2019高中物理 第三章 万有引力定律 3 万有引力定律的应用学案 教科版必修2.doc

13 3 万有引力定律的应用万有引力定律的应用学习目标 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.了解“称量地球质量” “计算太阳质量”的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量.3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法一、预言彗星回归和未知星体1预言彗星回归(1)哈雷根据牛顿的引力理论对彗星轨道进行计算，预言彗星将于 1758 年再次出现(2)克雷洛预言由于受木星和土星的影响，彗星推迟于 1759 年经过近日点，且得到证实2预言未知星体根据天王星的运动轨道与由万有引力定律计算出来的轨道存在的明显偏差，英国的亚当斯和法国的勒维耶预言了天王星轨道外的一颗行星的存在，并计算出了这颗未知行星的质量、轨道和位置伽勒于 1846 年 9 月 23 日在预定区域发现了海王星，继而 1930 年汤姆博夫又发现了冥王星二、计算天体的质量1称量地球的质量(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力(2)关系式：mgG.Mm R2(3)结果：M，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量gR2 G2太阳质量的计算(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力(2)关系式：mr.GMm r242 T2(3)结论：M，只要知道行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的42r3 GT2质量(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M.1判断下列说法的正误2(1)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的()(2)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道(×)(3)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性()(4)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力(×)(5)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量(×)(6)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量(×)2已知引力常量G6.67×1011 N·m2/kg2，重力加速度g9.8 m/s2，地球半径R6.4×106 m，则可知地球的质量约为( )A2×1018 kg B2×1020 kgC6×1022 kg D6×1024 kg答案 D一、天体质量和密度的计算1卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人” (1)他“称量”的依据是什么？(2)若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和密度答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力(2)由mgG得，MMm R2gR2 G .M VM 4 3R33g 4GR2如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？答案 由m地r知M太，可以求出太阳的质量由密度公式Gm地M太 r242 T242r3 GT2可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径M太 4 3R太33天体质量和密度的计算方法重力加速度法环绕法情景已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体在表面的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mgGMm R2行星或卫星受到的万有引力充当向心力：Gm()2r(Gm或Gm2r)Mm r22 TMm r2v2 rMm r2天体质量天体(如地球)质量：MgR2 G中心天体质量：M(M或M42r3 GT2rv2 G)r32 G天体密度M 4 3R33g 4RG(以T为例)M 4 3R33r3 GT2R3说明利用mg求M是忽略了天体自转，GMm R2且g为天体表面的重力加速度由F引F向求M，求得的是中心天体的质量，而不是做圆周运动的行星或卫星的质量例 1 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G.(1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？答案 (1) (2)3 GT123Rh3GT22R3解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M.(1)卫星贴近天体表面运动时有GmR，MMm R242 T1242R3 GT12根据几何知识可知天体的体积为V R34 3故该天体的密度为 .M V42R3GT12·43R33 GT12(2)卫星距天体表面的高度为h时，有Gm(Rh)MmRh242 T224M42Rh3GT22 .M V42Rh3GT22·43R33Rh3GT22R3【考点】天体密度的计算【题点】已知周期、半径求密度求解天体质量和密度时的两种常见错误1根据轨道半径r和运行周期T，求得M是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)42r3 GT2的质量2混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如误约3r3 GT2R3分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R.