备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题42 点、线、面的位置关系.doc

1专题专题 4242 点、线、面的位置关系点、线、面的位置关系【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】平面的基本性质、点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型多为选择题或填空题，关于平行关系、垂直关系的证明，多是解答题的一问平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角、线面角、二面角和距离是高考热点，因此，要加强基本判定定理、性质定理的理解与记忆.本专题通过例题说明点、直线、平面之间的位置关系问题求解方法,为解答更为复杂的问题提供坚实基础.（一）直线与直线位置关系：1、线线平行的判定（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线交线和该直线平行（3）面面平行性质：2、线线垂直的判定 （1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直直线与平面位置关系：（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直（二）直线与平面的位置关系1、线面平行判定定理：（1）若平面外的一条直线平面外的一条直线l与平面上的一条直线平行，则l（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行2、线面垂直的判定：（1）若直线l与平面上的两条相交相交直线垂直，则l（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直（三）平面与平面的位置关系1、平面与平面平行的判定：（1）如果一个平面上的两条相交相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行（2）平行于同一个平面的两个平面平行2、平面与平面垂直的判定如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直2（四）利用空间向量判断线面位置关系1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量平面：法向量2、向量关系与线面关系的转化：设直线, a b对应的法向量为, a b ，平面, 对应的法向量为,m n （其中, a b在, 外）（1）aba b（2）abab（3）aa m（4）aam（5）mn（6）mn3、有关向量关系的结论（1）若,ab bc ，则ac 平行+平行平行（2）若,ab bc ，则ac平行+垂直垂直（3）若,ab bc ，则, a c 的位置关系不定.4、如何用向量判断位置关系命题真假（1）条件中的线面关系翻译成向量关系（2）确定由条件能否得到结论（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假【经典例题经典例题】例 1.【2017 课标 1，文 6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（ ）A B3C D【答案】A【解析】例 2.【2019 届浙江省嘉兴市第一中学高三 9 月测试】设是两条不同的直线， 时一个平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若则 B. 若则C. 若则 D. 若则【答案】C【解析】对于 A，若还可以相交或异面，故 A 是错误的；对于 B. 若，可以是平行的，故 B 是错误的；对于 C. 若则，显然 C 是正确的；对于 D. 若则，显然 D 是错误的.故选：C.例 3.【2019 届河北省邢台市高三上第二次月考】已知直线l 平面，直线/ /m平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则/ /lm B. 若lm，则/ /C. 若/ /l，则m D. 若/ /，则lm【答案】D【解析】对于 A，若，直线l 平面，直线/ /m平面，则l与m可能平行、相交、异面，故不4正确；对于 B，若lm，直线l 平面，直线/ /m平面，则与可能平行也可能相交，故 B 不正确；对于 C, 若/ /l, m与的位置不确定，故 C 不正确；对于 D，若/ / ，直线l 平面，则直线l 平面，又因直线/ /m平面，则lm正确；故选 D.例 4.【2019 届云南省昆明市 5 月检测】在正方体中，分别是的中点，则（ ）A. B. C. 平面 D. 平面【答案】D平行的一条直线，证其垂直于平面.故分别取的中点 P、Q，连接 PM、QN、PQ.可得四边形为平行四边形.进而可得.正方体中易得，由直线与平面垂直的判定定理可得平面.进而可得平面.详解：对于选项 A，因为分别是的中点，所以点平面，点 平面，所以直线 MN 是平面的交线，又因为直线在平面内，故直线 MN 与直线不可能平行，故选项 A 错；对于选项 B，正方体中易知 ，因为点是的中点，所以直线 与直线不垂直.故选项 B 不对；对于选项 C ,假设平面，可得.因为是的中点，所以 .这与矛盾.故假设不成立.