（浙江专用）2019高考数学二轮复习 专题二 立体几何 规范答题示例4 空间角的计算问题学案.doc

1规范答题示例规范答题示例 4 4 空间角的计算问题空间角的计算问题典例 4 (15 分)(2017·浙江)如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E为PD的中点(1)证明：CE平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值审题路线图方法一 (1)取PA的中点为F，连接EF，FB证明四边形BCEF为平行四边形CEBFCE 平面PAB规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板方法一 (1)证明 如图，设PA的中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，PA中点，所以EFAD且EFAD，1 2又因为BCAD，BCAD，1 2所以EFBC且EFBC，所以四边形BCEF为平行四边形，所以CEBF.4 分因为BF平面PAB，CE平面PAB，因此CE平面PAB.6 分(2)解 分别取BC，AD的中点为M，N，连接PN交EF于点Q，连接第一步找平行：通过三角形中位线，找出线线平行进而得到线面平行第二步找夹角：通过作辅助线及线线、线面及面面之间的关系找到夹角第三步找关系：由图形找出各线段之间的长度关系，进而求得夹角的2MQ.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF的中点，在平行四边形BCEF中，MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中点得BNAD，又PNBNN，PN，BN平面PBN，所以AD平面PBN.9 分由BCAD得BC平面PBN，又BC平面PBC，那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH.MH是MQ在平面PBC上的投影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.12 分设CD1.在PCD中，由PC2，CD1，PD得CE，22在PBN中，由PNBN1，PB得QH ，31 4在 RtMQH中，QH ，MQ，1 42所以 sinQMH，28所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.15 分28正弦值.第四步得结论：得到所求夹角的正弦值.审题路线图方法二 (1)取AD中点为O，连接OB，OPAD 平面OPB以O为原点建立空间直角坐标系，求各点的坐标求平面PAB的法向量n n和CE的坐标CE·n n0得出结论(2)求平面PBC的法向量m m利用sin |cosCE，m m|求线面角的正弦值3规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板方法二 (1)证明 设AD的中点为O，连接OB，OP.PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，OPAD.BCADOD，且BCOD，1 2四边形BCDO为平行四边形，又CDAD，OBAD，OPOBO，OP，OB平面OPB，AD平面OPB.2 分过点O在平面POB内作OB的垂线OM，交PB于M，以O为原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图.4 分设CD1，则有A(0，1,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)设P(x,0，z)(z>0)，由PC2，OP1，得Error!解得x ，z.1 232即P，E为PD的中点，(1 2，0，32)E.(1 4，1 2，34)设平面PAB的法向量为n n(x1，y1，z1)，(1,1,0)，AP(1 2，1，32)ABError!即Error!解得Error!令y1，得n n(1，1，).7 分3而，·n n0，CE(5 4，1 2，34)CE又CE平面PAB，CE平面PAB.10 分(2)解 设平面PBC的法向量为m m(x2，y2，z2)，(0,1,0)，BCBP(3 2，0，32)第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出点坐标第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量.第四步求夹角：计算向量的夹角第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.4Error!即Error!令x21，得m m(1,0，).13 分3设直线CE与平面PBC所成的角为，则 sin |cos，m m|.CE|CE·m m|CE|m m|28故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.15 分28评分细则 (1)方法一第(1)问中证明CE平面PAB缺少条件扣 1 分，第(2)问中证明PNAD和BNAD各给 1 分(2)方法二中建系给 2 分，两个法向量求出 1 个给 3 分，没有最后结论扣 1 分，法向量取其他形式同样给分跟踪演练 4 (2018·全国)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值(1)证明 由已知可得BFPF，BFEF，PFEFF，PF，EF平面PEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)解 方法一 如图，作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系HFBFHxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.35又PF1，EF2，所以PEPF.所以PH，EH .323 2则H(0,0,0)，P，D，(0，0，32)(1，3 2，0)，.DP(1，3 2，32)HP(0，0，32)又为平面ABFD的法向量，HP设DP与平面ABFD所成的角为，则 sin .|HP·DP|HP|DP|3 4334所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.34方法二 过点P作PHEF，垂足为H，连接DH.由(1)可得PH平面ABFD，所以PDH即为DP与平面ABFD所成的角设PD2a，则PHa，所以 sinPDH，32PH DP34即 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为.34