针对训练 1 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕 “51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量的比值约为( )1 20A. B1 C5 D101 10答案 B解析 由Gmr得MMm r242 T2r3 T2已知，则()3×()21，B 项正确r51 r地1 20T51 T地4 365M恒 M太1 20365 4【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量例 2 有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的 4倍，求：(1)星球半径与地球半径之比；(2)星球质量与地球质量之比答案 (1)41 (2)641解析 (1)由mg得M，所以GMm R2gR2 G5 ，R，·4.M VgR2 G 4 3R33g 4GR3g 4GR星 R地3g星 4G星4G地 3g地g星 g地(2)由(1)可知该星球半径是地球半径的 4 倍根据M得·64.gR2 GM星 M地g星R星2 GG g地R地2【考点】计算天体的质量【题点】已知重力加速度求质量二、天体运动的分析与计算1基本思路：一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即F引F向2常用关系：(1)Gmamm2rmr.Mm r2v2 r42 T2(2)忽略自转时，mgG(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：Mm R2gR2GM，该公式通常被称为“黄金代换式” 3天体运动的物理量与轨道半径的关系(1)由Gm得v，r越大，v越小Mm r2v2 rGM r(2)由Gm2r得，r越大，越小Mm r2GM r3(3)由Gm2r得T2，r越大，T越大Mm r2(2 T)r3 GM(4)由Gma得a，r越大，a越小Mm r2GM r2例 3 2009 年 2 月，俄罗斯的“宇宙2251”卫星和美国的“铱33”卫星在西伯利亚上空约 805 km 处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( )A甲的运行周期一定比乙的长B甲距地面的高度一定比乙的高C甲的向心力一定比乙的小D甲的向心加速度一定比乙的大答案 D解析 甲的运行速率大，由Gm，得v，由此可知，甲碎片的轨道半径小，故 BMm r2v2 rGM r6错；由Gmr，得T，可知甲的周期小，故 A 错；由于未知两碎片的质量，Mm r242 T242r3 GM无法判断向心力的大小，故 C 错；由ma得a，可知甲的向心加速度比乙的大，故GMm r2GM r2D 对【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系针对训练 2 如图 1 所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和 2R(R为地球半径)下列说法中正确的是( )图 1Aa、b的线速度大小之比是12Ba、b的周期之比是 122Ca、b的角速度大小之比是 346Da、b的向心加速度大小之比是 92答案 C解析 两卫星均做匀速圆周运动，F万F向由m得，故 A 错误GMm r2v2 rv1 v2r2 r13R 2R3 2由mr2得，故 B 错误GMm r2(2 T)T1 T2r13 r232 32 3由mr2得，故 C 正确GMm r21 2r23 r133 64由ma得， ，故 D 错误GMm r2a1 a2r22 r129 4【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系1(天体质量的计算)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图 2 所示)，每 16 天绕土星一周，其公转圆轨道半径约为 1.2×106 km，已知引力常量G6.67×1011 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )7图 2A5×1017 kg B5×1026 kgC7×1033 kg D4×1036 kg答案 B解析 “泰坦”围绕土星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，Gmr，其中Mm r242 T2T16×24×3 600 s1.4×106 s，代入数据解得M5×1026 kg.【考点】计算天体的质量【题点】天体质量的综合问题2(天体密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要(引力常量G已知)( )A测定飞船的运行周期 B测定飞船的环绕半径C测定行星的体积 D测定飞船的运行速度答案 A解析 取飞船为研究对象，由GmR及M R3，知，故选 A.Mm R242 T24 33 GT2【考点】天体密度的计算【题点】已知周期、半径求密度3(卫星各运动参量与轨道半径的关系)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018 年 5 月 9 日发射的“高分五号”轨道高度约为 705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为 36 000 km，它们都绕地球做圆周运动与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )A周期 B角速度C线速度 D向心加速度答案 A解析 “高分五号”的轨道半径小于“高分四号”的轨道半径，即r五四，故 B 错；GM r31 r38v，v五>v四，故 C 错；GM r1 ra，a五>a四，故 D 错GM r21 r2【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律4(天体运动各参量的比较)如图 3 所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和 2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )图 3A甲的向心加速度比乙的小B甲的运行周期比乙的小C甲的角速度比乙的大D甲的线速度比乙的大答案 A解析 甲、乙两卫星分别绕质量为M和 2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力由牛顿第二定律有Gmamrm2rm，可得Mm r242 T2v2 ra，T2，v.由已知条件可得a甲a乙，T甲T乙，甲乙，GM r2r3 GMGM r3GM rv甲v乙，故正确选项为 A.