 4y2 2x2 4y2 3(2)已知抛物线y28x的准线过双曲线1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的x2 a2y2 b2离心率为 2，则该双曲线的方程为_解析 (1)由题意得Error!，解得Error!，则b2a2c23，故椭圆方程为1.x2 4y2 3(2)由题意得Error!，解得Error!，则b2c2a23，因此双曲线方程为x21.y2 3答案 (1)D (2)x21y2 3规律方法 求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2ny21(m>0，n>0)(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小跟踪训练2(1)以x轴为对称轴，通径长为 8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )Ay28xBy28xCy28x或y28xDx28y或x28yC C 由题意知 2p8，故选 C.(2)焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为 2，到左顶点的距离为 3 的椭圆的标准方程是( )A.1x2 4y2 3B.y21x2 4C.1y2 4x2 3Dx21y2 45A A 依题意，得a2，ac3，故c1，b，故所求椭圆的标准方程22123是1.x2 4y2 3圆锥曲线的几何性质如图 2­1 所示，F1，F2是椭圆C1：y21 与双曲线C2的公共焦点，A，Bx2 4分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )图 2­1A. B.23C. D.3 262思路探究 由椭圆可求出|AF1|AF2|，由矩形求出|AF1|2|AF2|2，再求出|AF2|AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率解 由椭圆可知|AF1|AF2|4，|F1F2|2.3因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2|AF2|2|F1F2|212，所以 2|AF1|AF2|(|AF1|AF2|)2(|AF1|2|AF2|2)16124，所以(|AF2|AF1|)2|AF1|2|AF2|22|AF1|·|AF2|1248，所以|AF2|AF1|2，2因此对于双曲线有a，c，23所以C2的离心率e .c a62答案 D规律方法 求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e ，已知其中的任意两个参数，可以求其c a他的参数，这是基本且常用的方法6(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.跟踪训练3已知椭圆1(ab0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，x2 a2y2 b2O为原点，若ABO的面积是c2，则这一椭圆的离心率是( ) 3【导学号：97792111】A. B. 1 232C. D.2233A A abc2，即a2(a2c2)12c4，所以(a23c2)(a24c2)0，所以1 23a24c2，a2c，故e .c a1 2直线与圆锥曲线的位置关系已知椭圆1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为 ，左、右焦点分别为x2 a2y2 b231 2F1(c,0)，F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两1 2点，且满足，求直线l的方程|AB| |CD|5 34思路探究 (1)利用定义解题(2)利用勾股定理和弦长公式来解解 (1)由题设知Error!解得a2，b，c1，3椭圆的方程为1.x2 4y2 3(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d，2|m|57由d0直线与椭圆相交；>0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故>0 是直线与双曲线相交的充分不必要条件；>0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故>0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件.2相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切.3相离：<0直线与椭圆相离；<0直线与双曲线相离；<0直线与抛物线相离.跟踪训练4已知椭圆E：1(ab0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线x2 a2y2 b222l：x2y20 与x轴，y轴分别交于点A，B.(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|PF2|2a，求a的取值范围. 【导学号：97792112】8解 (1)由椭圆的离心率为，得ac，222由A(2,0)，得a2，c，b，22椭圆方程为1.x2 4y2 2(2)由e，设椭圆方程为1，22x2 a22y2 a2联立Error!得 6y28y4a20，若线段AB上存在点P满足|PF1|PF2|2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程 6y28y4a20 在y0,1上有解设f(y)6y28y4a2，Error!即Error! a24，4 3故故a a的取值范围是的取值范围是a a2.2.2 23 33 3