2019高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第2课时 等比数列的性质学案5.doc

- 1 -第第 2 2 课时课时 等比数列的性质等比数列的性质学习目标：1.掌握等比数列的性质及其应用(重点).2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点).3.能用递推公式求通项公式(难点)自自 主主 预预 习习··探探 新新 知知1推广的等比数列的通项公式an是等比数列，首项为a1，公比为q，则ana1qn1，anam·qnm(m，nN N*)2 “子数列”性质对于无穷等比数列an，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.思考：如何推导anamqnm?提示 由qnm，an ama·qn1 a·qm1anam·qnm.3等比数列项的运算性质在等比数列an中，若mnpq(m，n，p，qN N*)，则am·anap·aq.特别地，当mn2k(m，n，kN N*)时，am·ana.2k对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·ana2·an1ak·ank1.4两等比数列合成数列的性质若数列an，bn均为等比数列，c为不等于 0 的常数，则数列can，aan·bn，2n也为等比数列.an bn思考：等比数列an的前 4 项为 1,2,4,8，下列判断正确的是(1)3an是等比数列；(2)3an是等比数列；(3)是等比数列；1 an(4)a2n是等比数列提示由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确基础自测基础自测1思考辨析(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积( )(2)当q>1 时，an为递增数列( )(3)当q1 时，an为常数列( )答案 (1) (2)× (3) - 2 -提示：(2)当a1>0 且q>1 时an为递增数列，故(2)错2等比数列an中，a13，q2，则a4_，an_.24 3×2n1 a4a1q33×2324，ana1qn13×2n1.3在等比数列an中，a54，a76，则a9_.【导学号：91432203】9 因为a7a5q2，所以q2 .3 2所以a9a5q4a5(q2)24× 9.9 44在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a11的值为_2525 因为a7a12a8a11a9a105，所以a8a9a10a1125.合合 作作 探探 究究··攻攻 重重 难难灵活设项求解等比数列已知 4 个数成等比数列，其乘积为 1，第 2 项与第 3 项之和为 ，则此 4 个数为3 2_8 8，2 2， 或 ，2,82,8 设此 4 个数为a，aq，aq2，aq3.1 1 2 21 1 8 81 1 8 81 1 2 2则a4q61，aq(1q) ，3 2所以a2q3±1，当a2q31 时，q>0，代入式化简可得q2q10，此方程无解；1 4当a2q31 时，q0，a2a42a3a5a4a625，求a3a5；(3)若an>0，a5a69，求 log3a1log3a2log3a10的值思路探究：利用等比数列的性质，若mnpq，则am·anap·aq求解解 (1)等比数列an中，因为a2a4 ，所以aa1a5a2a4 ，所以a1a a5 .1 22 31 22 31 4(2)由等比中项，化简条件得a2a3a5a25，即(a3a5)225，2 32 5an>0，a3a55.(3)由等比数列的性质知a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)log39510.规律方法 有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用.跟踪训练跟踪训练2(1)已知数列an为等比数列，a33，a1127，求a7.- 4 -(2)已知an为等比数列，a2·a836，a3a715，求公比q.【导学号：91432205】解 (1)法一：Error!相除得q89.所以q43，所以a7a3·q49.法二：因为aa3a1181，所以a7±9，2 7又a7a3q43q4>0，所以a79.(2)因为a2·a836a3·a7，而a3a715，所以a33，a712 或a312，a73.所以q44 或 ，所以q±或q±.a7 a31 4222由递推公式转化为等比数列求通项探究问题探究问题1如果数列an满足a11，an12an1，(nN N*)，你能判断出an是等差数列，还是等比数列吗？提示：由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列an既不是等差数列，也不是等比数列2在探究 1 中，若将an12an1 两边都加 1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？