湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程课件.pptx

第第2 2章章 一元二次方程一元二次方程2.1 2.1 一元二次方程一元二次方程1 1、什么叫方程？什么叫方程的解？我们学了哪些方程？、什么叫方程？什么叫方程的解？我们学了哪些方程？2 2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？3 3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗骤吗?知识回顾知识回顾重点：重点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.难点难点：尝试的方法求简单的二元一次方程的解尝试的方法求简单的二元一次方程的解.重重、难点难点新课引入新课引入 问问题题一一 如如图图，某某住住宅宅小小区区内内有有一一栋栋旧旧建建筑筑，占占地地为为一一边边长长为为35 35 m m的的正正方方形形.现现打打算算拆拆除除建建筑筑并并在在其其正正中中间间铺铺上上一一面面积积为为900 900 m m2 2的的正正方方形形草草坪坪，使使四四周周留留出出的的人人行行道道的的宽宽度度相相等等，问问:人人行行道道的的宽宽度为多少米？度为多少米？35cm35cmxxxx解：解：设人行道的宽度设人行道的宽度为为x x m m，则草坪的边长为，则草坪的边长为 ()m()m.35-2x根据题意，列出方程根据题意，列出方程(35-2x)2=900.把方程通过移项，写成把方程通过移项，写成(35-2x)2-900=0.即即4x2-140 x+325=0.问题二问题二 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为量为7575万辆，两年后增加到万辆，两年后增加到108108万辆万辆.求该市两年来求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率汽车拥有量的年平均增长率 x x 应满足的方程应满足的方程.分析：分析：问题涉及的等量关系是：问题涉及的等量关系是：两年后的汽车拥有量两年后的汽车拥有量 =前年的汽车拥有量前年的汽车拥有量 （1+1+年平均增长率）年平均增长率）2 .解：解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x.根据等量关系，可以列出方程根据等量关系，可以列出方程 化简，整理得化简，整理得 上述两个方程有什么共同特点？上述两个方程有什么共同特点？如果一个方程通过整理可以使右边为如果一个方程通过整理可以使右边为0 0，而左边是，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程一元二次方程，它的一般形式是：，它的一般形式是：4x2-140 x+325=0ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数是已知数，a0），其中其中a a，b b，c c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项项.例：例：下列方程是否为一元二次方程，若是，指出其二次下列方程是否为一元二次方程，若是，指出其二次项系数、一次项系数和常数项系数、一次项系数和常数项项.3x(1-x)+10=2(x+2)3x(1-x)+10=2(x+2)解：解：去括号，去括号，得得 整理，整理，得得3x-3x2+10=2x+4.-3x2+x+6=0可以写可以写成成3x2-x-6=0二次项系数是二次项系数是-3-3，一次项系数是，一次项系数是1 1，常数项是，常数项是6 6.例：例：已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+ax+a=0的一的一个根是个根是3，求，求a的值的值.解：解：由由题意题意,得得把把x x=3=3代入方程代入方程x x2 2+ax+a=0+ax+a=0得，得，3 32 2+3+3a+a=0 0.1 1.关于关于x x的方程的方程(k(k3)x3)x2 2 2x2x1 10,0,当当 k k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程32 2.一元二次方程一元二次方程(2x(2x1)(x1)(x2)2)5 53x3x的的二次项系数、一次项系数及常数项之和为二次项系数、一次项系数及常数项之和为_5课堂练习课堂练习3.3.已知关于已知关于x x的方程的方程(k k2 21)1)x x2 2(k k1)1)x x2 20.0.(1)(1)当当k k取取何何值值时时，此此方方程程为为一一元元一一次次方方程程？并并求求出出此此方方程的程的根根.(2)(2)当当k k取取何何值值时时，此此方方程程为为一一元元二二次次方方程程？并并写写出出这这个个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项1.1.