2019高中数学 第一章1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修2-3.doc

11.3.11.3.1 二项式定理二项式定理学习目标：1.能用计数原理证明二项式定理(一般)2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式(重点)3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点)自 主 预 习·探 新 知1二项式定理(ab)nCanCan1bCan2b2CankbkCbn(nN N*)0n1n2nk nn n(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式中一共有n1 项(3)二项式系数：各项的系数 C (k0,1,2，n)叫做二项式系数k n2二项展开式的通项公式(ab)n展开式的第k1 项叫做二项展开式的通项，记作Tk1Cankbk.k n思考 1：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示 二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念二项式系数是指C ，C ，C ，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除0n1nn n变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关思考 2：二项式(ab)n与(ba)n展开式中第k1 项是否相同？提示 不同(ab)n展开式中第k1 项为 Cankbk，而(ba)n展开式中第k1k n项为 Cbnkak.k n基础自测1判断(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)(ab)n展开式中共有n项( )(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响( )(3)Cankbk是(ab)n展开式中的第k项( )k n(4)(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同( )解析 (1)× 因为(ab)n展开式中共有n1 项(2)× 因为二项式的第k1 项 Cankbk和(ba)n的展开式的第k1 项 Cbnkak是k nk n不同的，其中的a，b是不能随便交换的(3)× 因为 Cankbk是(ab)n展开式中的第k1 项k n(4) 因为(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数都是 C .r n答案 (1)× (2)× (3)× (4)2(x1)n的展开式共有 11 项，则n等于( )【导学号：95032072】A9 B10C11 D122B B 由二项式定理的公式特征可知n10.3(y2x)8展开式中的第 6 项的二项式系数为( )AC BC (2)56 85 8CC DC (2)65 86 8C C 由题意可知：Tk1Cy8k(2x)kC ·(2)kxky8kk8k8当k5 时，二项式系数为 C .5 84化简：(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1_. 【导学号：95032073】x4 (x1)44(x1)36(x1)24(x1)1(x1)14x4合 作 探 究·攻 重 难二项式定理的正用和逆用(1)求的展开式(x12x)4(2)化简：C (x1)nC (x1)n1C (x1)n2(1)kC (x1)0n1n2nk nnk(1)nC .n n思路探究 (1)解答本题先将看成a，看成b，利用二项式定理展开，也可以x12x先将化简后再展开(2)可先把x1 看成一个整体，分析结构形式，逆用二项(x12x)4式定理求解解 (1)法一：C ()4C ()3·C ()2·C·(x12x)40 4x1 4x12x2 4x(12x)23 4xCx22x .(12x)34 4(12x)43 21 2x1 16x2法二：(2x1)4(x12x)4(2x12x)41 16x2(16x432x324x28x1)1 16x2x22x .3 21 2x1 16x2(2)原式C (x1)nC (x1)n1(1)C (x1)n2(1)2C (x1)nk(1)0n1n2nk nkC (1)n(x1)(1)nxn.n n规律方法 二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(ab)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展3开对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开(2)逆用：将展开式合并成二项式(ab)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律跟踪训练1(1)求二项式的展开式；(3x1x)4(2)化简(x2)55(x2)410(x2)310(x2)25(x2)解 (1)(3x1x)4C (3)4C (3)3C (3)2C (3)C0 4x1 4x(1x)2 4x(1x)23 4x(1x)34 4(1x)481x2108x54.12 x1 x2(2)原式C (x2)5C (x2)4C (x2)3C (x2)2C (x2)C (x2)010 51 52 53 54 55 5(x2)151(x1)51.二项展开式通项的应用已知二项式(2x1x)6(1)求展开式第 4 项的二项式系数，(2)求展开式第 4 项的系数，(3)求第 4 项. 