备战高考数学优质试卷分项版第02期专题07圆锥曲线文.doc

1 / 29【2019【2019 最新最新】精选备战高考数学优质试卷分项版第精选备战高考数学优质试卷分项版第 0202 期专题期专题 0707 圆锥圆锥曲线文曲线文一、选择题一、选择题1 【2018 黑龙江佳木斯一中调研】在等腰梯形中， ， ， ， ，以、为顶点的椭圆经过、两点，则此椭圆的离心率为（ ）ABCD/ /ABCDtan2ABC6AB 2CD A BCDA. B. C. D. 2 252 21 26 2【答案】A， 221 344 2CA 221 342 5CB 椭圆是以为顶点，且经过两点AB、CD、，即； ，即24 22 5aCACB2 25a 26cAB3c 32 252 25c a故选 A2 【2018 湖北八校联考】如图，已知椭圆的中心为原点, 为的左焦点， 为上一点，满足且，则椭圆的方程为（ ）C O5,0F CPCOPOF6PF CA. B. 22 13616xy22 14015xyC. D. 22 14924xy22 14520xy【答案】C2 / 293 【2018 湖南五市十校联考】设点是双曲线与圆在第一象限的交点， 分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（ ）P222210,0xyabab2222xyab12,F F123PFPFA. B. C. D. 5 210 2510【答案】B【解析】点到原点的距离为，又因为在中， ，所以是直角三角形，即.由双曲线定义知，又因为，所以.在中，由勾股定理得，解得.P22POabc12PFFA1222FFcPO12PFFA1290FPF 122PFPFa123PFPF123 ,PFa PFa12Rt PFFA 22232aac10 2c a故选 A. 4 【2018 黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知抛物线： 的焦点为， 是上一点，且，则（ ）C28xy F00A xy，C02AFy0x A. B. C. D. 2244【答案】D点睛：首先将抛物线化为标准方程，求得焦点和准线，利用抛物线的几何意义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求得点的值，代回抛物线方程求得的值。要求学生对抛物线的几何意义熟悉掌握。A0y0x5 【2018 黑龙江齐齐哈尔八中二模】椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，若，那么的面积为（ ）222124xyaa12,F FP1260FPF12PFF3 / 29A. B. C. D. 2 3 33 3 23 3 44 3 3【答案】D【解析】如图，设有12,PFm PFn 1 222222222211660,2223 14 360.23PF FamncmnccosmnmnmnSmnsin本题选择 D 选项.点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到a，c 的关系6 【2018 衡水联考】过双曲线的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点） ，则双曲线（， ）的标准方程为（ ）22221(0,0)xyabab,0F c3 2yxM4 3OMFSO22221xy ab0a 0b A. B. C. D. 22 143xy22 186xy22 11612xy22 13224xy【答案】C7 【2018 河南中原名校质检】已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为， 为抛物线上的一点，且满足，则点到的距离为（ ）24yxFxMN3 2NFMNFMNA. B. 1 C. D. 21 23【答案】B4 / 29【点睛】解决有关抛物线的问题，注意抛物线的定义得利用，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。8 【2018 华大新高考质检】已知抛物线，点是抛物线异于原点的动点，连接并延长交抛物线于点，连接并分别延长交拋物线于点，连接，若直线的斜率存在且分别为，则（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】C【解析】设，则直线的方程为代入抛物线，整理得，所以,即，从而,故，同理可得，因为三点共线，所以，从而.所以，.所以.