（东营专版）2019年中考数学复习 专题类型突破 专题四 几何变换综合题训练.doc

1专题四专题四 几何变换综合题几何变换综合题类型类型一一 涉及一个动点的几何问题涉及一个动点的几何问题(2018·2018·长春中考)如图，在 RtABC 中，C90°，A30°，AB4，动点 P 从点 A 出发，沿AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动过点 P 作 PDAC 于点 D(点 P 不与点 A，B 重合)，作DPQ60°，边 PQ 交射线 DC 于点 Q.设点P 的运动时间为 t 秒(1)用含 t 的代数式表示线段 DC 的长；(2)当点 Q 与点 C 重合时，求 t 的值；(3)设PDQ 与ABC 重叠部分图形的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式；(4)当线段 PQ 的垂直平分线经过ABC 一边中点时，直接写出 t 的值【分析】 (1)先求出 AC，用三角函数求出 AD，即可得出结论；(2)利用 ADDQAC，即可得出结论；(3)分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；(4)分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论【自主解答】 1 1(2018·2018·江西中考)在菱形 ABCD 中，ABC60°，点 P 是射线 BD 上一动点，以 AP 为边向右侧作等边2APE，点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化(1)如图 1，当点 E 在菱形 ABCD 内部或边上时，连接 CE，BP 与 CE 的数量关系是_，CE 与 AD 的位置关系是_；(2)当点 E 在菱形 ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图 2，图 3 中的一种情况予以证明或说理)；(3)如图 4，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，连接 BE，若 AB2，BE2，求四边形 ADPE 的面319积类型类型二二 涉及两个动点的几何问题涉及两个动点的几何问题(2018·2018·青岛中考)已知：如图，四边形 ABCD，ABDC，CBAB，AB 16 cm，BC6 cm，CD8 3cm，动点 P 从点 D 开始沿 DA 边匀速运动，动点 Q 从点 A 开始沿 AB 边匀速运动，它们的运动速度均为 2 cm/s.点 P 和点 Q 同时出发，以 QA，QP 为边作平行四边形 AQPE，设运动的时间为 t(s)，0t5.根据题意解答下列问题：(1)用含 t 的代数式表示 AP；(2)设四边形 CPQB 的面积为 S(cm2)，求 S 与 t 的函数关系式；(3)当 QPBD 时，求 t 的值；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点 E 在ABD 的平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由【分析】 (1)作 DHAB 于点 H，则四边形 DHBC 是矩形，利用勾股定理求出 AD 的长即可解决问题；(2)作 PNAB 于 N，连接 PB，根据 SSPQBSBCP计算即可；(3)当 QPBD 时，PQNDBA90°，QPNPQN90°，推出QPNDBA，由此利用三角函数即可解决问题；(4)连接 BE 交 DH 于点 K，作 KMBD 于点 M.当 BE 平分ABD 时，KBHKBM，推出 KHKM.作 EFAB于点 F，则AEFQPN，推出 EFPN，AFQN，由 KHEF 可得，由此构建方程即可解决问题KH EFBH BF【自主解答】 42 2(2018·2018·黄冈中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴正半轴上，点 B，C 在第一象限，C120°，边长 OA8.点 M 从原点 O 出发沿 x 轴正半轴以每秒 1 个单位长的速度作匀速运动，点 N 从 A 出发沿边 ABBCCO 以每秒 2 个单位长的速度作匀速运动，过点 M 作直线 MP 垂直于 x 轴并交折线 OCB 于 P，交对角线 OB 于 Q，点 M 和点 N 同时出发，分别沿各自路线运动，点 N 运动到原点 O时，M 和 N 两点同时停止运动(1)当 t2 时，求线段 PQ 的长；(2)求 t 为何值时，点 P 与 N 重合；(3)设APN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围类型类型三三 图形的平移变换图形的平移变换(2017·2017·扬州中考)如图，将ABC 沿着射线 BC 方向平移至ABC，使点 A落在ACB 的外角平分线 CD 上，连接 AA.