费马点与费马定理(刁老师).doc

费马点与费马定理(刁老师)费马点与费马定理（刁老师）一选择题（共1小题）1如图示，若ABC内一点P满足PAC=PBA=PCB,则点P为ABC的布洛卡点三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（ALCrelle 17801855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard 18451922)重新发现，并用他的名字命名问题：已知在等腰直角三角形DEF中，EDF=90°，若点Q为DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=(）A5B4CD二填空题（共1小题）2已知点P是ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫ABC的费马点(Fermat point）已经证明：在三个内角均小于120°的ABC中，当APB=APC=BPC=120°时，P就是ABC的费马点若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF= 三解答题（共5小题）3如图P是ABC所在平面上一点如果APB=BPC=CPA=120°，则点P就叫做费马点(1）当ABC是等边三角形时，作尺规法作出ABC费马点（不要求写出作法，只要保留作图痕迹）（2)已知：ABC是等腰直角三角形，C=90°，AC=BC=四边形CDPE是正方形，CD在AC上,CE在BC上,P是ABC的费马点求：P点到AB的距离(3）已知：锐角ABC，分别以AB，AC为边向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P点求CPD的度数;求证：P点为ABC的费马点4如图1，P是锐角ABC所在平面上一点如果APB=BPC=CPA=120°，则点P就叫做ABC费马点（1）当ABC是边长为4的等边三角形时,费马点P到BC边的距离为 （2)若点P是ABC的费马点，ABC=60°,PA=2，PC=3，则PB的值为 （3）如图2,在锐角ABC外侧作等边ACB，连接BB求证：BB过ABC的费马点P5如图（1），P为ABC所在平面上一点，且APB=BPC=CPA=120°，则点P叫做ABC的费马点（1）如点P为锐角ABC的费马点且ABC=60°,PA=3,PC=4,求PB的长(2）如图(2），在锐角ABC外侧作等边ACB连结BB求证：BB过ABC的费马点P,且BB=PA+PB+PC(3）已知锐角ABC，ACB=60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD,BCE，ACF，请找出ABC的费马点，并探究SABC与SABD的和，SBCE与SACF的和是否相等6探究问题:（1）阅读理解:如图（A），在已知ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为ABC的费马距离;如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有ABCD+BCDA=ACBD此为托勒密定理;（2）知识迁移：请你利用托勒密定理,解决如下问题：如图（C），已知点P为等边ABC外接圆的上任意一点求证：PB+PC=PA；根据（2）的结论，我们有如下探寻ABC（其中A、B、C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D)，在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆；第二步：在上任取一点P,连接PA、PB、PC、PD易知PA+PB+PC=PA+（PB+PC)=PA+ ；第三步：请你根据（1）中定义，在图(D）中找出ABC的费马点P，并请指出线段 的长度即为ABC的费马距离(3)知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水已知三村庄A、B、C构成了如图(E）所示的ABC（其中A、B、C均小于120°)，现选取一点P打水井,使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值第5页（共5页）