备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题05 函数的对称性、周期性及其应用.doc

1专题专题 0505 函数的对称性、周期性及其应用函数的对称性、周期性及其应用【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）f axf ax f x关于xa轴对称（当0a 时，恰好就是偶函数）（2） f axf bxf x关于2abx轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如f axf bx的等式只需注意两点，一是等式两侧f前面的符号相同，且括号内x前面的符号相反；二是, a b的取值保证2abx为所给对称轴即可。例如： f x关于1x 轴对称 2f xfx，或得到31fxfx 均可，只是在求函数值方面，一侧是 f x更为方便（3）f xa是偶函数，则f xafxa ，进而可得到： f x关于xa轴对称. 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在f xa中，x仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x取相反数时，函数值相等，即f xafxa ，要与以下的命题区分：若 f x是偶函数，则f xafxa： f x是偶函数中的x占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有f xafxa 本结论也可通过图像变换来理解，f xa是偶函数，则f xa关于0x 轴对称，而 f x可视为f xa平移了a个单位（方向由a的符号决定） ，所以 f x关于xa对称.2、中心对称的等价描述：（1）f axf ax f x关于,0a中心对称（当0a 时，恰好就是奇函数）（2） f axf bxf x 关于,02ab 中心对称2在已知对称中心的情况下，构造形如f axf bx 的等式同样需注意两点，一是等式两侧f和x前面的符号均相反；二是, a b的取值保证2abx为所给对称中心即可。例如： f x关于1,0中心对称 2f xfx ，或得到35fxfx 均可，同样在求函数值方面，一侧是 f x更为方便（3）f xa是奇函数，则f xafxa ，进而可得到： f x关于,0a中心对称。 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在f xa中，x仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x取相反数时，函数值相反，即f xafxa ，要与以下的命题区分：若 f x是奇函数，则f xafxa ： f x是奇函数中的x占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有f xafxa 本结论也可通过图像变换来理解，f xa是奇函数，则f xa关于0,0中心对称，而 f x可视为f xa平移了a个单位（方向由a的符号决定） ，所以 f x关于,0a对称。4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部” ，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称 （4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设 f x的定义域为D，若对xD ，存在一个非零常数T，有 f xTf x，则称函数 f x是一个周期函数，称T为 f x的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为T的自变量函数值相等3、若 f x是一个周期函数，则 f xTf x，那么 2f xTf xTf x，即2T也是 f x的一个周期，进而可得：kT kZ也是 f x的一个周期4、最小正周期：正由第 3 条所说，kT kZ也是 f x的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期3中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数 f xC5、函数周期性的判定：（1）f xaf xb：可得 f x为周期函数，其周期Tba（2） f xaf xf x 的周期2Ta分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：2f xaf xa 所以有： 2f xaf xaf xf x ，即周期2Ta注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3） 1f xaf xf x的周期2Ta分析： 1121f xaf xf xa f x（4） f xf xak（k为常数） f