2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单性质作业 北师大版选修1-1.doc

12.3.22.3.2 双曲线的简单性质双曲线的简单性质基础达标1双曲线x21 的渐近线方程为( )y2 3Ay±3x By±x1 3Cy±x Dy±x333解析：选 D.方程化为x21，a，b1.渐近线方程为y±x.y2 333 2.已知双曲线的渐近线为y±x，焦点坐标为(4，0)，(4，0)，则双曲线方程为3( )A.1 B.1x2 8y2 24x2 12y2 4C.1 D.1x2 24y2 8x2 4y2 12解析：选 D.焦点在x轴上. ，c4，c242a2b2a2(a)24a2，b a33 a24，b212.故选 D.3.已知双曲线1(a>0，b>0)的离心率e，则它的渐近线方程为( )x2 a2y2 b23Ay±x By±x223 Cy±x Dy±x2解析：选 C.e，e21( )23， ，又焦点在x轴，3c2 a2a2b2 a2b ab a2 渐近线方程为y±x.2 4.设ABC是等腰三角形，ABC120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心 率为( )A. B.1 221 32 C1 D123 解析：选 B.由题意知ABBC2c，又ABC120°， 过B作BDAC，D为垂足，则 |AC|2CD2×BCsin 60°2c，3 由双曲线定义|AC|BC|2c2c2a，3e .c a22 32131312 5.已知抛物线y22px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为 5，双曲线y21 的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为( )x2 aA. B.1 91 4C. D.1 31 2解析：选 A.由题意得 1 5，p8，y216x，当x1 时，m216，m>0，m4.p 22M(1，4)，双曲线左顶点A(，0)，kAM，由题意，a .a41a41a1a1 96.双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区x2 a2y2 b2 域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为_解析：由题意当x1 时，yx 1，e(1，)5 答案：(1，)57.过点(0，1)且斜率为 1 的直线交双曲线x21 于A，B两点，则y2 4 |AB|_解析：直线的方程为y1x，即yx1，代入x21 整理得 3x22x50，y2 4x11，x2 ，|AB|x1x2|1 |.5 31k2115 38 23答案：8 238.已知双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y±x，若顶点到渐近线x2 a2y2 b233 的距离为 1，则双曲线方程为_ 解析：双曲线的一个顶点为(a，0)，它到渐近线xy0 的距离为31，a2，又 ba.故双曲线方程为1.|a|1（ 3）2b a33332 33x2 4y2 4 3答案：1x2 4y2 4 39.(1)求与双曲线1 有共同渐近线，并且经过点(3，2)的双曲线的方程x2 9y2 163 (2)已知双曲线的一条渐近线方程为xy0，且与椭圆x24y264 共焦点，求双3 曲线的方程解：(1)设所求双曲线方程为(0)，将点(3，2)代入，得x2 9y2 163，解得 .9 912 161 4所以所求双曲线方程为1.4x2 9y2 4(2)法一：椭圆方程可化为1，易得焦点是(±4，0)设双曲线方程为x2 64y2 163x2 a21(a>0，b>0)，其渐近线方程是y±x，则 .代入a2b2c248，解得y2 b2b ab a33a236，b212.所以所求双曲线方程为1.x2 36y2 12 法二：由于双曲线的一条渐近线方程为xy0，则另一条渐近线方程为xy0.33已知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为x23y2(>0)，即1.x2 y2 33由椭圆方程1 知c2a2b2641648.因为双曲线与椭圆共焦点，所以x2 64y2 1648，则36. 3所以所求双曲线方程为1.x2 36y2 12 10.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)3 (1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O2OAOB为原点)，求k的取值范围解：(1)设双曲线方程为1(a>0，b>0)x2 a2y2 b2 由已知得a，c2，再由a2b222，得b21.3故双曲线C的方程为y21.x2 3(2)将ykx代入y21 得2x2 3 (13k2)x26kx90.2 由直线l与双曲线交于不同的两点得13k2 0， （6 2k）236（13k2）36（1k2） > 0，)即k2 且k22 得xAxByAyB>2，OAOB而xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)22 (k21)xAxBk(xAxB)22(k21)k2.9 13k226 2k13k23k27 3k21于是>2，即>0，解此不等式得 0)的中心和左焦点，点P为双曲x2 a2线右支上的任意一点，则·的取值范围为_OPFP解析：因为F(2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a214，即a23，所以双曲线方程为y21，设点P(x0，y0)(x0)，则有y1(x0)，解得x2 332 03y1(x0)，易知(x02，y0)，(x0，y0)，所以·x0(x02)2 03FPOPOPFPyx0(x02)12x01，此二次函数的图像的对称轴为x0 ，因为2 03 4x0，所以当x0时，·取得最小值 ×32132，故·的取值范33OPFP4 333OPFP围是32，)3 答案：32，)33.设F1，F2分别为双曲线1 的左、右焦点，A1，A2分别为这个双曲线的左、x2 a2y2 b2 右顶点，P为双曲线右支上的任意一点，求证：以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆 外切，又与以PF1为直径的圆内切 证明：如图，以A1A2为直径的圆的圆心为O，半径为a，令M，N分别是PF2，PF1的中点，由三角形中位线的性质，得|OM| |PF1|.又根据双曲线的定义，得1 2|PF1|2a|PF2|，从而有|OM| (2a|PF2|)a |PF2|.这表明，两圆的圆心距等于两1 21 2 圆半径之和，故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切同理，得|ON| |PF2| (|PF1|2a) |PF1|a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径1 21 21 2 之差，故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切4已知双曲线C：1(a>0，b>0)的渐近线方程为y±x，O为坐标原点，x2 a2y2 b23 点M(，)在双曲线上53 (1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且·0，求|OP|2|OQ|2的最小值OPOQ解：(1)双曲线C的渐近线方程为y±x，3 b23a2，双曲线的方程可设为 3x2y23a2. 点M(，)在双曲线上，可解得a24，53双曲线C的方程为1.x2 4y2 125(2)设直线PQ的方程为ykxm，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为 (3k2)x22kmxm2120，.3k2 0 （2km）24（3k2）（m212） > 0)x1x2，x1x2.2km 3k2m212 3k2由·0x1·x2y1·y20，OPOQ即(1k2)x1x2km(x1x2)m20，(1k2)kmm20，化简得m26k26，m212 3k22km 3k2|OP|2|OQ|2|PQ|2(1k2)·(x1x2)24x1x224.384k2 （k23）2当k0 时，|PQ|22424 成立，且满足，384k2 （k23）2 又因为当直线PQ垂直x轴时，|PQ|2>24， 所以|OP|2|OQ|2的最小值是 24.