2019高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算（1）学案 苏教版选修1-2.doc

- 1 -3.23.2 复数的四则运算复数的四则运算学习目标 1.理解复数代数形式的四则运算法则.2.能运用运算法则进行复数的四则运算知识链接1复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答 实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项2若复数z1，z2满足z1z2>0，能否认为z1>z2?答 不能，如 2ii>0，但 2i 与 i 不能比较大小3复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答 复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2换成1.4z· 与|z|2和| |2有什么关系？zz答 z· |z|2| |2.zz预习导引1复数加法与减法的运算法则(1)设z1abi，z2cdi 是任意两个复数，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.(2)对任意z1，z2，z3C C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)2复数的乘法法则：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR R)，则z1·z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.3复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3C C，有交换律z1·z2z2·z1结合律(z1·z2)·z3z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z34.共轭复数：把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数，复数zabi的共轭复数记作 ，即 abi.zz5复数的除法法则：设z1abi，z2cdi(cdi0)，- 2 -则i.z1 z2abi cdi(abi)(cdi) (cdi)(cdi)acbd c2d2bcad c2d2要点一 复数加减法的运算例 1 计算：(1)(56i)(2i)(34i)；(2)1(ii2)(12i)(12i)解 (1)原式(523)(614)i11i.(2)原式1(i1)(12i)(12i)(1111)(122)i2i.规律方法 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减作实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把 i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项跟踪演练 1 计算：(1)(24i)(34i)；(2)(34i)(2i)(15i)解 (1)原式(23)(44)i5.(2)原式(321)(415)i22i.要点二 复数乘除法的运算例 2 计算：(1)(12i)(34i)(2i)；(2)(34i)(34i)；(3)(1i)2.解 (1)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i.(2)(34i)(34i)32(4i)29(16)25.(3)(1i)212ii22i.规律方法 复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等跟踪演练 2 计算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i)2.解 (1)(2i)(2i)4i24(1)5.(2)(12i)214i(2i)214i4i234i.例 3 计算：(1)(12i)÷(34i)；(2)()6.1i 1i2 3i3 2i解 (1)(12i)÷(34i)12i 34i(12i)(34i) (34i)(34i)- 3 - i.510i 251 52 5(2)原式6(1i)2 2(r(2)r(3)i)(r(3)r(2)i) (r(3)2(r(2)2i61i.62i3i 65规律方法 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i)跟踪演练 3 计算：(1)；(2).7i 34i(1i)(2i) i解 (1)1i.7i 34i(7i)(34i) (34i)(34i)2525i 25(2)13i.(1i)(2i) i3i i(3i)·i i·i要点三 共轭复数及其应用例 4 已知复数z满足|z|1，且(34i)z是纯虚数，求z的共轭复数 .z解 设zabi(a，bR R)，则 abi 且|z|1，即a2b21.za2b2因为(34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i，而(34i)z是纯虚数，所以3a4b0，且 3b4a0.由联立，解得Error!或Error!