故选 C. 5 / 299 【2018 黑龙江齐齐哈尔一模】已知双曲线的右顶点为，以为圆心，半径为的圆与双曲线的某条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】双曲线的离心率的取值范围为点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10 【2018 黑龙江齐齐哈尔一模】若抛物线上的点到其焦点的距离为 5，则（ ）24xy,P m nn A. B. C. 3 D. 419 49 2【答案】D【解析】抛物线的准线方程为24xyy1 根据抛物线定义可知：5=n+1,即 n=4故选：D11 【2018 宁夏银川二模联考】已知双曲线（）的离心率为，则的值为（ 6 / 29）222211xy aa0a 2aA. B. C. D. 1 22 21 33 3【答案】B【解析】因为，所以，解得，故选 B.2222112caaa 2 212ea2 2a 12 【2018 江西宜春六校联考】已知椭圆的左顶点和上顶点分别为、 ，左、右焦点分别是， ，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率的平方为（ ）22221(0)xyababA B1F2FABP12PFPFA. B. C. D. 3 231 235 235 2【答案】D【解析】解:根据题意,作图如下:,令,则,由得: ,于是,整理得: ,又,7 / 29,又椭圆的离心率,.13 【2018 江西宜春六校联考】已知， ， 是圆上不同三点，它们到直线： 的距离分别为， ， ，若， ， 成等比数列，则公比的最大值为（ ） 222 12,PF PFcxycxyxyc 2 22ayaycb 2 22afyyaycb '22aafyyaybb8 / 29 '0fy 222a byab222abxab 2222 2 1222220aba bPF PFcabab 22 2 22a bcab222bac2 2 2cea42310ee 235 2e0,1e235 2ePQR222150xyxl390xy1x2x3x1x2x3xA. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C14 【2018 陕西两校联考】已知双曲线离心率为，则其渐近线与圆的位置关系是（ ）222210,0xyabab22221 4xayaA. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定【答案】C【解析】因为一条渐近线方程为，又离心率为，所以，所以渐近线方程为，由知圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故选 C.0aybx2c aab0yx2221 4xaya,0a1 2a21 222aad 15 【2018 广西南宁联考】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）9 / 29A. B. C. D. 【答案】C16 【2018 云南昆明一中联考】设为坐标原点， 是以为焦点的抛物线（）上任意一点， 是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）OPF22ypx0p MPF2PMMFOMA. B. C. D. 12 22 33 3【答案】A【解析】由题意可得，设，则，可得当且仅当时取得等号，选 A.,02pF2 0 00,(0)2yPyyp2 001112,3333633yypOMOFFMOFFPOFOPOFOPOFp 2 000001123 222632kypypyp pypp y 002yp py点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、填空题二、填空题17 【2018 黑龙江齐齐哈尔一中调研】过抛物线的焦点的直线交抛物线于， 两点，分别过， 点作抛物线的切线， ，则与的交点的横坐标为_24yxlA B A B1l2l1l2l10 / 29【答案】1直线与抛物线相切1l2 111116440kyk y ，即的方程为；同理可得的方程为1 12ky1l112 2yyxy2l222 2yyxy联立、的方程可得交点的坐标为1l2l1212,42y yyy 设直线的方程为，与抛物线联立方程可得AB1xmy2440ymy124yy 与的交点横坐标为1l2l1故答案为1点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么，“定值”是什么，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.18 【2018 湖南五校联考】圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为_【答案】点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；11 / 29（）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小19 【2018 河南中原名校联考】已知点在椭圆上， 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为，并且为线段的中点，则点的轨迹方程是_.M22 1369xyMPPMPPP【答案】2236xy【解析】设 P（x，y） ，则 M（x， ） 点 M 在椭圆上，2y22 1369xy22 13636xy即 P 点的轨迹方程为 x2+y2=36故填.2236xy20 【2018 辽宁鞍山一中二模】双曲线与抛物线有相同的焦点，且相交于两点， 连线经过焦点，则双曲线的离心率为_222210,0xyabab220ypx pF,A BABF【答案】12【解析】 