【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律5(天体运动的分析与计算)如图 4 所示，A、B为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为h1、h2，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，求：图 4(1)A的线速度大小v1；(2)A、B的角速度大小之比12.9答案 (1) (2)gR2 Rh1Rh23Rh13解析 (1)设地球质量为M，A卫星质量为m1，由万有引力提供向心力，对A有：m1GMm1Rh12v12 Rh1在地球表面对质量为m的物体有：mgGMm R2由得v1gR2 Rh1(2)由Gm2(Rh)得，MmRh2GMRh3所以A、B的角速度大小之比.1 2Rh23Rh13【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律一、选择题考点一 天体质量和密度的计算1已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )A月球的质量 B地球的质量C地球的半径 D地球的密度答案 B解析 由天体运动规律知GmR可得，地球质量M，由于不知地球的半径，Mm R242 T242R3 GT2无法求地球的密度，故选项 B 正确【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量2若地球绕太阳的公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )A. B.R3t2 r3T2R3T2 r3t2C. D.R3t2 r2T3R2T3 r2t310答案 A解析 由万有引力提供向心力得m，即M，所以.GMm R0242R0 T02R03 T02M日 M地R3t2 r3T2【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量3如图 1 所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达 7 年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度的表达式正确的是( )图 1AM，42Rh3Gt23Rh3Gt2R3BM，42Rh2Gt23Rh2Gt2R3CM，42t2Rh3Gn23t2Rh3Gn2R3DM，42n2Rh3Gt23n2Rh3Gt2R3答案 D解析 设“卡西尼”号的质量为m，它围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，Gm(Rh)()2，其中T ，解得M.又土星体积MmRh22 Tt n42n2Rh3Gt2V R3，所以 .4 3M V3n2Rh3Gt2R3【考点】天体密度的计算【题点】已知周期、半径求密度42015 年 7 月，美国宇航局通过开普勒太空望远镜发现了迄今“最接近另一个地球”的系外行星开普勒452b，开普勒452b 围绕一颗类似太阳的恒星做匀速圆周运动，公转周期约为 385 天(约 3.3×107 s)，轨道半径约为 1.5×1011 m，已知引力常量G6.67×1011 N·m2/kg2，利用以上数据可以估算出类似太阳的恒星的质量约为( )A1.8×1030 kg B1.8×1027 kgC1.8×1024 kg D1.8×1021 kg答案 A11解析 根据万有引力充当向心力，有Gmr，则中心天体的质量MmM r242 T242r3 GT2kg1.8×1030 kg，故 A 正确4 × 3.142 × 1.5 × 101136.67 × 1011 × 3.3 × 1072【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量52018 年 2 月，我国 500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J03180253” ，其自转周期T5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为 6.67×1011 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )A5×109 kg/m3 B5×1012 kg/m3C5×1015 kg/m3 D5×1018 kg/m3答案 C解析 脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有Gmr，Mm r242 T2又知M· r34 3整理得密度 kg/m35×1015 kg/m3.3 GT23 × 3.146.67 × 1011 × 5.19 × 1032【考点】天体密度的计算【题点】已知周期、半径求密度6已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为( )A. B.42r3 T2R2g42mr3 T2R2gC. D.4mgr3 T2R3T2R2g 42mr3答案 B解析 对地球绕太阳的圆周运动有mrGMm r242 T2对地球表面的物体有mgGmm R2联立两式可得太阳质量M，B 正确42mr3 T2R2g【考点】天体密度的计算【题点】已知周期、半径求密度考点二 天体的运动规律127(多选)如图 2 所示，飞船从轨道 1 变轨至轨道 2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道 1 上，飞船在轨道 2 上的( )图 2A速度大 B向心加速度大C运行周期长 D角速度小答案 CD解析 飞船绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F引F，所以Gmamr2，Mm r2mv2 r42mr T2即a，v，T，.GM r2GM r42r3 GMGM r3因为r1v2，a1>a2，T12，选项 C、D 正确【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系8.a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图 3 所示，下列说法中正确的是( )图 3Aa、c的加速度大小相等，且大于b的加速度Bb、c的角速度大小相等，且小于a的角速度Ca、c的线速度大小相等，且小于d的线速度Da、c存在在P点相撞的危险答案 A解析 由Gmm2rmrma，可知，选项 B、C 错误，A 正确；因a、c轨道半Mm r2v2 r42 T2径相同，周期相同，由题图可知当c运动到P点时不相撞，以后就不可能相撞了，选项 D 错误13【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系9伽利略用他自制的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，假定四颗卫星均绕木星做匀速圆周运动，它们的转动周期如表所示，关于这四颗卫星，下列说法中正确的是( )名称周期/天木卫一1.77木卫二3.65木卫三7.16木卫四16.7A.