(1)判断四边形 ACCA的形状，并说明理由；(2)在ABC 中，B90°，AB24，cosBAC，求 CB的长12 135【分析】 (1)根据平行四边形的判定定理(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)知四边形ACCA是平行四边形再根据对角线平分对角的平行四边形是菱形知四边形 ACCA是菱形(2)通过解直角ABC 得到 AC，BC 的长度，由(1)中菱形 ACCA的性质推知 ACAA，由平移的性质得四边形 ABBA是平行四边形，则 AABB，所以 CBBBBC.【自主解答】 平移变换命题的呈现形式主要有：(1)坐标系中的点、函数图象的平移问题；(2)涉及基本图形平移的几何问题；(3)利用平移变换作为工具解题其解题思路：(1)特殊点法：解题的关键是学会运用转化的思想，如坐标系中图象的平移问题，一般是通过图象上一个关键(特殊)点的平移来研究整个图象的平移；(2)集中条件法：通过平移变换添加辅助线，集中条件，使问题获得解决；(3)综合法：已知条件中涉及基本图形的平移或要求利用平移作图的问题时，要注意找准对应点，看清对应边，注意变换性质的理解和运用3 3(2018·2018·安徽中考)如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为 M，N，MN1.正方形 ABCD 的边长为，对角线 AC 在直线l上，且点 C 位于点 M 处将正方形 ABCD 沿l向右平移，直到点 A 与点 N 重合2为止记点 C 平移的距离为 x，正方形 ABCD 的边位于l1，l2之间部分的长度和为 y，则 y关于 x 的函数图象大致为( )64 4如图，在平面直角坐标系中，AOB 的顶点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为(4，0)，点 B 的坐标为(0，1)，点 C 为边 AB 的中点，正方形 OBDE 的顶点 E 在 x 轴的正半轴上，连接 CO，CD，CE.(1)线段 OC 的长为_；(2)求证：CBDCOE；(3)将正方形 OBDE 沿 x 轴正方向平移得到正方形 O1B1D1E1，其中点 O，B，D，E 的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接 CD1，CE1，设点 E1的坐标为(a，0)，其中 a2，CD1E1的面积为 S.当 1a2 时，请直接写出 S 与 a 之间的函数解析式；在平移过程中，当 S 时，请直接写出 a 的值1 47类型类型四四 图形的旋转变换图形的旋转变换(2017·2017·潍坊中考)边长为 6 的等边ABC 中，点 D，E 分别在 AC，BC 边上，DEAB，EC2.3(1)如图 1，将DEC 沿射线 EC 方向平移，得到DEC，边 DE与 AC 的交点为 M，边 CD与ACC的角平分线交于点 N.当 CC多大时，四边形 MCND为菱形？并说明理由(2)如图 2，将 DEC 绕点 C 旋转(0°AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由14(3)深入探究：如图 3，小明在(2)的基础上，又作了进一步探究，向ABC 的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE.其他条件不变，试判断GMN 的形状，并给予证明【分析】 (1)利用 SAS 判断出AEBACD，得出 EBCD，AEBACD，进而判断出 EBCD，最后用三角形中位线定理即可得出结论；(2)同(1)的方法即可得出结论；(3)同(1)的方法得出 MGNG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论【自主解答】 8 8(2018·2018·日照中考)问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半即：如图 1，在 RtABC 中，ACB90°，ABC30°，则 AC AB.1 2探究结论：小明同学对以上结论作了进一步探究(1)如图 1，连接 AB 边上中线 CE，由于 CE AB，易得结论：ACE 为等边三角形；BE 与 CE 之间的1 215数量关系为_；(2)如图 2，点 D 是边 CB 上任意一点，连接 AD，作等边ADE，且点 E 在ACB 的内部，连接 BE.试探究线段 BE 与 DE 之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明；(3)当点 D 为边 CB 延长线上任意一点时，在(2)条件的基础上，线段 BE 与 DE 之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论_；拓展应用：如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(，1)，点 B 是 x 轴正半轴上的一动点，3以 AB 为边作等边ABC.