x的周期2Ta分析： ,2f xf xak f xaf xak，两式相减可得： 2f xaf x（5） f xf xak（k为常数） f x的周期2Ta（6）双对称出周期：若一个函数 f x存在两个对称关系，则 f x是一个周期函数，具体情况如下：（假设ba） 若 f x的图像关于,xa xb轴对称，则 f x是周期函数，周期2Tba分析： f x关于xa轴对称2fxfax f x关于xb轴对称2fxfbx22faxfbx f x的周期为222Tbaba 若 f x的图像关于 ,0 ,0ab中心对称，则 f x是周期函数，周期2Tba 若 f x的图像关于xa轴对称，且关于,0b中心对称，则 f x是周期函数，周期4Tba7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹” ，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。4（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔kT kZ的函数图象相同，所以若 f x在, a bbaT上单调增（减） ，则 f x在,akT bkTkZ上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为T的函数 f x存在一条对称轴xa （或对称中心） ，则 f x 存在无数条对称轴，其通式为2kTxakZ 证明： f x关于xa轴对称 2f xfax 函数 f x的周期为T f xkTf x 2f xkTfax f x关于2kTxa轴对称注：其中（3） （4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.【经典例题经典例题】例 1【2017 山东，文 14】已知f(x)是定义在 R R 上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当 3,0x 时,( )6xf x,则f(919)= .【答案】6【解析】【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法已知函数的奇偶性,求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用f(x)±f(x)0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性5例 2.对于函数 yf x，部分x与y的对应关系如表：数列 nx满足： 11x ，且对于任意*nN，点1,nnxx都在函数 yf x的图象上，则12201620172018xxxxx的值为_.【答案】7564【名师点睛】周期数列是周期现象的应用，周期数列问题在高考中常出现这类试题综合性强一般会融汇数列，数论，函数等知识解题，方法灵活多变，具有较高的技巧性学生应进行相关的培训，才能在应付这些试题时有比较好的把握例 3.【2019 届山西省康杰中学高三上学期第一次月考】定义在 R 上的函数 f x满足 ,4fxf xf xf x ,且1,0x 时, 125xf x ,则2log 20f=A. 1 B. 4 5C. 1 D. 4 5【答案】C【解析】 fxf x ，则0,1x时， 1,0x 1122(01)55xxf xfxx 45220224log 205，即20log 20416 4f xf x2log 20 4 22111log 20log 20421615205ff 故选 C.例 4.定义在R上的函数 f x对任意xR，都有 112,214f xf xff x，则2016f等于（ ）A. 1 4B. 1 2C. 1 3D. 3 5【答案】D【解析】由 121f xf xf x及所求2010f可联想到周期性，所以考虑 11121411211f x f xf xf xf xf xf x f x，所以 f x是周期为 4 的周期函数，故 20164ff，而由已知可得 1234125fff，所以320165f.例 5【高考题】定义在R上的函数 f x满足 2log1,012 ,0xxf xf xf xx，则2009f的值为（ ）A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 200952fff ，而 21001011fffffff.7【名师点睛】 （1）本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而2009x 数较大，所以考虑判断函数周期性。（2）如何快速将较大自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。则被除数的函数值与余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。