所以选项 C 不对；对于选项 D,分别取的中点 P、Q，连接 PM、QN、PQ.因为点是的中点，所以且.同理且.5故选 D.点睛：在立体图形中判断直线与直线、直线与平面的位置关系，应熟练掌握直线与直线平行、垂直的判定定理、性质定理，直线与平面平行、垂直的判定定理、性质定理.注意直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直之间的互相推导.要判断选项错误，可用反证法得到矛盾.例 5.【2017 课标 3，文 10】在正方体1111ABCDABC D中，E为棱CD的中点，则（ ）A11AEDCB1AEBDC11AEBCD1AEAC【答案】C【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若11AEDC，那么11D EDC，很显然不成立；B.若1AEBD，那么BDAE，显然不成立；C.若11AEBC，那么11BCBC，成立，反过来11BCBC时，也能推出11BCAE,所以 C 成立，D.若1AEAC，则AEAC，显然不成立，故选 C.例 6.【2019 届安徽省六安市毛坦厂中学四月月考】已知是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说6法：若，则；若，则；若，则；若，则.其中说法正确的个数为（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】分析：若，则，或或与 相交且与 不垂直.故选 C.例 7 【2019 届福建省三明市 5 月测试】如图，已知正方体的棱长为 2，则以下四个命题中错误的是A. 直线与为异面直线 B. 平面C. D. 三棱锥的体积为【答案】D【解析】分析：在 A 中，由异面直线判定定理得直线 A1C1与 AD1为异面直线；在 B 中，由 A1C1AC，得A1C1平面 ACD1；在 C 中，由 ACBD，ACDD1，得 AC面 BDD1，从而 BD1AC；在 D 中，三棱锥 D1ADC的体积为 7在 D 中，三棱锥 D1ADC 的体积：= ，故 D 错误故选：D例 8. 【2019 届广西钦州市第三次检测】如图，在四棱柱中，平面， 为棱上一动点，过直线的平面分别与棱，交于点 ， ，则下列结论正确的是_对于任意的点 ，都有对于任意的点 ，四边形不可能为平行四边形存在点 ，使得为等腰直角三角形存在点 ，使得直线平面【答案】【解析】分析：根据面面平行的性质判断 A，B，使用假设法判断 C，D详解：（1）ABCD，AA1DD1，平面 ABB1A1平面 CDD1C1，平面 APQR平面 ABB1A1=AP，平面 APQR平面 CDD1C1=RQ，APQR，故 A 正确8例 9.【2017 山东，文 18】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,（）证明：1AO平面B1CD1;（）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1. 【答案】证明见解析.证明见解析.【解析】试题分析：（）取11B D中点F,证明1/ /AOCF,（）证明11B D 面1AEM.9(II)因为 ACBD,E，M分别为AD和OD的中点,所以EMBD, 因为ABCD为正方形,所以AOBD,又 1AE 平面ABCD,BD 平面ABCD所以1,AEBD因为11/ /,B DBD所以11111,EMB D AEB D又1,AE EM 平面1AEM，1AEEME.所以11B D 平面1,AEM又11B D 平面11BCD,所以平面1AEM 平面11BCD.10点睛：证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行例 10.【2017 北京，文 18】如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点（）求证：PABD；（）求证：平面BDE平面PAC；（）当PA平面BDE 时，求三棱锥EBCD的体积【答案】详见解析【解析】11由（I）知，PA 平面PAC，所以DE 平面PAC.所以三棱锥EBCD的体积11 63VBD DC DE.点睛：线线，线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直，或是根据面面垂直，平面内的线垂直于交线，则垂直于另一个平面,这两种途径都可以证明线面垂直.【精选精练精选精练】1.如图， 是正方体的棱上的一点（不与端点重合） ，平面，则（ ）A. B. C. D. 12【答案】D【解析】2 【2019 届河南省南阳市第一中学第十五次考】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的个数（ ）若则 ； 若 ，则；若 ，则 ； 若，则.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】分析：根据直线与平面的位置关系的判定和性质，即可判定命题的真假.详解：对于中，若，则或，所以不正确；对于中，若，则，又由，所以是正确；对于中，若，则或 与 相交，所以不正确；对于中，若，则，又由，所以是正确的，综上正确命题的个数为 2 个，故选 B.3.【2019 届东北三省三校（哈尔滨师范大学附属中学）三模】已知互不相同的直线， 和平面 ， ，则下列命题正确的是（ ）A. 若与为异面直线，则；B. 