木卫一角速度最小B木卫四线速度最大C木卫四轨道半径最大D木卫一受到的木星的万有引力最大答案 C【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系10(多选)地球半径为R0，地面重力加速度为g，若卫星在距地面R0处做匀速圆周运动，则( )A卫星的线速度为2R0g2B卫星的角速度为g 8R0C卫星的加速度为g 2D卫星的加速度为g 4答案 ABD解析 由mamm2(2R0)及GMgR02，可得卫星的向心加速度a ，角速度GMm2R02v2 2R0g 4，线速度v，所以 A、B、D 正确，C 错误g 8R02R0g2【考点】天体运动规律分析【题点】应用重力等于万有引力分析天体运动规律11两颗行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质14量之比为p，两行星的半径之比为q，则两个卫星的周期之比为( )MA MBRA RBTa TbA. BqpqpCp Dqp qq p答案 D解析 卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供做匀速圆周运动的向心力，则有：GmR(Mm R2)2，得T，解得：q，故 D 正确，A、B、C 错误2 T42R3 GMTa Tbq p【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律二、非选择题12(天体质量、密度的计算)若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)(1)月球表面的自由落体加速度大小g月(2)月球的质量M.(3)月球的密度.答案 (1) (2) (3)2h t22hR2 Gt23h 2RGt2解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，则hg月t2，月球表面自由落体的加速1 2度大小g月.2h t2(2)因不考虑月球自转的影响，则有Gmg月，月球的质量M.Mm R22hR2 Gt2(3)月球的密度 .M V2hR2 Gt2 4 3R33h 2RGt2【考点】万有引力定律和力学其他问题的综合应用【题点】万有引力定律和力学其他问题的综合应用13(天体运动规律)我国在酒泉卫星发射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高分一号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，这是我国重大科技专项高分辨率对地观测系统的首发星设“高分一号”轨道的离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g，求“高15分一号”在时间t内，绕地球运转多少圈？(忽略地球的自转)答案 t 2gR2Rh3解析 在地球表面的物体mgGMm R2“高分一号”在轨道上，由万有引力提供向心力得m(Rh)GMmRh242 T2所以T22Rh3GMRh3gR2故n .t Tt 2gR2Rh3【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律一、选择题考点一 天体的运动规律1把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( )A周期越大 B线速度越大C角速度越大 D向心加速度越大答案 A解析 行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由GmMm r2得v，可知r越大，线速度越小，B 错误由Gm2r得，可知r越大，v2 rGM rMm r2GM r3角速度越小，C 错误由k知，r越大，周期越大，A 对由Gma得a，可知rr3 T2Mm r2GM r2越大，向心加速度越小，D 错误【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律2据报道， “嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为 200 km 和 100 km，运行速率分别为v1和v2.那么，v1和v2的比值为(月球半径取 1 700 km)( )A. B. C. D.19 1819 1818 1918 1916答案 C解析 根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有Gm，那么卫星的线速度跟Mmrh2v2 rh其轨道半径的平方根成反比，则有.v1 v2rh2rh118 19【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星的线速度与半径的关系3(多选)火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转的轨道半径的 1.5 倍根据以上数据，下列说法中正确的是( )A火星表面重力加速度的数值比地球表面的小B火星公转的周期比地球的长C火星公转的线速度比地球的大D火星公转的向心加速度比地球的大答案 AB解析 由Gmg得gG，计算得 A 对；由Gm()2r得T2，计算得 Bmm R2m R2Mm r22 Tr3 GM对；周期长的线速度小(或由v判断轨道半径大的线速度小)，C 错；公转的向心加速GM r度aG，计算得 D 错M r2【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律4(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是( )A若v2R，则该层是土星的卫星群B若vR，则该层是土星的一部分C若v ，则该层是土星的一部分1 RD若v2 ，则该层是土星的卫星群1 R答案 BD解析 若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度相等，由vR知vR，B 正确，C 错误；若是土星的卫星群，则由Gm，得v2 ，A 错误，D 正确Mm R2v2 R1 R【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律175(多选)如图 1 所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则( )图 1Ab所需向心力最小Bb、c的周期相同且大于a的周期Cb、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度Db、c的线速度大小相等，且小于a的线速度答案 ABD解析 因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，由F向知b所受的引力最GMm r2小，A 对由mr2mr()2得T2，r越大，T越大，所以b、c的周期相等GMm r22 Tr3 GM且大于a的周期，B 对由ma，得a，即a，所以b、c的向心加速度大小相GMm r2GM r21 r2等且小于a的向心加速度，C 错由，得v，即v，所以b、c的线速度GMm r2mv2 rGM r1r大小相等且小于a的线速度，D 