（京津专用）2019高考数学总复习 优编增分练：中档大题规范练（四）立体几何与空间向量 理.doc

1( (四四) )立体几何与空间向量立体几何与空间向量1(2018·四川成都市第七中学诊断)在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，ABDC，ABAD1，CD2，ACEC.5(1)求证：平面EBC平面EBD；(2)设M为线段EC上一点，3，求二面角MBDE的平面角的余弦值EMEC(1)证明 由AD1，CD2，AC，5得AD2CD2AC2，ADC为直角三角形，且ADDC，同理EDC为直角三角形，且EDDC.又四边形ADEF是正方形，ADDE.又ABDC，DAAB.在梯形ABCD中，过点B作BHCD于点H，故四边形ABHD是正方形在BCH中，BHCH1，BCH45°，BC，2BDC45°，DBC90°，BCBD.EDAD，EDDC，ADDCD，AD，DC平面ABCD，ED平面ABCD，又BC平面ABCD，EDBC，又BDEDD，BD，ED平面EBD，BC平面EBD，又BC平面EBC，平面EBC平面EBD.2(2)解 由(1)可得DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,2,0)令M(0，y0，z0)，则(0，y0，z01)，(0,2，1)，EMEC3，EMEC(0,3y0,3z03)(0,2，1)，点M的坐标为.(0，2 3，2 3)BC平面EBD，(1,1,0)是平面EBD的一个法向量BC设平面MBD的法向量为m m(x，y，z)(1,1,0)，DBDM(0，2 3，2 3)则Error!即Error!可得xyz.令y1，得m m(1，1,1)cosm m， .BCm m·BC|m m|BC|23 ×263由图形知二面角MBDE为锐角，二面角MBDE的平面角的余弦值为.632(2018·安徽省合肥市第一中学模拟)底面OABC为正方形的四棱锥POABC，且PO底面OABC，过OA的平面与侧面PBC的交线为DE，且满足SPDESPBC14.3(1)证明：PA平面OBD；(2)当S3S时，求二面角BOEC的余弦值2四边形OABC2POB(1)证明 由题意知四边形OABC为正方形，OABC，又BC平面PBC，OA平面PBC，OA平面PBC，又OA平面OAED，平面OAED平面PBCDE，DEOA，又OABC，DEBC.由PDEPCB，且SPDESPBC14，知E，D分别为PB，PC的中点连接AC交OB于点F，则点F为AC的中点，连接DF.DFPA，DF平面OBD，PA平面OBD，PA平面OBD.(2)解 底面OABC为正方形，且PO底面OABC，PO，OA，OC两两垂直，以O为坐标原点，OA，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设OAOC2a，OP2b，则O(0,0,0)，C(0,2a,0)，B(2a,2a,0)，F(a，a,0)，P(0,0,2b)，E(a，a，b)PO平面OABC，CF平面OABC，CFPO.四边形OABC为正方形，CFOB，4又POOBO，PO，OB平面POB，CF平面POB，即CF平面OBE，平面OBE的一个法向量为(a，a,0)CF设平面OEC的一个法向量为m m(x，y，z)，而(0,2a,0)，(a，a，b)OCOE由Error!得Error!取za可得，m m(b,0，a)为平面OCE的一个法向量设二面角BOEC的大小为，由图易得为锐角，由S3S，得POOA，2四边形OABC2POB63 .b a63故 cos ，|CF·m m|CF|m m|aba2a2·a2b255二面角BOEC的余弦值为.553(2018·宁夏回族自治区银川一中模拟)如图，已知DEF与ABC分别是边长为 1 与 2 的正三角形，ACDF，四边形BCDE为直角梯形，且DEBC，BCCD，点G为ABC的重心，N为AB的中点，AG平面BCDE，M为线段AF上靠近点F的三等分点(1)求证：GM平面DFN；(2)若二面角MBCD的余弦值为，试求异面直线MN与CD所成角的余弦值74(1)证明 在ABC中，连接AG并延长交BC于点O，连接ON，OF.5因为点G为ABC的重心，所以 ，且O为BC的中点AG AO2 3又，AM2 3AF所以 ，AG AOAM AF2 3所以GMOF.因为点N为AB的中点，所以NOAC.又ACDF，所以NODF，所以O，D，F，N四点共面，又OF平面DFN，GM平面DFN，所以GM平面DFN.(2)解 由题意知，AG平面BCDE，因为AG平面ABC，所以平面ABC平面BCDE，又BCCD，平面ABC平面BCDEBC，CD平面BCDE，所以CD平面ABC.