例如本题中200963345，从而 20095ff（3）本题推导过程中 3f xf x 也有其用处，其含义是间隔为 3 的自变量函数值互为相反数，相比周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调”从而将自变量放置已知区间内.例 6.已知 f x是定义在R上的函数，满足 0,11f xfxf xf x，当0,1x时， 2f xxx ，则函数 f x的最小值为（ ）A. 1 4B. 1 4 C. 1 2 D. 1 2【答案】B例 7.已知定义域为R的函数 f x满足4fxf x ，且函数 f x在区间2,上单调递增，如果122xx，且124xx，则 12f xf x的值（ ）A. 可正可负 B. 恒大于 0 C. 可能为 0 D. 恒小于 0【答案】D【解析】思路一：题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性，而124xx可得214xx，因为12x ，所以142x，进而将21,4xx装入了2,中，所以由214xx可得 214f xfx，下一步需要转化14fx，由4fxf x 可得 fx关于82,0中心对称，所以有 4fxf x .代入1x 可得 114fxf x ，从而 21120f xf xf xf x 思路二：本题运用数形结合更便于求解.先从4fxf x 分析出 fx关于2,0中心对称，令2x 代入到4fxf x 可得 20f。中心对称的函数对称区间单调性相同，从而可作出草图.而12 12422xxxx，即12,x x的中点位于2x 的左侧，所以1x比2x距离2x 更远，结合图象便可分析出 12f xf x恒小于 0.【名师点睛】 （1）本题是单调性与对称性的一个结合，入手点在于发现条件的自变量关系，与所求函数值关系，而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性，所以需要将自变量装入同一单调区间内。而对称性起到一个将函数值等价转化的作用，进而与所求产生联系.（2）数形结合的关键点有三个：第一个是中心对称图像的特点，不仅仅是单调性相同，而且是呈“对称”的关系，从而在图像上才能看出 12f xf x的符号；第二个是 20f，进而可知 2,0;,2 ,0xf xxf x ；第三个是12 12422xxxx，既然是数形结合，则题中条件也要尽可能转为图像特点，而124xx表现出中点的位置，从而能够判断出12,x x距离中心对称点的远近.例 8.已知定义域为R的函数 yf x在0,7上有1和6两个零点，且2yf x与7yf x 都是偶函数，则 yf x在0,2013上的零点个数至少有（ ）个A. 404 B. 804 C. 806 D. 402 【答案】C解：2 ,7f xf x为偶函数22 ,77f xfxf xfx f x关于2,7xx轴对称 f x为周期函数，且27210T 9将0,2013划分为0,1010,202000,20102010,2013 f x关于2,7xx轴对称 4,14f xfxf xfx 160ff 814860fff 34310fff 在0,10中只含有四个零点而0,1010,202000,2010共201组所以2014804N 在2010,2013中，含有零点 201110,201330ffff共两个所以一共有 806 个零点.【名师点睛】 （1）周期函数处理零点个数时，可以考虑先统计一个周期的零点个数，再看所求区间包含几个周期，相乘即可.如果有不满一个周期的区间可单独统计.（2）在为周期函数分段时有一个细节：“一开一闭” ，分段的要求时“不重不漏” ，所以在给周期函数分段时，一端为闭区间，另一端为开区间，不仅达到分段要求，而且每段之间保持队型，结构整齐，便于分析.（3）当一个周期内含有对称轴（或对称中心）时，零点的统计不能仅限于已知条件，而要看是否由于对称产生新的零点。其方法一是可以通过特殊值的代入，二是可以通过图像，将零点和对称轴标在数轴上，看是否有由对称生成的零点（这个方法更直观，不易丢解）.例 9【2019 届安徽省六安市第一中学高三上学期第五次月考】设函数 f x是定义在R上的偶函数，且22f xfx，当2,0x 时， 212x f x，若在区间2,6内关于x的方程 log20(0,1)af xxaa有且只有 4 个不同的根，则实数a的取值范围是（ ）A. 1,14B. 14， C. 18 ， D. 8 +，【答案】D【解析】22fxfx，函数 f x图象的对称轴为2x ，即4fxf x，10在区间2 6 ，内方程 log20(01)af xxaa，有且只有 4 个不同的根，函数 yf x和ylog2ax的图象在区间2 6 ，内仅有 4 个不同的公共点结合图象可得只需满足1 log 81aa ，解得8a 实数a的取值范围是8 ，【名师点睛】已知函数零点个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法（1）直接法：通过解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的值（或范围） ；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域的问题，并结合题意加以解决；（3）数形结合法：先对函数解析式变形，化为两个函数的形式，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后根据两个图象的位置关系得到关于参数的不等式（组） ，求得解集后可得范围，解题时要注意一些特殊点的相对位置例 10【2019 届吉林省梅河口市第五中学高三 4 月月考】如果的定义域为 ，对于定义域内的任意 ，存在实数 使得成立，则称此函数具有“性质”.