2019高中数学 课时分层作业19 空间向量与垂直关系 新人教A版选修2-1.doc

1课时分层作业课时分层作业( (十九十九) ) 空间向量与垂直关系空间向量与垂直关系(建议用时：40 分钟)基础达标练一、选择题1已知平面的法向量为a a(1,2，2)，平面的法向量为b b(2，4，k)，若，则k( )A4 B4 C5 D5D D ，a ab b，a a·b b282k0.k5.2已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BPABBCABBCBP平面ABC，则实数x，y，z分别为( )A ，4 B ，433 715 740 715 7C ，2,4D4， ，1540 740 7B B ，·0，即 352z0，得z4，ABBCABBC又BP平面ABC，BPABBPBC则Error!解得Error!3在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( ) PA【导学号：46342170】A BPAABPACDC DPCBDPCABD D 由题意知PA平面ABCD，所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，A，B 正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD平面PAC，故PCBD，C 选项正确4已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件：DBAC，DCAB，ADBC，则点D的坐标为( )A(1,1,1)B(1，1，1)或(1 3，1 3，1 3)C(1 3，1 3，1 3)2D(1,1,1)或(1 3，1 3，1 3)D D 设D(x，y，z)，则(x，y1，z)，(x，y，z1)，(x1，y，z)，BDCDAD(1,0,1)，AC(1，1,0)，AB(0，1,1)BC又DBACxz0 ，DCABxy0 ，ADBC(x1)2y2z22 ，联立得xyz1 或xyz ，所以点D的坐标为(1,1,1)或1 3.故选 D(1 3，1 3，1 3)5.如图 3­2­14 所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则( )2 31 3图 3­2­14AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面B B 建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为 1，则(1,0,1)，DA1(0,1,0)(1,0,0)(1,1,0)，ACE，F，(1 3，0，1 3)(2 3，1 3，0)，·0，·0，EF(1 3，1 3，1 3)EFDA1EFACEFA1D，EFAC3二、填空题6已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)，AB(4,2,0)，(1,2，1)给出下列结论：APAB；APAD；是平面ADAPAPABCD的一个法向量其中正确的是_(填序号) ·2×(1)(1)×2(4)×(1)2240，则，ABAPABAP则ABAP.·4×(1)2×200，则，则APAD又ADAPAPADABADA，AP平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量AP7已知a a(0,1,1)，b b(1,1,0)，c c(1,0,1)分别是平面，的法向量，则，三个平面中互相垂直的有_对. 【导学号：46342171】0 a a·b b(0,1,1)·(1,1,0)10，a a·c c(0,1,1)·(1,0,1)10，b b·c c(1,1,0)·(1,0,1)10，a a，b b，c c中任意两个都不垂直，即，中任意两个都不垂直8已知空间三点A(1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，3)，若直线AB上存在一点M，满足CMAB，则点M的坐标为_设M(x，y，z)，(1，1,0)，(x，y，z1)，(1 2，1 2，1)ABBM(x1，y2，z3)，由题意，得Error!，x ，y ，z1，点M的坐标为CM1 21 2.(1 2，1 2，1)三、解答题9.如图 3­2­15，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：AM平面BDF.2图 3­2­15证明 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(， ，0)，B(0，22，0)，D(，0,0)，F(， ，1)，M.2222(22，22，1)4所以，(0, ，1)，(，0)AM(22，22，1)DF2BD22设n n(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n n，n n，BDDF所以Error!Error!取y1，得x1，z.2则n n(1,1，)2因为.AM(22，22，1)所以n n ，得n n与共线2AMAM所以AM平面BDF.10如图 3­2­16 所示，ABC是一个正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD图 3­2­16求证：平面DEA平面ECA证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA2，则CE2，BD1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)35所以(，1，2)，(0,0,2)，(0,2，1)EA3CEED分别设平面CEA与平面DEA的法向量是n n1(x1，y1，z1)，n n2(x2，y2，z2)，则Error!即Error!解得Error!Error!即Error!解得Error!不妨取n n1(1，0)，3n n2(，1,2)，3因为n n1·n n20，所以n n1n n2.所以平面DEA平面ECA能力提升练1两平面，的法向量分别为(3，1，z)，v v(2，y，1)，若，则yz的值是( )A3 B6 C6 D12B B (3，1，z)，v v(2，y,1)分别为，的法向量且，v v，即·v v0，6yz0yz6.2.如图 3­2­17，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，BAC90°，ABACAA11，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )图 3­2­17A当点Q为线段B1P的中点时，DQ平面A1BDB当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ平面A1BDC在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ平面A1BDD不存在DQ与平面A1BD垂直D D 以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，6D，P(0,2,0)，(1,0,1)，(1,2,0)，(0，1，1 2)A1BA1D(0，1，1 2)B1PDB1.设平面A1BD的法向量为n n(x，y，z)，则Error!取z2，则(1，1，1 2)x2，y1，所以平面A1BD的一个法向量为n n(2,1，2)假设DQ平面A1BD，且(1,2,0)(，2，0)，则B1QB1P，因为也是平面A1BD的法向量，所以DQDB1B1Q(1，12，1 2)DQn n(2,1，2)与共线，于是有 成DQ(1，12，1 2)1 212 112 21 4立，但此方程关于无解故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选 D3.如图 3­2­18，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为 1 的正方形，PD底面ABCD，且PD1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是_. 【导学号：46342173】图 3­2­18垂直 以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，F，平面PBC的一个法向量(1 2，1 2，1 2)(1 2，0，0)EF(0，1 2，1 2)n n(0,1,1)，n n，EF1 2n n，EFEF平面PBC4设A是空间任意一点，n n是空间任意一个非零向量，则适合条件·n n0 的点M的AM轨迹是_过点A且与向量n n垂直的平面 ·n n0，n n或0 0，点M在过点A且AMAMAM与向量n n垂直的平面上5如图 3­2­19，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且7ADBC，ABCPAD90°，侧面PAD底面ABCD若PAABBCAD1 2图 3­2­19(1)求证：CD平面PAC；(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由解 因为PAD90°，所以PAAD又因为侧面PAD底面ABCD，且侧面PAD底面ABCDAD，所以PA底面ABCD又因为BAD90°，所以AB，AD，AP两两垂直分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设AD2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(1)证明：(0,0,1)，(1,1,0)，(1,1,0)，APACCD可得·0，·0，所以APCD，ACCDAPCDACCD又因为APACA，所以CD平面PAC(2)设侧棱PA的中点是E，则E，.(0，0，1 2)BE(1，0，1 2)设平面PCD的法向量是n n(x，y，z)，则Error!因为(1,1,0)，(0,2，1)，CDPD所以Error!取x1，则y1，z2，所以平面PCD的一个法向量为n n(1,1,2)所以n n·(1,1,2)·0，所以n n.BE(1，0，1 2)BE因为BE平面PCD，所以BE平面PCD综上所述，当 E 为 PA 的中点时，BE平面 PCD