提示：在an12an1 两边都加 1 得an112(an1)，显然数列an1是以a112 为首项，以q2 为公比的等比数列3在探究 1 中，若将an12an1 改为an13an5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？提示：设将an13an5 变形为an1x3(anx)将该式整理为an13an2x与an13an5 对比可知 2x5，即x ；所以在an13an5 两边都加 ，可构造出等比数列5 25 2.利用等比数列求出an 即可求出an.an5 25 2已知Sn是数列an的前n项和，且Sn2ann4.(1)求a1的值(2)若bnan1，试证明数列bn为等比数列思路探究：(1)由n1 代入Sn2ann4 求得；(2)先由Sn2ann4，利用Sn和an的关系得an的递推关系，然后构造出数列an1利用定义证明解 (1)因为Sn2ann4，所以当n1 时，S12a114，解得a13.- 5 -(2)证明：因为Sn2ann4，所以当n2 时，Sn12an1(n1)4，SnSn1(2ann4)(2an1n5)，即an2an11，所以an12(an11)，又bnan1，所以bn2bn1，且b1a1120，所以数列bn是以b12 为首项，2 为公比的等比数列母题探究：1.将本例条件“Sn2ann4”改为“a11，Sn14an2” ， “bnan1”改为“bnan12an” ，试证明数列bn是等比数列，并求bn的通项公式证明 an2Sn2Sn14an124an24an14an.bn1 bnan22an1 an12an2.4an14an2an1 an12an2an14an an12an所以数列bn是公比为 2 的等比数列，首项为a22a1.因为S2a1a24a12，所以a25，所以b1a22a13.所以bn3·2n1.2将本例条件“Sn2ann4”改为“a11，a2aanan1” ，试证明数列an是2n12n等比数列，并求an的通项公式解 由已知得aanan12a0，所以(an12an)(an1an)0.2n12n所以an12an0 或an1an0，(1)当an12an0 时，2.又a11，an1 an所以数列an是首项为 1，公比为 2 的等比数列所以an2n1.(2)当an1an0 时，1，又a11，所以数列an是首项为 1，公比为1 的等an1 an比数列，所以an1×(1)n1(1)n1.综上：an2n1或(1)n1.规律方法 1已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解2由递推关系an1AanB(A，B为常数，且A0，A1)求an时，由待定系数法设- 6 -an1A(an)可得，这样就构造了等比数列anB A1当当 堂堂 达达 标标··固固 双双 基基1在等比数列an中，a24，a7，则a3a6a4a5的值是( )1 16A1 B2 C. D.1 21 4C C a3a6a4a5a2a74× ，1 161 4a3a6a4a5 .1 22在正项等比数列an中，3a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )1 2a2 016a2 017 a2 014a2 015【导学号：91432206】A3 或1 B9 或 1 C1 D9D D 由 3a1，a3,2a2成等差数列可得a33a12a2，即a1q23a12a1q，1 2a10，q22q30.解得q3 或q1(舍)q29.a2 016a2 017 a2 014a2 015a2 0161q a2 0141qa2 016 a2 0143已知数列：4，a,12，b中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则b等于( )A20 B18 C16 D14B B 由题意可得 2a41216a8，又 1228bb18.4在 和 8 之间插入 3 个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这 3 个数的积为1 2_8 8 设插入的 3 个数依次为a，b，c，即 ，a，b，c,8 成等比数列，由等比数列的性质可1 2得b2ac ×84，因为a2b>0，b2(舍负)所以这 3 个数的积为abc4×28.1 21 25已知数列an为等比数列，(1)若a1a2a321，a1a2a3216，求an；(2)若a3a518，a4a872，求公比q.【导学号：91432207】解 (1)a1a2a3a216，a26，a1a336.3 2又a1a321a215，- 7 -a1，a3是方程x215x360 的两根 3 和 12.当a13 时，q2，an3·2n1；a2 a1当a112 时，q ，an12·n1.1 2(1 2)(2)a4a8a3q·a5q3a3a5q418q472，q44，q±.2