又四边形BCDE为直角梯形，BC2，DE1，所以OECD，所以OE平面ABC.因为ACDF，DEBC，ACBCC，DEDFD，AC，BC平面ABC，DE，DF平面DEF，所以平面ABC平面DEF，又DEF与ABC分别是边长为 1 与 2 的正三角形，6故以O为坐标原点，OC，OE，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设CDm，则C(1,0,0)，D(1，m,0)，A(0，0，)，F，3(1 2，m，32)B(1,0,0)，N，(1 2，0，32)因为，AM2 3AF所以M，(2,0,0)，(1 3，2m 3，2 33)BC，BM(4 3，2m 3，2 33)设平面MBC的一个法向量为n n(x，y，z)，由Error!得Error!令zm，得n n(0， ，m)3又平面BCD的法向量为v v(0,0,1)由题意得|cosv v，n n|，|v v·n n| |v v|n n|m3m274解得m，213又，MN(5 6，2m 3，36)CD(0，m，0)所以|cos， | MNCD|MN·CD|MN|CD| .mm2742 77所以异面直线MN与CD所成角的余弦值为.2 774(2018·益阳统考)如图，在三棱锥PABC中，PA，AB，AC两两垂直，PAABAC，平面平面PAB，且与棱PC，AC，BC分别交于P1，A1，B1三点7(1)过A作直线l，使得lBC，lP1A1，请写出作法并加以证明；(2)若11 1pA B CP ABCVV，D为线段B1C的中点，求直线P1D与平面PA1B1所成角的正弦值8 27解 (1)作法：取BC的中点H，连接AH，则直线AH即为要求作的直线l.证明如下：PAAB，PAAC，且ABACA，AB，AC平面ABC，PA平面ABC.平面平面PAB，且平面PACP1A1，平面PAB平面PACPA，P1A1PA，P1A1平面ABC，P1A1AH.又ABAC，H为BC的中点，则AHBC，从而直线AH即为要求作的直线l.(2)11 1pA B CP ABCVV，8 27又平面平面PAB， .A1C ACB1C BCP1C PC2 3以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，8设AB3，则A1(0,1,0)，B1(2,1,0)，P(0，0,3)，P1(0,1,2)，D(1,2,0)，则(2,0,0)，(0,1，3)，(1,1，2)，A1B1PA1P1D设平面PA1B1的法向量为n n(x，y，z)，则Error!即Error!令z1，得n n(0,3,1)则 cos，n n.P1D16 ×101530故直线P1D与平面PA1B1所成角的正弦值为.15305(2018·江西省重点中学协作体联考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，ABAC2，AD2，PB，PBAC.22(1)求证：平面PAB平面PAC；(2)若PBA45°，试判断棱PA上是否存在与点P，A不重合的点E，使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由69AE AP(1)证明 因为四边形ABCD是平行四边形，AD2，2所以BCAD2，2又ABAC2，所以AB2AC2BC2，所以ACAB，又PBAC，ABPBB，AB，PB平面PAB，所以AC平面PAB.9又因为AC平面PAC，所以平面PAB平面PAC.(2)解 由(1)知ACAB，AC平面PAB，分别以AB，AC所在直线为x轴，y轴，平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，(0,2,0)， (2,2,0)，ACBC由PBA45°，PB，可得P(1,0,1)，2所以(1,0,1)，(1,0,1)，APBP假设棱PA上存在点E，使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为，69设(0<<1)，AE AP则(，0，)，(，2，)，AEAPCEAEAC设平面PBC的法向量n n(x，y，z)，则Error!即Error!令z1，可得xy1，所以平面PBC的一个法向量n n (1,1,1)，设直线CE与平面PBC所成的角为，则sin |cosn n， | CE|2|3·2222，|22|3· 22469解得 或 (舍)1 27 4所以在棱PA上存在点E，且 ，AE AP1 210使得直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为.69