由为公共焦点，可知，即，F2pc 2pc因为抛物线与双曲线都关于轴对称，所以两点关于轴对称，x,A Bx所以直线的方程为，ABxc代入双曲线的方程，可得，即，2bya 22 ,bbA cB caa因为在抛物线上，所以，,A B4 2 24bca又，所以，即，222bca222caac2210ee 解得或（舍去）.12e 12e 12 / 29点睛：本题主要考查了圆锥曲线的几何性质的求解，其中解答中涉及到双曲线的几何性质、抛物线的标准方程及其几何性质的应用，着重考查了学生的推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，解答中熟记圆锥曲线的几何性质及的关系式是解答的关键., ,a b c21 【2018 湖南株洲两校联考】已知直线交抛物线于 E 和 F 两点，以 EF 为直径的圆 x 轴截得的弦长为，则 k =_ .10ykxk24xy2 7【答案】1.点睛：此题考查直线和圆的位置关系，多数情况下是考虑数形结合的方法，通过圆心到直线的距离等于半径，和垂径定理来构造方程。在直线和圆的位置关系中，善于发现直线过的定点，和圆当中的垂直关系，善于发现图形特点是非常重要的。三、解答题三、解答题22 【2018 黑龙江佳木斯一中调研】椭圆中心在原点，焦点在轴上， 、分别为上、下焦点，椭圆的离心率为， 为椭圆上一点且Ey1F2F1 2P 120PFPFKK（1）若的面积为，求椭圆的标准方程；12PFF3E（2）若的延长线与椭圆另一交点为，以为直径的圆过点， 为椭圆上动点，求的范围1PFE APA6 3,05MN12NF NF 【答案】 （1） （2）22 143yx128,12NF NF 试题解析：（1）由椭圆的对称性可知， 为椭圆的左、右顶点，可设，P,0P b13 / 29解得2223, 1, 2 ,bc c a abc2,3, 1,ab c 22 143yx（2）椭圆的离心率为， ，则， ， ，1 2222abc224ac223bc2222143yx cc以为直径的圆过点，PA6 3,05M6 3 5Ax 又的延长线与椭圆另一交点为，则、 、三点共线，1PFE A A3 ,0Pc10,Fc，6 33 ,5Ac ccy6 33 ,5Ac ccy， ，6 5Ayc6 3 5Ax 又在椭圆中，则代入椭圆方程有， ， ，A254120cc2c 22 11612yx设椭圆上动点，则， ，00,N xy2 20 016 12xy2 00,12x ， ， 120000,2, 2NF NFxyxy 2 220 004123xxy 2 00,12x128,12NF NF 点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；14 / 29利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.23 【2018 湖北八校联考】已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为2:2(0)C ypx p2,PtF5 2（1）若，过点, 的直线与抛物线相交于另一点，求的值；1,02MMP1lQQF PF（2）若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点， 为坐标原点， ，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由2lC,A B22:1Mxay,D EOOAOBaDEa【答案】 （1） ；（2）时， ， 的长为定值1 42a 2DE DE，与抛物线方程联立，运用韦达定理得， ，由，得，将， 代入可得的值，利用直线截圆所得弦长公式得，故当时满足题意.22,B xy12yy12y yOAOB12120tymtymy y12yy12y ym22 222 11aDEt2a 试题解析：（1）点，解得，2,Pt5222p1p 故抛物线的方程为： ，当时， ，C22yx2x 15 / 29的方程为，联立可得， ，1l42 55yx22yx1 8Qx 又， ， 1 2QQFx1 2PPFx11 182 1422QFPF （2）设直线的方程为，代入抛物线方程可得，ABxtym2220ytym设 ，则， ，11,A x y22,B xy122yyt122y ym 由得： ，OAOB12120tymtymy y整理得，22 121210ty ytm yym将代入解得，直线，2m :2l xty圆心到直线 l 的距离， 221ad t 22 222 11aDEt显然当时， ， 的长为定值2a 2DE DE点睛：本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，难度中档；抛物线上点的特征，抛物线上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等，即为，两直线垂直即可转化为斜率也可转化为数量积为 0，直线与圆相交截得的弦长的一半，圆的半径以及圆心到直线的距离可构成直角三角形.02px 24 【2018 黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知椭圆： （）的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于， 两点，且，直线： 与椭圆交于， 两点.C22221xy ab0ab2 2x1lCA B2AB 2lyk xm3 4mR m，CMN（1）求椭圆的标准方程；C（2）已知点，若是一个与无关的常数，求实数的值.504R，·RM RN km16 / 29【答案】 （1） ；（2）12 212xy试题解析：（1）联立解得，故2222 1xcxy ab，2bya 222b a又， ，联立三式，解得， ， ，2 2cea222abc2a 1b 1c 故椭圆的标准方程为.C2 212xy（2）设， ，联立方程消元得，11M xy，22N xy， 2 21 2xyyk xm，22222124220kxmk xk m24222222164 12228 21m kkk mkm k ， ，21224 12mkxxk2212222 12m kx xk又是一个与无关的常数，即，RM RN k23524mm 23520mm， .，.11m 22 3m 3 4m 1m 当时， ，直线与椭圆交于两点，满足题意.1m 0 2lC25 【2018 黑龙江齐齐哈尔八中二模】以边长为的正三角形的顶点为坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，过抛物线的焦点的直线过交拋物线于两点.8 3OABO2:20E xpy pEFlE,P Q（1）求抛物线的方程；E（2）求证： 为定值；OP OQ （3）求线段的中点的轨迹方程.PQ17 / 29【答案】 （1） ；（2）证明见解析；（3）24xy2112yx(3) 设线段的中点为，则 消去参数可得中点的轨迹方程为.PQ,M x y,2 ,2PQPQxxxyyy2112yx试题解析：（1）因为正三角形和抛物线都是轴对称图形，且三角形的一个顶点扣抛物线的顶点重合，所以，三角形的顶点关于轴对称，如图所示.,A By由可得，23 , 2,yxxpy22 3,2 3Axpx xp，.8 32 2 3ABp2p 抛物线的方程为.E24xy（2）易知抛物线： 的焦点，设直线，并设点.E24xy0,1F:1l ykx,PPQQP xyQ xy由可得， 21, 4 ,ykx xy 2440xkx4 , 4.PQPQxxk x x ，22114411PQPQy ykxkxkk ， .,PPQQOPxyOQ xy 4 13PQPQOP OQx xy y （3）设线段的中点为，PQ,M x y则 2=2 ,2 1121,22PQPQPQxxxkyykxkxyk 消去得线段的中点为的轨迹方程为.kPQ,M x y2112yx26 【2018 河南中原名校联考】设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知，其中为原18 / 29点， 为椭圆的离心率.2221(3)3xyaaFA1OAOFOe（1）求椭圆的方程及离心率的值；e（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上） ，垂直于的直线与交于点，与轴交于点.若，且，求直线的斜率的取值范围.AlB Bxl lMyHBFHFMOAMAO l【答案】 （1）椭圆的方程为. ;（2）22 143xy1 2cea 66,44 圆方程联立消去，得，因为 2 与点 B 的横坐标是此方程的两个根，用根于系数的关系得，代入直线的方程从而得. 由，得，设，求两向量的坐标。由（1）知，得向量坐标， . 所以，解得.因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，由直线的斜截式得直线的方程为.联立直线的方程与直线的方程，设，可解得点 M的横坐标，在中，由大边对大角得，由两点间的距离公式得，化简得，即，解不等式可得，或.y2222431616120kxk xk2286 43Bkxkl212 43BkykBFHF0BF FH 0,HHy1,0F1,HFHy 2229412,43 43kkBFkk 222124904343Hkyk kk294 12HkykMHlMH1 kMH2194 12kyxkk l2yk xMH2194 12kyxkk ,MMM xy22209 121MkxkMAOMOAMAOMAMO 22222MMMMxyxy19 / 291Mx222091121k k6 4k 6 4k 试题解析：解：（1）设， ， ， ,0F c1ac1ac 2212acc 又， ， ， ，222abc312c 1c 2a 所以，因此.21c 24a 所以，椭圆的方程为. .22 143xy1 2cea（2）解：设直线的斜率为，则直线的方程为，设，l0k k l2yk x,BBB xy由方程组，消去，得， 22 1 43 2xyyk xy2222431616120kxk xk解得，或，由题意得，从而.2x 2286 43kxk2286 43Bkxk212 43Bkyk由（1）知， ，设，有， .1,0F0,HHy1,HFHy 2229412,43 43kkBFkk 由，得，所以，解得.