2019高中数学 第二章2.4 平面向量的数量积 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案4.doc

12.4.22.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标：1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算(重点)2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示(易混点)自 主 预 习·探 新 知1平面向量数量积的坐标表示：设向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a a与b b的夹角为.数量积a a·b bx1x2y1y2向量垂直a ab bx1x2y1y202.向量模的公式：设a a(x1，y1)，则|a a|.x2 1y2 13两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB.x2x12y2y124向量的夹角公式：设两非零向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a a与b b 夹角为，则cos .a a·b b |a a|b b|x1x2y1y2x2 1y2 1x2 2y2 2基础自测1思考辨析(1)两个非零向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，满足x1y2x2y10，则向量a a，b b的夹角为 0°.( )(2)已知a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a ab bx1x2y1y20.( )(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角( )解析 (1)×.因为当x1y2x2y10 时，向量a a，b b的夹角也可能为 180°.(2)×.a ab bx1x2y1y20.(3)×.因为两向量的夹角有可能为 180°.答案 (1)× (2)× (3)×2已知a a(2，1)，b b(2,3)，则a·ba·b_，|a ab b|_.1 2 a a·b b2×2(1)×31，a ab b(4,2)，|a ab b|2.5422253已知向量a a(1,3)，b b(2，m)，若a ab b，则m_.因为a ab b，所以a a·b b1×(2)3m0，2 3解得m .2 34已知a a(3,4)，b b(5,12)，则a a与b b夹角的余弦值为_因为a a·b b3×54×1263，|a a|5，|b b|13，63 653242521222所以a a与b b夹角的余弦值为.a a··b b |a a|b b|63 5 × 1363 65合 作 探 究·攻 重 难平面向量数量积的坐标运算(1)如图 2­4­4，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在2边CD上，若·，则·的值是_ABAF2AEBF图 2­4­4(2)已知a a与b b同向，b b(1,2)，a·ba·b10.求a a的坐标；若c c(2，1)，求a a(b b·c c)及(a·ba·b)c c.思路探究 (1)建系求有关点、向 量的坐标求数量积(2) 先由a ab b设点a a坐标，再由a·ba·b10 求.依据运算顺序和数量积的坐标公式求值(1 1) (1)以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角2 2坐标系，则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)222可设F(x,2)，因为·(，0)·(x,2)x，ABAF222所以x1，所以·(，1)·(1，2).AEBF222(2)设a ab b(，2)(0)，则有a·ba·b410，2，a a(2,4)b·cb·c1×22×10，a·ba·b10，a a(b·cb·c)0a a0，(a·ba·b)c c10(2，1)(20，10)规律方法 数量积运算的途径及注意点1进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.32对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.跟踪训练1(1)设向量a a(1，2)，向量b b(3,4)，向量c c(3,2)，则向量(a a2b b)·c c( )A(15,12) B0C3D11(2)已知a a(2 2，1 1)，b b(3,23,2)，若存在向量c c，满足a·ca·c2 2，b·cb·c5 5，则向量c c_.(1 1)C C (2) (1)依题意可知，a a2b b(1，2)2(3,4)(5,6)，(9 7，4 7)(a a2b b)·c c(5,6)·(3,2)5×36×23.(2)设c c(x，y)，因为a·ca·c2 2，b·cb·c5，所以Error!解得Error!所以c c.(9 7，4 7)向量模的坐标表示(1)设平面向量a a(1,21,2)，b b(2，y)，若abab，则|2a|2ab|b|等于( )A4 B5C3D455(2)若向量a a的始点为A(2,4)，终点为B(2,1)，求：向量a a的模；与a a平行的单位向量的坐标；与a a垂直的单位向量的坐标. 【导学号：84352253】思路探究 综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解(1 1)D D (1)由y40 知y4，b b(2，4)，2a ab b(4,8)，|2a ab b|4.故选 D.5(2)a a(2,1)(2,4)(4，3)，AB|a a|5.4232与a a平行的单位向量是±± (4，3)，a a |a a|1 54即坐标为或.(4 5，3 5) (4 5，3 5)设与a a垂直的单位向量为e e(m，n)，则a·ea·e4m3n0， .m n3 4又|e e|1，m2n21.