当 C 点在第一象限内，且 B(2，0)时，求 C 点的坐标16参考答案类型一【例 1 1】 (1)在 RtABC 中，A30°，AB4，AC2.3PDAC，ADPCDP90°.在 RtADP 中，AP2t，DPt，ADt，CDACAD2t(0t2)333(2)在 RtPDQ 中，DPQ60°，PQD30°A，PAPQ.PDAC，ADDQ.点 Q 和点 C 重合，ADDQAC，2t2，t1.33(3)当 0t1 时，SSPDQ DQ·DP ×t·tt2.1 21 2332如图，当 1t2 时，CQAQAC2ADAC2t22(t1)33317在 RtCEQ 中，CQE30°，CECQ·tanCQE2(t1)×2(t1)，333SSPDQSECQ ×t·t ×2(t1)×2(t1)t24t2，1 231 2333233S32t2（0 < t 1），332t243t23（1 < t < 2）.)(4)如图，当 PQ 的垂直平分线过 AB 的中点 F 时，PGF90°，PG PQ1 2APt，AF AB2.1 21 2AAQP30°，FPG60°，PFG30°，PF2PG2t，APPF2t2t2，t .1 2如图，当 PQ 的垂直平分线过 AC 的中点 N 时，QMN90°，AN AC，1 23QM PQ APt.1 21 2在 RtNMQ 中，NQt.MQ cos 30°233ANNQAQ，t2t，32333t .3 4如图，当 PQ 的垂直平分线过 BC 的中点 F 时，18BF BC1，PE PQt，H30°.1 21 2ABC60°，BFH30°H，BHBF1.在 RtPEH 中，PH2PE2t.AHAPPHABBH，2t2t5，t .5 4即当线段 PQ 的垂直平分线经过ABC 一边中点时，t 的值为 或 或 .1 23 45 4变式训练1解：(1)BPCE CEAD提示：如图，连接 AC.四边形 ABCD 是菱形，ABC60°，ABC，ACD 都是等边三角形，ABDCBD30°，ABAC.又APE 是等边三角形，APAE，BACPAE60°，BAPCAE，BAPCAE，BPCE，ABPACE30°.延长 CE 交 AD 于点 H.CAH60°，CAHACH90°，AHC90°，即 CEAD.(2)结论仍然成立理由：如图，连接 AC 交 BD 于点 O，设 CE 交 AD 于点 H.19四边形 ABCD 是菱形，ABC60°，ABC，ACD 都是等边三角形，ABDCBD30°，ABAC.APE 是等边三角形，APAE，BACPAE60°，BAPCAE，BAPCAE，BPCE，ABPACE30°.CAH60°，CAHACH90°，AHC90°，即 CEAD.也可选用图 3 进行证明，方法同上(3)如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 CE 交 AD 于点 H，由(2)可知 ECAD，CEBP.在菱形 ABCD 中，ADBC，ECBC.BCAB2，BE2，319在 RtBCE 中，EC8，（219）2（23）2BPCE8.AC 与 BD 是菱形的对角线，ABD ABC30°，ACBD，1 2BD2BO2AB·cos 30°6，OA AB，DPBPBD862，1 2320OPODDP5.在 RtAOP 中，AP2，AO2OP27S四边形 ADPESADPSAEP ×2××(2)28.1 233473类型二【例 2 2】 (1)如图，作 DHAB 于点 H，则四边形 DHBC 是矩形，CDBH8，DHBC6.AHABBH8，AD10，DH2AH2APADDP102t.(2)如图，作 PNAB 于点 N，连接 PB.在 RtAPN 中，PA102t，PNPA·sinDAH (102t)，3 5ANPA·cosDAH (102t)，4 5BN16AN16 (102t)，4 5SSPQBSBCP ·(162t)· (102t) ×6×16 (102t) t2t72.1 23 51 24 56 554 5(3)当 QPBD 时，PQNDBA90°.QPNPQN90°，QPNDBA，tanQPN ，QN PN3 4 ，4 5（102t）2t 3 5（102t）3 4解得 t.35 27经检验，t是分式方程的解，且符合题意，35 27当 t时，QPBD.35 27(4)存在理由如下：如图，连接 BE 交 DH 于点 K，作 KMBD 于点 M.当 BE 平分ABD 时，KBHKBM，KHKM，BHBM8.21BD10，CD2BC2DM2.