因此直线的方程为.BFHF0BF FH 222124904343Hkyk kk294 12HkykMH2194 12kyxkk 设，由方程组，消去，解得，在中， ，即，化简得，即，解得，或.,MMM xy22 194 12yk xkyxkk y22209 121MkxkMAOMOAMAOMAMO 22222MMMMxyxy1Mx222091121k k6 4k 6 4k 所以，直线的斜率的取值范围为.l 66,44 【点睛】1、求椭圆的方程就是求的值，从条件中找的关系，注意的运用；2、20 / 29求离心率是求的值，或找的关系；3、在中，由大边对大角得，由点 M 是直线与直线的交点，故根据条件设两直线的方程，求交点坐标，根据得关于直线的斜率为的不等式求解。, a b, ,a b c222abc, a c, a cMAOMOAMAOMAMO MHlMAMOl0k k 27 【2018 辽宁鞍山一中二模】已知过点的椭圆的左右焦点分别为， 为椭圆上的任意一点，且成等差数列.0,1A2222:10xyCabab12FF、B11223, 3BFFFBF（1）求椭圆的标准方程；C（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围.:2l yk x,P QAPQk【答案】 （1） ；（2）或2 214xy3 10k 1 2k 试题解析：（1）成等差数列， ，11223, 3BFFFBF1212233FFBFBF123 BFBF由椭圆定义得，；又椭圆过点，2 23 2ca3 2ca2222:10xyCabab0,1A；，解得， ；1b 22222314cabaa 2a 3c 椭圆的标准方程为；C2 214xy（2）设， ，联立方程，消去得：11,P x y22,Q xy2 22 14yk xxyy21 / 29222214161640kxk xk；依题意直线恒过点，此点为椭圆的左顶点， ，:2l yk x2,012x 10y 由方程的根与系数关系可得， ；212216 14kxxk可得 ；121222yyk xk x124k xxk由，解得， ；22228 14kxk224 14kyk由点在以为直径的圆外，得为锐角，即；APQPAQ0AP AQ 由， ，2, 1AP 22,1AQxy；即，22210AP AQxy 2224 164101414kk kk 整理得， ，解得： 或.220430kk3 10k 1 2k 实数的取值范围是或.k3 10k 1 2k 点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系等基础知识的综合应用，着重考查了学生的推理与运算能力，同时考查了函数与方程思想，数形结合思想的应用，此类问题的解答中把直线方程与椭圆的方程的联立，转化为方程的根与系数的关系是解答的关键.28 【2018 黑龙江齐齐哈尔一模】如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，两个焦点分别为， ，四边形的面积是四边形的面积的 2 倍.2222:10xyCabab12,A A12,B B12,F F122 7AB 1122AB A B1122B FB F（1）求椭圆的方程；C22 / 29（2）过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点， 是椭圆上位于直线两侧的两点.若，求证：直线的斜率为定值.CxC,P Q,A BCPQAPQBPQ ABABk【答案】 （1） ；（2）见解析22 11612xy直线的方程为，由 可得，同理直线的方程为， PA32yk x2232 , 1,1612yk xxy222348324 32480kxkk xk128 23234kkxkPB32yk x 可得，22823234kkxk2121222161248,3434kkxxxxkk121212122323ABk xk xyykxxxx 把上边式子代入即得解.12124k xxkxx试题解析：（1）因为,所以，122 7AB 222 7ab由四边形的面积是四边形的面积的 2 倍，1122AB A B1122B FB F可得. 1122222222abcbac由可得，所以，所以.22222222287284abaaccccc22416ac212b 所以椭圆的方程为. C22 11612xy（2）由（1）易知点的坐标分別为若，所以直线的斜率之和为 0. ,P Q 2,3 , 2, 3APQBPQ ,PA PB设直线的斜率为，则直线的斜率为， ，PAkPBk1122,A x yB xy23 / 29直线的方程为，由 PA32yk x2232 , 1,1612yk xxy可得，222348324 32480kxkk xk128 23234kkxk同理直线的方程为， PB32yk x 可得，22823234kkxk2121222161248,3434kkxxxxkk121212122323ABk xk xyykxxxx .1212412k xxkxx点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，入手点为，所以直线的斜率之和为 0. 