2019高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第2课时 角度问题学案 新人教A版必修5.doc

- 1 -第第 2 2 课时课时 角度问题角度问题学习目标：1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题(重点).2.会将实际问题转化为解三角形问题(难点).3.能根据题意画出几何图形(易错点)自自 主主 预预 习习··探探 新新 知知1方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角如点B的方位角为(如图 1­2­18 所示)图 1­2­18方位角的取值范围：0°，360°)2视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角，如图 1­2­19 所示，视角 50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度图 1­2­19 思考：方位角的范围为什么不是(0，)?提示 方位角的概念表明， “从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角” ，显然方位角的范围应该是0,2)基础自测基础自测1思考辨析(1)如图 1­2­20 所示，该角可以说成北偏东 110°.( )图 1­2­20(2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是.( )0， 2)- 2 -(3)方位角 210°的方向与南偏西 30°的方向一致( )答案 (1)× (2)× (3) 提示：(1)说成南偏东 70°或东偏南 20°.(2)方位角的范围是0,2)2从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系是( ) 【导学号：91432060】A BC90° D180°B B 由仰角与俯角的水平线平行可知.3在某次高度测量中，在A处测得B点的仰角为 60°，在同一铅垂平面内测得C点的俯角为 70°，则BAC等于( )A10° B50°C120° D130°D D 如图所示：BAC130°.4某人从A处出发，沿北偏东 60°行走 3公里到B处，再沿正东方向行走 2 公里到C处，3则A、C两地的距离为_公里. 【导学号：91432061】7 7 如图所示，由题意可知AB3，BC2，ABC150°.3由余弦定理得AC22742×3×2·cos 150°49，AC7.所以A、C两地的距离为 73公里合合 作作 探探 究究··攻攻 重重 难难角度问题(1)如图 1­2­21，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西 40°，灯塔B在观察站南偏东 60°，则灯塔A在灯塔B的 ( )- 3 -图 1­2­21A北偏东 10° B北偏西 10°C南偏东 80° D南偏西 80°(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为 6 m，下底长为 10 m，高为 2m，那么3此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是( ) 【导学号：91432062】A.，60° B.，60°333C.，30° D.，30°333(1 1)D D (2 2)B B (1)由条件及图可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西 80°.(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB10 m，CD6 m，高DE2m，则AE2 m，3ABCD 2tan DAE，DE AE2 323DAE60°.规律方法 测量角度问题画示意图的基本步骤跟踪训练1在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东 30°，风速是 20 km/h；水的流向是正东，流速是 20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_，大小为_km/h.60° 20 如图，AOB60°，由余弦定理知3OC2202- 4 -202800cos 120°1 200，故OC20，COY30°30°60°.3求航向的角度在海岸A处，发现北偏东 45°方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船，在3A处北偏西 75°的方向，距离A处 2 海里的C处的缉私船奉命以 10海里/时的速度追截走私3船此时，走私船正以 10 海里/时的速度从B处向北偏东 30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？思路探究：你能根据题意画出示意图吗？在ABC中，能求出BC与ABC吗？在BCD中，如何求出BCD?解 设缉私船用t小时在D处追上走私船，画出示意图，则有CD10t，BD10t，3在ABC中，AB1，AC2，BAC120°，3由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC(1)2222×(1)×2×cos 120°6，33BC，且 sinABC·sinBAC×，6AC BC263222ABC45°，BC与正北方向成 90°角CBD90°30°120°，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD ，BD·sin CBD CD10tsin 120°10 3t1 2BCD30°.即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船规律方法 1测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解2在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角因为余弦函数在(0，)上是单调递减的，而正弦函数在(0，)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角但角在上时，用正、余弦定理皆可(0， 2跟踪训练- 5 -2甲船在A处观察到乙船在它的北偏东 60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？3相遇时乙船行驶了多少 n mile? 【导学号：91432063】解 如图所示，设两船在C处相遇，并设CAB，乙船行驶距离BC为x n mile，则ACx，3由正弦定理得 sin ，而1510，所以此人在C点能与投递员相遇4 716 71 4- 6 -如图 1­2­22，甲船在A处，乙船在A处的南偏东 45°方向，距A有 9 海里的B处，并以 20 海里每小时的速度沿南偏西 15°方向行驶，若甲船沿南偏东度的方向，并以 28 海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船问用多少小时追上乙船，并求 sin 的值(结果保留根号，无需求近似值) 【导学号：91432064】图 1­2­22思路探究：根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决解 设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，则在ABC中，AC28t，BC20t，AB9，ABC180°15°45°120°，由余弦定理得，(28t)281(20t)22×9×20t×，(1 2)即 128t260t270，解得t 或t(舍去)，3 49 32AC21(海里)，BC15(海里)根据正弦定理，得 sinBAC，BC·sinABC AC5 314则 cosBAC.175 14211 14又ABC120°，BAC为锐角，45°BAC，sin sin(45°BAC)sin 45°cosBACcos 45°sin BAC.11 25 628母题探究：(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东 15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度- 7 -解 设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在ABC中，AC28t，BCxt，CAB30°，ABC135°.由正弦定理得，AC sinABCBC sinCAB即.28t sin 135°xt sin 30°所以x14(海里每小时)28 × sin 30° sin 135°28 ×1 2222故乙船的速度为 14海里每小时2规律方法 解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题.当当 堂堂 达达 标标··固固 双双 基基1在某测量中，设A在B的南偏东 34°27，则B在A的( ) 【导学号：91432065】A北偏西 34°27 B北偏东 55°33C北偏西 55°33 D南偏西 34°27A A 由方向角的概念，B在A的北偏西 34°27.2如图 1­2­23 所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东 40°，灯塔B在观察站C的南偏东 60°，则灯塔A在灯塔B的( )图 1­2­23A北偏东 5° B北偏西 10° C南偏东 5° D南偏西 10° B B 由题意可知ACB180°40°60°80°.ACBC，CABCBA50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西 10°.3如图 1­2­24 所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DCa，从D，C两点测得A点仰角分别为，(<)，则点A离地面的高度AB等于( )- 8 -图 1­2­24A. B. C. D.asin sin sinasin sin cosacos cos sinacos sin cosA A 结合图形可知DAC.在ACD中，由正弦定理得，DC sinDACAC sin AC.asin sinDACasin sin在 RtABC中，ABACsin .asin sin sin4如图 1­2­25 所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为 15°，向山顶前进 100 m 到达B处，又测得C对于山坡的斜度为 45°，若CD50 m，山坡对于地平面的坡度为，则 cos 等于( ) 【导学号：91432066】图 1­2­25A. B.323C.1 D.132C C 在ABC中，由正弦定理，AB sin 30°AC sin 135°AC100.2在ADC中，cos sin(90°)AC sin90°CD sin 15°1.AC·sin 15° CD35如图 1­2­26，某海轮以 60 海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行 40 分钟后到达B点，测得油井P在南偏东 30°，海轮改为北偏东 60°的航向再行驶 80 分钟到达C点，求P，C间的距离- 9 -图 1­2­26解 因为AB40，BAP120°，ABP30°，所以APB30°，所以AP40，所以BP2AB2AP22AP·AB·cos 120°4024022×40×40×402×3，(1 2)所以BP40.3又PBC90°，BC80，所以PC2BP2BC2(40)280211 200，3所以 PC40海里7