【导学号：95032074】思路探究 利用二项式定理的展开式中某一项解 由已知得的展开式的通项是(2x1x)6Tk1C (2)6kC 26k(1)k·x (k0,1,2，6)k6x(1 x)kk6(1)展开式第 4 项的二项式系数为 C 20.3 6(2)展开式第 4 项的系数为 C ·23·(1)3160.3 6(3)展开式的第 4 项为T4160x.规律方法 (1)二项式系数都是组合数 C (k0,1,2，n)，它与二项展开式中k n某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念4(2)第k1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为 C .例如，k n在(12x)7的展开式中，第四项是T4C 173(2x)3，其二项式系数是 C 35，而第四项的3 73 7系数是 C 23280.3 7跟踪训练2已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162.(x2x)n(1)求n的值；(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数解 (1)因为T3C ()n24Cx，T2C ()n12Cx，2nx(2 x)22n1nx(2 x)1n依题意得 4C 2C 162，所以 2C C 81，所以n281，n9.2n1n2n1n(2)设第k1 项含x3项，则Tk1C ()9k(2)kCx，所以k9x(2 x)kk93，k1，93k 2所以第二项为含x3的项：T22Cx318x3.1 9二项式系数为 C 9.1 9求展开式中的特定项探究问题1如何求展开式中的常数项(x1 x)4提示 利用二项展开式的通项 Cx4k·Cx42k求解，令 42k0，则k2，k41 xkk4所以展开式中的常数项为 C 6.(x1 x)42 44 × 3 22(ab)(cd)展开式中的每一项是如何得到的？提示 (ab)(cd)展开式中的各项都是由ab中的每一项分别乘以cd中的每一项而得到3如何求(2x1)3展开式中含x的项？(x1 x)提示 (2x1)3展开式中含x的项是由x 中的x与 分别与(2x1)3展开式(x1 x)1 x1 x中常数项 C 1 及x2项 C 22x212x2分别相乘再把积相加得x·C ·C (2x)3 31 33 31 x1 352x12x13x.即(2x1)3展开式中含x的项为 13x.(x1 x)已知在的展开式中，第 6 项为常数项(3x33x)n(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项. 【导学号：95032075】思路探究 写出通项Tr1令r5，x的指数为零1求出n值修正通项公式2求x2项的系数考察x指数为整数分析求出k值3写出有理项解 通项公式为：Tr1Cx (3)rxC (3)rx.r nr n(1)第 6 项为常数项，r5 时，有0，即n10.n2r 3(2)令2，得r (106)2，102r 31 2所求的系数为 C(3)2405.2 10(3)由题意得，令k(kZ Z)，102r 3则 102r3k，即r5k.3 2rZ Z，k应为偶数，k2,0，2，即r2,5,8，所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 C(3)2x2，C(3)2 105 105，C(3)8x2.8 10即 405x2，61 236,295 245x2.规律方法1求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，TkCank1bk1；k1n(2)求含xk的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；6(4)求有理项2求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致跟踪训练3(1)在(1x3)(1x)10的展开式中，x5的系数是_(2)若展开式的常数项为 60，则常数a的值为_(xax2)6(1)207 (2)4 (1)x5应是(1x)10中含x5项、含x2项分别与 1，x3相乘的结果，其系数为 CC(1)207.5 102 10(2)的展开式的通项是Tk1Cx6k·(xax2)6k6()kx2kCx63k()k，令 63k0，得k2，即当k2 时，Tk1为常数项，ak6a即常数项是 Ca，2 6根据已知得 Ca60，解得a4.2 6当 堂 达 标·固 双 基1(x)10展开式中x6项的二项式系数为( )2AC BC4 104 10C4C D4C4 104 10B B 含x6项为展开式中第五项，所以二项式系数为 C.4 102(12x)5的展开式中，x2的系数等于( )【导学号：95032076】A80 B40C20 D10B B (12x)5的展开式的通项为Tr1C (2x)r2rC ·xr，r5r5令r2，得 22×C 4×1040，故选 B.2 53在的展开式中，中间项是_(2x21 x)6160x3 由n6 知中间一项是第 4 项，因为T4C (2x2)3·C ·(1)3·23·x3，3 6(1 x)33 67所以T4160x3.4在的展开式中，第 4 项的二项式系数是_，第 4 项的系数是(x21 2x)9_84 Tk1C ·(x2)9k··C ·x183k，当k3 时，T421 2k9(1 2x)k(1 2)kk9(1 2)·C ·x9x9，所以第 4 项的二项式系数为 C 84，项的系数为.33 921 23 921 25求的展开式的第三项的系数和常数项. (x32 3x2)5【导学号：95032077】解 T3C (x3)3C ·x5，所以第三项的系数为 C · .2 5(2 3x2)22 54 92 54 940 9通项 Tk1C (x3)5k·C x155k，令 155k0，得 k3，所以常数项为k 5(23x2)k(23)kk 5T4C (x3)2·.3 5(23x2)38027