给出下列命题：函数具有“性质” ；若奇函数具有“性质” ，且，则；若函数具有“性质” ，图象关于点成中心对称，且在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增；11若不恒为零的函数同时具有“性质”和“性质” ，且函数对，都有成立，则函数是周期函数.其中正确的是_（写出所有正确命题的编号） 【答案】【解析】 函数具有“性质” ；故正确；奇函数具有“性质” ，且，是周期为 4 的函数， 故不正确；图象关于点成中心对称，且在上单调递减，图象也关于点成中心对称，且在上上单调递减，根据偶函数的对称得出：在上单调递增；故正确；若不恒为零的函数同时具有“性质”和“性质” ，为偶函数，且周期为 3，故正确故答案为：【精选精练精选精练】1 【2019 届河北省石家庄高三教学质量检测（二） 】已知定义在 上的奇函数满足，且当时，则( )A. B. 18 C. D. 2【答案】C122 【2019 届江西省南昌市高三第一轮训练】已知定义在R上的奇函数 f x满足 3f xf x ，且21f ，则20162017ff（ ）A. 0 B. 1 C. 1 D. 2【答案】B【解析】 3,63f xf xf xf xf xf x ,说明函数 f x 的周期为 6， 20166 336,20176 336 1，则 2016201701ffff，由函数 f x为 定义在R上的奇函数，则 00,f又 3f xf x ，则 1421fff ，则 20162017010 11ffff ，选 B.3 【2019 届广东省茂名市高三上学期第一次综合测试】定义在 R 上函数2yf x的图象关于直线 x=2 对称，且函数1f x是偶函数. 若当 x0,1时， sin2f xx，则函数 xg xf xe在区间2019,2019上零点的个数为( )A. 2017 B. 2019 C. 4034 D. 4036【答案】D1311f xfx ，故 2f xfxf x，函数 f x是周期为 2 的偶函数又当 x0,1时， sin2f xx，画出 yf x与1x ye图象如下图所示，由图象可知在每个周期内两函数的图象有两个交点，所以函数 xg xf xe在区间2019,2019上零点的个数为 20192=4036选 D【名师点睛】函数零点的应用是高考考查的热点，主要考查利用零点的个数或存在情况求参数的取值范围，难度较大解题时常用的方法有以下几种：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形得到两个函数，并在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后利用数形结合求解4 【2019 届河北省武邑中学高三上学期第五次调研】函数 f x是定义在R上的奇函数，且1f x为偶函数，当 0,1x时， 2f xx，若 g xf xxb有三个零点，则实数b的取值集合是（ ）A. 112,2,44kkkZB. 152,2,22kkkZ14C. 114,4,44kkkZD. 194,5,22kkkZ【答案】C【解析】因为函数 f x是定义在R上的奇函数，且当 0,1x时， 2f xx，故当1,0x 时， 2f xx ，所以函数 f x的部分图象如图所示， g xf xxb有三个零点，即函数 f x和函数yxb的图象有三个交点，当直线yxb与函数 f x的图象在0,1上相切时，即2xxb有 2周期为 4，所以实数b的取值集合是114,4,44kkkZ.故选 C.【名师点睛】本题考查函数的零点、函数的对称轴和周期性；本题的易错点是利用函数1f x为偶函数正确得到函数 f x的对称性，要注意判定奇偶性的自变量是x，由1f x为偶函数得到11fxf x ，而不是11fxf x .5 【2019 届贵州省遵义市高三上学期第二次联考】设 f x是定义在R上的偶函数， Rx ，都有1522fxfx，且当0,2x时， 22xf x ，若函数 log1ag xf xx（0,1aa）在区间1,9内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）A. 1 1,3, 79 5B. 1,11, 39C. 10,7,9D. 1 1,5,37 3【答案】A【解析】由22fxfx可得函数 f x的图象关于2x 对称，即4f xfx函数 log1ag xf