2019高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和学案5.doc

- 1 -第第 1 1 课时课时 等差数列的前等差数列的前n n项和项和学习目标：1.了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点).2.掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点)自自 主主 预预 习习··探探 新新 知知1数列的前n项和的概念一般地，称a1a2an为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sna1a2an.思考：如何用Sn和Sn1的表达式表示an?提示 anError!2等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Snna1an 2Snna1dnn1 2思考：等差数列an中，若已知a27，能求出前 3 项和S3吗？提示 S33a221.3a1a3 2基础自测基础自测1思考辨析(1)数列的前n项和就是指从数列的第 1 项a1起，一直到第n项an所有项的和( )(2)anSnSn1(n2)化简后关于n与an的函数式即为数列an的通项公式( )(3)在等差数列an中，当项数m为偶数 2n时，则S偶S奇an1.( )答案 (1) (2)× (3)× 提示：(1)正确由前n项和的定义可知正确(2)错误例如数列an中，Snn22.当n2 时，anSnSn1n2(n1)22n1.又因为a1S13，所以a1不满足anSnSn12n1，故命题错误(3)错误当项数m为偶数 2n时，则S偶S奇nd.2等差数列an中，a11，d1，则其前n项和Sn_.因为a11，d1，nn1 2所以Snn×1.nn1 22nn2n 2n2n 2nn1 23在等差数列an中，S10120，那么a1a10_.- 2 -【导学号：91432163】2424 由S10120.解得a1a1024.10a1a10 24设等差数列an的前n项和为Sn，若a1 ，S420，则S6_.1 24848 设等差数列an的公差为d，由已知得 4a1×d20，即4 × 3 24× d20，1 24 × 3 2解得d3，所以S66× ×334548.1 26 × 5 2合合 作作 探探 究究··攻攻 重重 难难等差数列前n项和的有关计算在等差数列an中，(1)已知a1 ，an ，Sn5，求n和d；5 63 2(2)已知a14，S8172，求a8和d.【导学号：91432164】解 (1)由题意得，Sn5，解得n15.na1an 2n(563 2) 2又a15 (151)d ，5 63 2d .n15，d .1 61 6(2)由已知得S8172，解得a839，8a1a8 284a8 2又a84(81)d39，d5.a839，d5.规律方法a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.跟踪训练跟踪训练1在等差数列an中，(1)已知a610，S55，求a8和S10；- 3 -(2)已知a3a1540，求S17.解 (1)Error!解得a15，d3.a8a62d102×316，S1010a1d10×(5)5×9×385.10 × 9 2(2)S17340.17 × a1a17 217 × a3a15 217 × 40 2an与Sn的关系的应用探究问题探究问题1若数列an的前n项和为Sn，则关系式anSnSn1的使用条件是什么？提示：使用条件是n2.2若数列an的前n项和为Sn，a2 016a2 017a2 018如何用前n项和Sn表示？提示：a2 016a2 017a2 018S2 018S2 015.3已知数列an的通项公式an，可利用Sna1a2an求前n项和Sn；反之，如果知道了数列an的前n项和Sn，如何求出它的通项公式？提示：对所有数列都有Sna1a2an1an，Sn1a1a2an1(n2)因此，当n2 时，有anSnSn1；当n1 时，有a1S1.所以an与Sn的关系为anError!当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式anf(n)(nN N*)来表示设Sn为数列an的前n项和，Sn2n230n.(1)求a1及an.(2)判断这个数列是否是等差数列.【导学号：91432165】思路探究：(1)利用a1S1，求a1，借助于anSnSn1(n2)求通项公式但要验证a1是否符合条件；(2)利用等差数列的定义进行判断即可解 (1)因为Sn2n230n，所以当n1 时，a1S12×1230×128，当n2 时，anSnSn12n230n2(n1)230(n1)4n32.验证当n1 时上式成立，所以an4n32.(2)由an4n32，得an14(n1)32(n2)，所以anan14n324(n1)324(常数)，所以数列an是等差数列- 4 -母题探究：1.(变条件变结论)将本例的条件“Sn2n230n”改为“log2(Sn1)n1” ，其他条件不变，求an.解 由 log2(Sn1)n1 得Sn12n1，Sn2n11当n2 时anSnSn12n112n12n.当n1 时，a1S13.经验证不符合上式anError!2(变条件变结论)将本例中的条件“Sn2n230n”变为“正数数列bn的前n项和Sn (bn1)2” ，求bn的通项公式1 4解 当n2 时，bnSnSn1，bn (bn1)2 (bn11)21 41 4 (bb2bn2bn1)1 42n2n1整理得：bb2bn2bn10，2n2n1(bnbn1)(bnbn12)0，bnbn1>0，bnbn12(n2)bn为等差数列又b1 (b11)2，b11，1 4bn1(n1)·22n1.规律方法 已知数列an的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：（1）当n1 时，a1S1.（2）当n2 时，根据Sn写出Sn1，化简anSnSn1.（3）如果a1也满足当n2 时，anSnSn1的通项公式，那么数列an的通项公式为anSnSn1；如果a1不满足当n2 时，anSnSn1的通项公式，那么数列an的通项公式要分段表示为anError!等差数列前n项和公式的实际应用某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑- 5 -成第二道防线？思路探究：因为每隔 20 分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明 24 小时内可完成第二道防线工程解 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a124，公差d .1 325 辆翻斗车完成的工作量为：a1a2a2525×2425×12×500，而需要完成(1 3)的工作量为 24×20480.500>480，在 24 小时内能构筑成第二道防线规律方法 1本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列2遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.跟踪训练跟踪训练2植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为_米.【导学号：91432166】2 2 000000 假设 20 位同学是 1 号到 20 号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第 10 或第 11 号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以 20 为首项，20 为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S9×20×2010×20×202 000(米)9 × 8 210 × 9 2当当 堂堂 达达 标标··固固 双双 基基1(2018·全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若 3S3S2S4，a12，则a5( )A12 B10 C10 D12B B 通解 设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，32a1d4a1(3a13 × 2 2d)d，解得da1，a12，d3，4 × 3 23 2a5a14d24×(3)10.故选 B.- 6 -优解 设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，3S3S3a3S3a4，S3a4a3，3a1dd.a12，d3 × 2 23，a5a14d24×(3)10.故选 B.2设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5( ) 【导学号：91432167】A5 B7C9 D11A A 由题a1a3a53，3a33.a31又S55.5a1a5 25 × 2a3 23已知数列an的前n项和为Snn2，则( )Aan2n1 Ban2n1Can2n1 Dan2n1B B 由anSnSn1(n2)得an12n，当n1 时，S1a11 符合上式an2n1.4在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.190190 S19190.19a1a19 219 × 2a10 25已知等差数列an中，a1 ，d ，Sn15，求n及a12.3 21 2【导学号：91432168】解 Snn· · 15，3 2nn1 21 2整理得n27n600，解之得n12 或n5(舍去)，a12 (121)×4.32(12)