解得Error!或Error!e e或e e.(3 5，4 5)(3 5，4 5)规律方法 求向量的模的两种基本策略1字母表示下的运算：利用|a a|2a a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.2坐标表示下的运算：若a ax，y，则a·aa·aa a2|a a|2x2y2，于是有|a a|.x2y2跟踪训练2若向量a a(2x1,3x)，b b(1x,2x1)，则|a ab b|的最小值为_由已知得a ab b(3x2,43x)，2所以|a ab b|3x2243x2，18x236x2018x122当x1 时，|a ab b|取最小值为.2向量的夹角与垂直问题探究问题1设a a，b b都是非零向量，a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，是a a与b b的夹角，那么 cos 如何用坐标表示？提示：cos .a a·b b |a a|b b|x1x2y1y2x2 1y2 1·x2 2y2 22已知向量a a(1,2)，向量b b(x，2)，且a a(a ab b)，则实数x等于？提示：由已知得a ab b(1x,4)a a(a ab b)，a a·(a ab b)0.a a(1,2)，1x80，x9.(1)已知向量a a(2,1)，b b(1，k)，且a a与b b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是( )A(2，) B(2，1 2) (1 2，)C(，2)D(2,2)(2)已知在ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，求|AD5与点D的坐标. 【导学号：84352254】思路探究 (1)可利用a a，b b的夹角为锐角Error!求解(2)设出点D的坐标，利用与共线，列方程组求解点D的坐标BDBCADBC(1 1)B B (1)当a a与b b共线时，2k10，k ，此时a a，b b方向相同，夹角为 0°，所1 2以要使a a与b b的夹角为锐角，则有a·b>0a·b>0且a a，b b不同向由a·ba·b2k>0 得k>2，且k ，即实数k的取值范围是，选 B.1 2(2，1 2) (1 2，)(2)设点D的坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，ADBC(x3，y2)BDD在直线BC上，即与共线，BDBC存在实数，使，BDBC即(x3，y2)(6，3)，Error!x32(y2)，即x2y10.又ADBC，·0，ADBC即(x2，y1)·(6，3)0，6(x2)3(y1)0，即 2xy30.由可得Error!即D点坐标为(1,1)，(1,2)，AD|，AD12225综上，|，D(1,1)AD5母题探究：1.将例 3(1)中的条件“a a(2,1)”改为“a a(2,1)” “锐角”改为“钝角” ，求实数k的取值范围解 当a a与b b共线时，2k10，k ，1 2此时a a与b b方向相反，夹角为 180°，所以要使a a与b b的夹角为钝角，则有a a·b b06且a a与b b不反向由a·ba·b2k0 得k2.由a a与b b不反向得k ，1 2所以k的取值范围是.(，1 2) (1 2，2)2将例 3(1)中的条件“锐角”改为“” ，求k的值 4解 cos， 4a a··b b |a a|b b|2k5· 1k2即，整理得 3k28k30，222k5· 1k2解得k 或 3.1 3规律方法 1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积(2)求模利用|a|a|计算两向量的模x2y2(3)求夹角余弦值由公式 cos 求夹角余弦值x1x2y1y2x2 1y2 1·x2 2y2 2(4)求角由向量夹角的范围及 cos 求的值2涉及非零向量a a，b b垂直问题时，一般借助ababa·ba·bx1x2y1y20 来解决当 堂 达 标·固 双 基1设向量a a(1,0)，b b，则下列结论中正确的是( ) (1 2，1 2)【导学号：84352255】A|a a|b b| Ba·ba·b22Ca ab bDa ab b与b b垂直D D A 项，|a a|1，|b b|，故|a a|b b|；B 项，a a·b b1× 0× ；C 项，221 21 21 21× 0× ；D 项，a ab b，(a ab b)·b b × × 0，故选 D.1 21 2(1 2，1 2)1 21 21 21 22已知a a(3，1)，b b(1，2)，则a a与b b的夹角为( )A B 6 4C D 3 2B B a a·b b3×1(1)×(2)5，|a a|，|b b|3212107，12225设a a与b b的夹角为，则 cos .又 0，.a a·b b |a a|·|b b|510· 522 43设a a(2,4)，b b(1,1)，若b b(a amb b)，则实数m_. 【导学号：84352256】3 a amb b(2m,4m)，b b(a amb b)，(2m)×1(4m)×10，得m3.4已知平面向量a a(2,4)，b b(1,2)，若c ca a(a a·b b)·b b，则|c c|_.8 易得a·ba·b2×(1)4×26，2所以c c(2,4)6(1,2)(8，8)，所以|c c|8.828225平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图 2­4­5)已知点A(16,12)，B(5,15)图 2­4­5(1)求|，|；OAAB(2)求OAB. 【导学号：84352257】解 (1)由(16,12)，OA(516,1512)(21,3)，AB得|20，OA162122|15.AB212322(2)cosOABcos， AOAB.AO·AB|AO|AB|其中··AOABOAAB8(16,12)·(21,3)16×(21)12×3300，故 cosOAB，30020 × 15 222OAB45°.