xx（0,1aa）在区间1,9内恰有三个不同零点，函数 yf x和 1 (01)ah xlogxaa且的图象在区间1,9内有三个不同的公共点作出函数 f x的图象如图所示当1a 时，函数 1ah xlogx为增函数，16结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足 h x在点 A 处的函数值小于 2，在点 B 处的函数值大于 2，即 1 232 672aaa hlog hlog ，解得37a；当01a时，函数 1ah xlogx为减函数，【名师点睛】对于已知函数零点个数（或方程根的个数）求参数的取值或范围时，一般转化为两函数的图象的公共点的个数的问题，利用数形结合的方法求解（1）若分离参数后得到 af x（a为参数）的形式，则作出函数 f x的图象后，根据直线ya和函数 f x的图象的相对位置得到参数的取值范围（2）若不能分离参数，则可由条件化为 f xg x的形式，在同一坐标系内画出函数 yf x和函数 yg x的图象，根据两图象的相对位置关系得到参数的取值范围6 【2019 届四川省成都市第七中学高三上学期一诊】定义在R上的奇函数 f x满足1f x是偶函数，且当 0,1x时， 32,f xxx则31 2f（）A. 1 2B. 1 2 C. 1 D. 1【答案】C【解析】 yf x是定义在R上的奇函数， fxf x ， 函数1yf x是定义在R上的偶函数， 111fxf xf x ， 2f xf x ，可得 42f xf xf x ，则17 f x的周期是4， 3111114 43 1122222ffff ，故选 C.7 【2019 届山东省曲阜市高三上学期期中】已知函数 f x的定义域为R的奇函数，当 0,1x时， 3f xx，且xR ， 2f xfx，则2017.5f（ ）A. 1 8 B. 1 8C. 0 D. 1【答案】B8 【2019 届山东省枣庄市第三中学高三一调模拟】已知定义在R上的函数 f x满足条件：对任意的xR，都有 4f xf x；对任意的12,0,2x x 且12xx，都 12f xf x有；函数2f x的图象关于y轴对称，则下列结论正确的是 （ ）A. 76.54.5fff B. 74.56.5fffC. 4.576.5fff D. 4.56.57fff【答案】C【解析】对任意的 xR,都有 f(x+4)=f(x)；函数是 4 为周期的周期函数，函数 f(x+2)的关于 y 轴对称函数函数 f(x)的关于 x=2 对称，对任意的12,0,2x x ,且12xx,都有 12f xf x.此时函数在0,2上为增函数，18则函数在2,4上为减函数，则 f(7)=f(3)，f(6.5)=f(2,5)，f(4.5)=f(0.5)=f(3.5)，则 f(3.5)<f(3)<f(2.5)，即 f(4.5)<f(7)<f(6.5)，故选：C.9.【2019 届江西省重点中学盟校高三第一次联考】定义在R上的偶函数 f x满足 2f xf x，且在1,0上单调递减，设 2af, 2bf， 3cf， 则a, b, c的大小关系是（ ）A. bca B. abc C. bac D. acb【答案】C10【2019 届贵州省贵阳市第一中学高三 12 月月考】已知 f x是定义在R上的奇函数，满足 1f xf x ，当10,2x时， 41xf x ，则函数 11h xxf x在区间3,32上所有零点之和为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】由已知 f x是定义在 R 上的奇函数，所以 fxf x ，又 1f xf x ，所以 f x的周期是 2，且1f xfx得1 2x 是其中一条对称轴，又当10,2x时， 41xf x ， ，于是 f x图象如图所示，19【名师点睛】本题主要考查函数的零点问题，根据条件判断函数的周期性，对称性，以及利用方程和函数之间的关系进行转化是解决本题的关键 11 【2019 届山西省吕梁市高三上学期第一次模】函数 f x在0,单调递增，且2f x关于2x 对称，若21f ，则21f x的x的取值范围是（ ）A. 2,2 B. , 22, C. ,04, D. 0,4【答案】D【解析】2f x函数图像是由 f x图像向左平移2个单位后得到，故 f x关于y轴对称，且在,0上递减.故21f x等价于222x ，解得04x.12【2019 届重庆市高三 4 月调研测试（二诊） 】已知定义在R上的奇函数 yf x满足2fxfx，且 12f，则20182019ff的值为（ ）A. 2 B. 0 C. 2 D. 4【答案】A20 201820194 50424 504323ffffff，又 200,3112fffff ， 20182019232ffff 选 A【名师点睛】函数的奇偶性、对称性和周期性是函数的三个重要性质，这三个性质具有紧密的联系，即已知其 中的两个则可推出第三个性质，考查时常将这三个性质结合在一起，并结合函数的图象、零点等问题，这类问 题的难度较大、具有一定的综合性.