若，则；C. 若，则；D. 若，则【答案】C134 【2019 届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】已知互不相同的直线和平面,则下列命题正确的是( ）A. 若与为异面直线,则 B. 若.则C. 若, 则 D. 若.则【答案】C.【解析】分析：对于 ，可利用面面平行的判定定理进行判断；对于 ，可利用线面平行的判定定理进行判断；对于 ，可利用面面垂直的性质进行判断. 详解：若与为异面直线，则 与 平行或相交， 错，排除 ；若，则与平行或异面， 错，排除 ；若，则或相交， 错，排除 ，故选 C.5.【2019 届广东省湛江市二模】下列命题正确的是：三点确定一个平面；两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面.A. B. C. D. 【答案】C14如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，该说法正确.综上可得：命题正确的是： .本题选择 C 选项.6.【2019 届河北省武邑中学一模】已知平面，直线，且有，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则，其中正确命题个数有（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】分析：利用线面平行、垂直的判定定理与性质定理进行判断即可.详解：有 l，m，给出下列命题：若 ，l，又 m，则 lm，正确；若 lm，m，则 ，正确；若 ，则 lm 或异面直线，不正确；若 lm，则 或相交，因此不正确其中，正确命题个数为 2故选：B7.【2016 高考新课标 2 理数】 , 是两个平面，,m n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果, / /mn mn，那么.（2）如果, / /mn，那么mn.（3）如果/ / ,m，那么/ /m.（4）如果/ / ,/ /mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）15【答案】【解析】8.如图，在正方体中，过对角线的一个平面交于点 ，交于 .四边形一定是平行四边形；四边形有可能是正方形；四边形在底面内的投影一定是正方形；四边形有可能垂直于平面以上结论正确的为_ （写出所有正确结论的编号）【答案】【解析】分析：由题意结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果.详解：如图所示：由于平面 BCB1C1平面 ADA1D1，并且 B、E、F、D1，四点共面，故 ED1BF，同理可证，FD1EB，故四边形 BFD1E 一定是平行四边形，故正确；169 【2019 届江苏省南京市三模】已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，有如下四个命题：若，则； 若，则； 若，则； 若，则其中真命题为_（填所有真命题的序号） 【答案】【解析】分析：，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误详解：对于，当 l，l 时，根据线面垂直的性质和面面平行的定义知 ，正确；对于，l， 时，有 l 或 l，错误；对于，l，l 时，根据线面平行的性质与面面垂直的定义知 ，正确；对于，l， 时，有 l 或 l 或 l 或 l 与 相交，错误综上，以上真命题为故答案为：10.【2017 江苏，15】 如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD, BCBD, 平面ABD平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证：（1）EF平面ABC； （2）ADAC.【答案】 （1）见解析（2）见解析17【解析】证明：（1）在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，所以EF平面ABC. 11. 如图，已知菱形的边长为 ，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面平面【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）由题意知， 为的中点， 为的中点， 又 平面，平面， 平面（2）由题意结合勾股定理可得由菱形的性质可得；结合线面垂直的判断定理可得平面，则平面平面详解：（1）由题意知， 为的中点， 为的中点， 又 平面，平面， 平面18（2）由题意知， ，点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题12 【2019 年山东省烟台市春季高考一模】如图，在四棱锥中，平面，（1）求证：平面； （2）求证：平面平面；（3）设点 为的中点，点 为中点，求证平面 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【解析】分析：（1）由题意得，利用线面垂直的判定定理，即可得到面（2）由题意，又面，得，证得平面，利用面面垂直的判定定理，即19（2），又面，面，又， ，又面，面面（3）在中， 为中点， 为中点，又 面，面， 面