设 KHKMx，在 RtDKM 中，(6x)222x2，解得 x .8 3如图，作 EFAB 于点 F，则AEFQPN，EFPN (102t)，AFQN (102t)2t.3 54 5BF16 (102t)2t4 5KHEF，KH EFBH BF，8 3 3 5（102t）81645（102t）2t解得 t.25 18经检验，t是分式方程的解，且符合题意，25 18当 t时，点 E 在ABD 的平分线上25 18变式训练2解：(1)当 t2 时，OM2，在 RtOPM 中，POM60°，PMOM·tan 60°2.3在 RtOMQ 中，QOM30°，QMOM·tan 30°，233PQPMQM2.3233433(2)当 t4 时，ANPO2OM2t，22t4 时，P 到达 C 点，N 到达 B 点，点 P，N 在边 BC 上相遇设 t 秒时，点 P 与 N 重合，则(t4)2(t4)8，解得 t，即 t秒时，点 P 与 N 重合20 320 3(3)当 0t4 时，S ·2t·44t.1 233当 4<t时，S ×8(t4)(2t8)×420 31 23406t.33当<t8 时，S ×(t4)(2t8)8×420 31 236t40.33当 8<t12 时，SS菱形 ABCOSAONSABPSCPN32 ·(242t)·4 ·8(t4)·4 (t4)··(2t16)31 231 231 232t212t56.3233综上所述，S 与 t 的函数关系式为S43t（0 < t 4），40363t（4 < t 20 3），63t403（203< t 8），32t2123t563（8 < t 12）.)类型三【例 3 3】 (1)四边形 ACCA是菱形理由如下：由平移的性质得到 ACAC，且 ACAC，则四边形 ACCA是平行四边形，ACCAAC.又CD 平分ACB 的外角，即 CD 平分ACC，易证 CD 也平分AAC，四边形 ACCA是菱形(2)在ABC 中，B90°，AB24，cosBAC，12 13cosBAC，即，AC26，AB AC12 1324 AC12 13由勾股定理知 BC10.AC2AB226224223又由(1)知，四边形 ACCA是菱形，ACAA26.由平移的性质得到 ABAB，ABAB，则四边形 ABBA是平行四边形，AABB26，CBBBBC261016.变式训练3A4解：(1)172(2)AOB90°，点 C 是 AB 的中点，OCBC AB，CBOCOB.1 2四边形 OBDE 是正方形，BDOE，DBOEOB90°，CBDCOE.在CBD 和COE中， CBCO， CBDCOE， BDOE，)CBDCOE(SAS)(3)S a1. a 或 .1 23 25 2类型四【例 4 4】 (1)当 CC时，四边形 MCND为菱形3理由：由平移的性质得 CDCD，DEDE.ABC 为等边三角形，BACB60°，ACC180°60°120°.CN 是ACC的角平分线，NCC60°.ABDE，DEDE，ABDE，DECB60°，DECNCC，DECN，四边形 MCND为平行四边形MECMCE60°，NCCNCC60°，24MCE和NCC为等边三角形，MCCE，NCCC.又EC2，CC，CECC，333MCCN，四边形 MCND为菱形(2)ADBE.理由：当 180°时，由旋转的性质得ACDBCE.由(1)知 ACBC，CDCE，ACDBCE，ADBE.当 180°时，ADACCD，BEBCCE，即 ADBE.综上可知，ADBE.如图，连接 CP，在ACP 中，由三角形三边关系得AP<ACCP，当 A，C，P 三点共线时 AP 最大此时，APACCP.在DCE中，由 P 为 DE中点得 APDE，PD，3CP3，AP639.在 RtAPD中，由勾股定理得AD2.AP2PD292（3）221变式训练5(1)解：菱形(2)证明：点 F 是 CC的中点，CFFC.FGAF，四边形 ACGC是平行四边形在 RtABC 和 RtACD 中，BACACB90°，ACBDAC，BACDAC90°.又B，A，D 三点在同一条直线上，CAC90°，四边形 ACGC是矩形25ACAC，四边形 ACGC是正方形(3)解：在 RtABC 和 RtBCD 中，BCBD2.42223RtABCRtBCD，DBCBAC90°，BHA90°，BCAC.在 RtABC 中，AC·BHBC·AB，即 4BH2×2，3BH，CHBCBH4.33在 RtABH 中，AH1，AB2BH222（3）2CH413，tanCCH，CH CH433tanCCH 的值为.433类型五【例 5 5】 (1)折叠纸片使 B 点落在边 AD 上的 E 处，折痕为 PQ，点 B 与点 E 关于 PQ 对称，PBPE，BFEF，BPFEPF.又EFAB，BPFEFP，EPF EFP，EPEF，BPBFFEEP，四边形 BFEP 为菱形(2)如图 1，图 1四边形 ABCD 为矩形，BCAD5 cm，CDAB3 cm，AD90°.点 B 与点 E 关于 PQ 对称，CEBC5 cm.26在 RtCDE 中，DE2CE2CD2，即 DE25232，DE4 cm，AEADDE541(cm)在 RtAPE 中，AE1，AP3PB3PE，EP212(3EP)2，解得 EP cm，5 3菱形 BFEP 的边长为 cm.5 3图 2当点 Q 与点 C 重合时，如图 1，点 E 离 A 点最近，由知，此时 AE1 cm.