设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立直线 PA 与椭圆得出 A 点横坐标，同理得 B 点横坐标，则 AB 斜率用两点斜率公式表示即可.APQBPQ ,PA PBPAkPBk29 【2018 湖南株洲两校联考】已知椭圆 E: 经过点 P(2,1)，且离心率为22221(0)xyabab3 2（）求椭圆的标准方程；（）设 O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点 M，N 满足，直线 PM、PN 分别交椭圆于 A，B探求直线 AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由OMNO 【答案】 （1） ；（2）直线 AB 过定点 Q（0，2）.22 182xy（）由椭圆的离心率 e=，则 a2=4b2， 将 P（2，1）代入椭圆，则，解得：b2=2，则 a2=8， 椭圆的方程为： ； 22312cb aa222214xy bb22111bb24 / 2922 182xy（）当 M，N 分别是短轴的端点时，显然直线 AB 为 y 轴，所以若直线过定点，这个定点一点在 y 轴上， 当 M，N 不是短轴的端点时，设直线 AB 的方程为 y=kx+t，设 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，由消去 y 得（1+4k2）x2+8ktx+4t28=0，·则=16（8k2t2+2）0， 22 1 82xyykxtx1+x2=，x1x2=， 28 41kt k2248 41t k 又直线 PA 的方程为 y1=（x2） ，即 y1=（x2） ，111 2y x 111 2kxt x 因此 M 点坐标为（0， ） ，同理可知：N（0， ） ，111 222k xtx221 222k xtx由，则+=0，OMNO 111 222k xtx221 222k xtx化简整理得：（24k）x1x2（24k+2t） （x1+x2）+8t=0，则（24k）×（24k+2t） （）+8t=0， 2248 41t k 28 41kt k当且仅当 t=2 时，对任意的 k 都成立，直线 AB 过定点 Q（0，2）.30 【2018 江西宜春六校联考】已知点，点在轴上，动点满足，且直线与轴交于点， 是线段的中点1,0H PyMPHPMPMxQ QPM（）求动点的轨迹的方程；ME（）若点是曲线的焦点，过的两条直线， 关于轴对称，且交曲线于、两点， 25 / 29交曲线于、两点， 、在第一象限，若四边形的面积等于，求直线， 的方程FEF1l2lx1lE AC2lE BDADABCD5 21l2l【答案】 （）;（） ， 202xyx11 216yx 11 216yx（2）联立直线结合韦达定理，即可用表示四边形的面积，求出，即可求直线， 的方程221,1801216,2xkykyy yx 得kABCDk1l2l试题解析：（）设， ， ， ， ，11,M x y0,'Py',0Q x1,'PHy ','PQxy ，即，PHPM2'0xy2''yx又代入，得',2'0,2xxyy',2 ',xxyy 2''yx202xyx（）由（）知，设直线： ，则得，1,08F1l1 8xky21,81,2xkyyx210216kyy2ACkyy， ，1 16ACyy 依题意可知，四边形是等腰梯形，ABCD 322222424ADDA ACCAACACABCDyyxxkkSyyyykyyyy 四边形，由，即，315 42kk3100kk22250kkk，250kk26 / 29所以2k 直线， 的方程分别为， 1l2l11 216yx 11 216yx31 【2018 广西南宁联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为.（l）求抛物线的方程；（2）抛物线上一点的纵坐标为 1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合） ，设直线的斜率分别为，求证：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.试题解析：（1）由抛物线的定义可知，则，由点在抛物线上，则，则，由，则，抛物线的方程.（2）点在抛物线上，且.，设过点的直线的方程为，即，代入得，设， ，则， ，所以.32 【2018 广西柳州联考】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为 5.Cx4,Pm27 / 29（1）求该抛物线的方程；C（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.,4M tMMDMEMDMEDE【答案】 （1）.（2）24yx8, 4试题解析：（1）由题意设抛物线方程为，22ypx其准线方程为，2px 到焦点的距离等于到其准线的距离， 4,PmA，.452p2p 抛物线的方程为.C24yx（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为 0，4,4MDE设直线的方程为： ，DExmyt联立，得，2 4xmyt yx 2440ymyt则.216160mt 设，则.1122,D x yE xy12124 ,4yym y yt