对【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系6(多选)如图 2 所示，2018 年 2 月 2 日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )图 218A密度 B向心力的大小C离地高度 D线速度的大小答案 CD解析 设卫星的周期为T，轨道半径为r，地球质量和半径分别为M、R，则在地球表面的物体：Gmg，GMgR2Mm R2对卫星：根据万有引力提供向心力，有Gm2rMm r2(2 T)联立式可求轨道半径r，而rRh，故可求得卫星的离地高度由vrr，从而可求得卫星的线速度大小2 T卫星的质量未知，故卫星的密度不能求出，万有引力即向心力FG也不能求出故选项Mm r2C、D 正确【考点】人造卫星各物理量的关系【题点】人造卫星各物理量的关系7(多选)科学探测表明，月球上至少存在丰富的氧、硅、铝、铁等资源，设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经长期的开采后月球与地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的轨道运动，则与开采前相比(提示：ab常量，则当ab时，ab乘积最大)( )A地球与月球间的万有引力将变大B地球与月球间的万有引力将变小C月球绕地球运行的周期将变大D月球绕地球运行的周期将变小答案 BD解析 万有引力公式F中，G和r不变，因地球和月球的总质量不变，当M增大而m减GMm r2小时，两者的乘积减小，万有引力减小，故选项 A 错误，B 正确；又mr，T GMm r242 T2，M增大，则T减小，故选项 C 错误，D 正确42r3 GM【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律8.如图 3 所示，甲、乙两颗卫星在同一平面上绕地球做匀速圆周运动，公转方向相同已知卫星甲的公转周期为T，每经过最短时间 9T，卫星乙都要运动到与卫星甲在地球同一侧且三19者共线的位置上，则卫星乙的公转周期为( )图 3A.T B.T9 88 9C.T D.T10 99 10答案 A解析 由题意得，()t22 T2 T乙t9T联立得T乙T，选项 A 正确9 8【考点】卫星的“追赶”问题【题点】卫星的“追赶”问题考点二 天体质量和密度的计算9(多选)2016 年 10 月 19 日凌晨， “神舟十一号”飞船与“天宫二号”成功实施自动交会对接如图 4 所示，已知“神舟十一号”与“天宫二号”对接后，组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为，组合体轨道半径为r，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转则( )图 4A可求出地球的质量B可求出地球的平均密度C可求出组合体做圆周运动的线速度D可求出组合体受到的地球的万有引力答案 ABC20解析 组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为，则角速度，万有引力 t提供组合体做圆周运动的向心力，则m2r，所以M，A 正确不考GMm r22r3 G2r3 t2G虑地球的自转时，组合体在地球表面的重力等于地球对组合体的万有引力，则mgG，解Mm R2得R，地球的密度 ()3 2，将式代入即可求出平均密度，B 正GM gM VM 4 3R33M 4g GM确根据线速度与角速度的关系vr可知v，C 正确由于不知道组合体的质量，r t所以不能求出组合体受到的万有引力，D 错误【考点】天体质量和密度的计算【题点】天体质量和密度的计算10 “嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为(弧度)，如图 5 所示已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )图 5A. B.l3 Gt2l3 Gt2C. D.l Gt2l2 Gt2答案 A解析 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r，根据转过的角度和l 时间，可得，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的 t向心力，可得Gm2r，联立可得M.Mm r2l3 Gt2【考点】计算天体的质量【题点】天体质量的综合问题二、非选择题11(物体的运动与万有引力的结合)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处(取地球表面重力加速度g10 m/s2，空气阻力不计)21(1)求该星球表面附近的重力加速度g星的大小；(2)已知该星球的半径与地球半径之比为 ，求该星球的质量与地球质量之比.R星 R地1 4M星 M地答案 (1)2 m/s2 (2)180解析 (1)在地球表面以一定的初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，根据运动学公式可知t.2v0 g同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间 5t小球落回原处，则5t2v0 g星根据以上两式，解得g星g2 m/s21 5(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即mg，所以MGMm R2gR2 G由此可得，· ×.M星 M地g星 gR星2 R地21 51 421 80【考点】万有引力定律和力学其他问题的综合应用【题点】重力加速度和抛体运动的综合问题12(天体运动规律分析)某课外科技小组长期进行天文观测，发现某行星周围有众多小卫星，这些小卫星靠近行星且分布相当均匀，经查对相关资料，该行星的质量为M.现假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，已知引力常量为G.(1)若测得离行星最近的一颗卫星的运动轨道半径为R1，忽略其他小卫星对该卫星的影响，求该卫星的运行速度v1为多大？(2)在进一步的观测中，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动轨道半径为R2，周期为T2，试估算靠近行星周围众多小卫星的总质量m卫为多大？答案 (1) (2)MGM R142R23 GT22解析 (1)设离行星最近的一颗卫星的质量为m1，有Gm1，解得v1.Mm1 R12v12 R1GM R1(2)由于靠近行星周围的众多卫星分布均匀，可以把行星及靠近行星的小卫星看做一星体，其质量中心在行星的中心，设离行星很远的卫星质量为m2，则有Gm2R2Mm卫m2R2242 T22解得m卫M.42R23 GT2222【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律