当点 P 与点 A 重合时，如图 2，点 E 离 A 点最远，此时四边形 ABQE 为正方形，AEAB3 cm，点 E 在边 AD 上移动的最大距离为 2 cm.变式训练6(1)证明：根据折叠的性质知DBCDBE.又ADBC，DBCADB，DBEADB，DFBF，BDF 是等腰三角形(2)解：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，FDBG.又DGBE，四边形 BFDG 是平行四边形DFBF，四边形 BFDG 是菱形AB6，AD8，BD10，OB BD5.1 2假设 DFBFx，则 AFADDF8x，在 RtABF 中，AB2AF2BF2，即 62(8x)2x2，解得 x，即 BF，25 425 4FO，BF2OB2(25 4)25215 427FG2FO.15 2类型六【例 6 6】 (1)如图，过点 A 作 APEF，交 CD 于点 P，过点 B 作 BQGH，交 AD 于点 Q，交 AP 于点 T.四边形 ABCD 是矩形，ABDC，ADBC，四边形 AEFP 和四边形 BHGQ 都是平行四边形，APEF，GHBQ.GHEF，APBQ，QATAQT90°.四边形 ABCD 是矩形，DABD90°，DAPDPA90°，AQTDPA，PDAQAB，.AP BQAD BAEF GHAD AB(2).11 15提示：EFGH，AMBN，由(1)结论可得，EF GHAD ABBN AMAD AB.BN AMEF GH11 15(3)如图，过 D 作 AB 的平行线，交 BC 的延长线于 E，作 AFAB 交 ED 延长线于点 F.BAFBE90°，四边形 ABEF 是矩形连接 AC，由已知条件得ADCABC，ADCABC90°，1290°.又2390°，13，ADFDCE，28 .DE AFDC AD5 101 2设 DEx，则 AF2x，DF10x.在 RtADF 中，AF2DF2AD2，即(2x)2(10x)2100，解得 x14，x20(舍去)，AF2x8， .DN AMAF AB8 104 5变式训练7(1)证明：EHAB，BAC90°，EHCA，BHEBAC，.BE BCHE AC，DC BEAC BCBE BCDC AC，HEDC.HE ACDC ACEHDC，四边形 DHEC 是平行四边形证明：，BAC90°，ACAB.AC BC22，HEDC，.DC BE22HE BE22BHE90°，BHHE.HEDC，BHCD，AHAD.DMAE，EHAB，EHAAMF90°，HAEHEAHAEAFM90°，HEAAFD.EHAFAD90°，HEAAFD，AEDF.(2)解：如图，过点 E 作 EGAB 于点 G.CAAB，EGCA，EGBCAB，29， .EG CABE BCEG BECA BC3 5 ，EGCD.CD BE3 5设 EGCD3x，AC3y，BE5x，BC5y，BG4x，AB4y.EGAAMF90°，GEAEAGEAGAFM，AFMAEG.FADEGA90°，FADEGA， .DF AEAD AG3y3x 4y4x3 4类型七【例 7 7】 (1)MGNG MGNG提示：如图，连接 EB，DC，EB，DC 交于点 F.AEAC，ABAD，EACBAD90°，EABCAD，AEBACD，EBCD，AEBACD.AHEFHC，EFCEAC90°，EBCD.M，N，G 分别是 BD，CE，BC 的中点，NGEB，且 NG EB，MGCD，且 MG CD，1 21 2MGNG，MGNG.(2)成立理由：类似于(1)的证明方法，可以得出ADCABE，从而得出 EBCD，再利用三角形中位线定理可证明结论还成立(3)GMN 是等腰直角三角形证明：如图，连接 EB，DC，并分别延长交于点 F.30AEAC，ABAD，EABCAD，AEBACD，EBCD，AEBACD，AEBACF180°.又EAC90°，F90°，EBCD.M，N，G 分别是 BD，CE，BC 的中点，NGEB，且 NG EB，1 2MGCD，且 MG CD，1 2MGNG，MGNG，GMN 是等腰直角三角形变式训练8解：(1)BECE(2)BEDE.证明如下：如图，取 AB 的中点 P，连接 EP.由(1)结论可知CPA 为等边三角形，CAP60°，CAPA.ADE 为等边三角形，DAE60°，ADAE，CAPDAE，CAPDABDAEDAB，CADPAE，ACDAPE(SAS)，APEACD90°，EPAB.P 为 AB 的中点，AEBE.DEAE，BEDE.31(3)BEDE拓展应用：如图，连接 OA，OC，过点 A 作 AHx 轴于点 H.A 的坐标为(，1)，3AOH30°.由探究结论(3)可知 COCB.O(0，0)，B(2，0)，点 C 的横坐标为 1.设 C(1，m)CO2CB212m2，AB212(2)2，ABCB，312m212(2)2，m2，33C 点的坐标是(1，2)3