所以 i，或 i.z4 53 5z4 53 5规律方法 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点跟踪演练 4 已知复数z满足：z· 2iz86i，求复数z的实部与虚部的和z解 设zabi(a，bR R)，则z· a2b2，za2b22i(abi)86i，即a2b22b2ai86i，Error!解得Error!ab4，复数z的实部与虚部的和是 4.1复数z12 i，z2 2i，则z1z2_.1 21 2答案 i5 25 2- 4 -解析 z1z2(2 )( 2)i i.1 21 25 25 22若z32i4i，则z_.答案 13i解析 z4i(32i)13i.3复数z_.i2 12i答案 i解析 i.i2 12i(i2)(12i) (12i)(12i)5i 54已知复数z1ai(aR R，i 是虚数单位)， i，则a_.z z3 54 5答案 2解析 由题意可知：1ai 1ai(1ai)2 (1ai)(1ai)12aia2 1a2i i，因此 ，化简得 5a253a23，a24，则1a2 1a22a 1a23 54 51a2 1a23 5a±2，由 可知a0，仅有a2 满足，故a2.2a 1a24 51.复数的四则运算：(1)复数的加减法和乘法类似于多项式的运算，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想：复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，bR R)，利用复数相等的充要条件转化一、基础达标1已知复数z满足(34i)z25，则z_.答案 34i解析 方法一 由(34i)z25，- 5 -得z34i.25 34i25(34i) (34i)(34i)方法二 设zabi(a，bR R)，则(34i)(abi)25，即 3a4b(4a3b)i25，所以Error!解得Error!故z34i.2已知z是纯虚数，是实数，那么z_.z2 1i答案 2i解析 设zbi(bR R，b0)，则z2 1ibi2 1i(bi2)(1i) (1i)(1i)2b(b2)i 22b 2i 是实数，所以b20，b2，所以z2i.b2 23.的值等于_5i 1i答案 23i486i 的平方根是_答案 ±(3i)解析 方法一 设 86i 的平方根是xyi(x，yR R)，则(xyi)286i，即x2y22xyi86i.由复数相等，得Error!Error!或Error!方法二 86i96ii2(3i)2，86i 的平方根是±(3i)5若复数z1z234i，z1z252i，则z1_.答案 4i解析 两式相加得 2z182i，z14i.6计算：(1)(7i5)(98i)(32i)；(2)( i)(2i)( i)；1 31 24 33 2(3).(22i)12 (1r(3)i)9(2r(3)i)100 (12r(3)i)100解 (1)(7i5)(98i)(32i)7i598i32i(593)(782)i1i.(2)( i)(2i)( i) i2i i1 31 24 33 21 31 24 33 2( 2 )( 1 )i1i.1 34 31 23 2(3)(22i)12 (1r(3)i)9(2r(3)i)100 (12r(3)i)100- 6 -212(1i)12 29·(f(1,2)f(r(3),2)i)9(i2r(3)100 i(i2r(3)100212·(2i)6 29·(f(1,2)f(r(3),2)i)33(i2r(3)100 (i)100(i2r(3)100291511.23·26·i6 131 i1007设mR R，复数z1(m15)i，z22m(m3)i，若z1z2是虚数，求m的取m2m m2值范围解 z1(m15)i，z22m(m3)i，m2m m2z1z2(2)(m15)m(m3)im2m m2(m22m15)i.m2m4 m2z1z2为虚数，m22m150 且m2，解得m5，m3 且m2(mR R)二、能力提升8复数的虚部是_2i1 3i答案 1 2解析 原式 i，2i(1r(3)i) 132 32i4321 2虚部为 .1 29设复数z满足(z2i)(2i)5，则z_.答案 23i解析 由(z2i)(2i)5，得z2i2i2i2i23i.5 2i5(2i) (2i)(2i)10已知a，bR R，i 是虚数单位，若ai 与 2bi 互为共轭复数，则(abi)2_.答案 34i解析 由题意知ai2bi，a2，b1，(abi)2(2i)234i.11已知z1i，a，bR R，若1i，求a，b的值z2azb z2z1解 z1i，z22i，z2azb z2z12iaaib 2i1i1(a2)i(ab) i- 7 -a2(ab)i1i，Error!Error!12已知复数z满足z2512i，求 .1 z解 设zxyi(x，yR R)，则z2x2y22xyi.又z2512i，所以x2y22xyi512i.所以Error!解得Error!或Error!所以z32i 或z32i.所以 i 或 i.1 z1 32i3 132 131 z1 32i3 132 13所以 i 或 i.1 z3 132 131 z3 132 13三、探究与拓展13已知 1i 是方程x2bxc0 的一个根(b，c为实数)(1)求b，c的值；(2)试说明 1i 也是方程的根吗？解 (1)1i 是方程x2bxc0 的根，(1i)2b(1i)c0，即(bc)(2b)i0.Error!得Error!b，c的值为b2，c2.(2)由(1)得方程为 x22x20.把 1i 代入方程左边得(1i)22(1i)20，显然方程成立，1i 也是方程的一个根.