了解了解一元二次方程的概念和一般形式一元二次方程的概念和一般形式一元二次方程的概念和一般形式一元二次方程的概念和一般形式.2.2.2.2.会会会会求求求求一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程的二次项系数的二次项系数的二次项系数的二次项系数,一次项系数和常数一次项系数和常数一次项系数和常数一次项系数和常数项项项项.3.3.3.3.注意注意注意注意:一元二次方程的二次项系数不能为零一元二次方程的二次项系数不能为零一元二次方程的二次项系数不能为零一元二次方程的二次项系数不能为零.课堂小结课堂小结第第2 2章章 一元二次方程一元二次方程2.2 2.2 一元二次方程一元二次方程的解法的解法2.2 一元二次方程的解法配方法教教教教学学学学重重重重点点点点：运运用用开开平平方方法法解解形形如如（x x+m m）2 2=n n(n n0)0)的方程；领会降次的方程；领会降次转化的数学思想转化的数学思想.教学重、难点教学重、难点教学难点：教学难点：教学难点：教学难点：通过根据平方根的意义解形如通过根据平方根的意义解形如 x x2 2=n n 的的方方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+mx+m)2 2=n n(nn0)0)的方程的方程.如何解本章如何解本章2.1节节“动脑筋动脑筋”中的方程：中的方程：x2-2500=0 呢呢？把方程写成把方程写成 x2=2500.这表明这表明 x是是 2500 2500 的平方根，根据平方根的意义，得的平方根，根据平方根的意义，得 x=或或 x=.因此，原方程的解为因此，原方程的解为x1=50,x2=-50.对于实际问题中的方程对于实际问题中的方程 x x2 2-2500=0 -2500=0 而言而言，x x2 2=-50=-50是否符合题意？是否符合题意？答答：x2=-50不合题意，因为圆的半径不可能为负数，不合题意，因为圆的半径不可能为负数，应当舍去应当舍去.而而x1=50符合题意，因此该圆的半径为符合题意，因此该圆的半径为 50 cm.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.例例1 1 解方程：解方程：4 4x x2 2-25=0.-25=0.解：解：原方程可化为原方程可化为 x2=.=.根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得x=或或 x=，因此，原方程的根为因此，原方程的根为x1=，x2=.例例2 2 解方程解方程：解：解：根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得2x+1=或或 2x+1=，因此，原方程的根为因此，原方程的根为x1=，x2=.课堂练习课堂练习1.1.解解下列方程：下列方程：（1）9x2-49=0；（2）36-x2=0；（3）(x+3)2-16=0；（4）(1-2x)2-3=0.2.（1）(a b)2 ；（2）把完全平方公式从把完全平方公式从右边到左边使用右边到左边使用，在下列各题在下列各题中，中，填上适当的数，使等式成立：填上适当的数，使等式成立：x2+6x+(x+)2；x2-6x+(x-)2；x2+6x+5=x2+6x+-+5=(x+)2-.a 2 2abb2 93399934点点拨拨：就是就是把式子写成把式子写成(x+n)2+d的形式的形式理解新知理解新知解方程：解方程：x2+4x=12.解：解：x2+4x+22-22=12，因此，因此，有有 x2+4x+22=22+12.即即(x+2)2=16.根据平方根的意根据平方根的意义义，得得x+2=4 或或 x+2=-4.解得解得x1=2，x2=-6.一一般般地地，像像上上面面这这样样，在在方方程程 x2+4x=12 的的左左边边加加上上一一次次项项系系数数的的一一半半的的平平方方，再再减减去去这这个个数数，使使得得含含未未知知数数的的项项在在一一个个完完全全平平方方式式里里，这这种种做做法法叫叫作作配配方方 配配方方、整整理理后后就就可可以以直直接接根根据据平平方方根根的的意意义义来来求解了这种解一元二次方程的方法叫作配方法求解了这种解一元二次方程的方法叫作配方法 如何用配方法解本章如何用配方法解本章2.1节节“动脑筋动脑筋”中的方程中的方程：25x2+50 x-11=0 呢？呢？这个方程的二次项系数是这个方程的二次项系数是25，如果二次项系数为，如果二次项系数为1，那就那就好办好办了了.我们我们可以直接将左边化为可以直接将左边化为(x+n)2的的形式形式.由于方程由于方程25x2+50 x-11=0 的二次项系数不为的二次项系数不为1，为了便为了便于配方，于配方，我们可根据等式的性质，我们可根据等式的性质，在方程两边同除以在方程两边同除以25，将二次项系数化为将二次项系数化为1，得得x2+2x-0那么现在你会利用配方法解这个方程这个方程了么？那么现在你会利用配方法解这个方程这个方程了么？x2+2x-0 x2+2x+12-12-0配方，配方，得得因此因此(x+1)2=由此得由此得x+1=或或 x+1=，解得解得x1=0.2，x2=-2.2二次项系数化为二次项系数化为125x2+50 x-11=0方程左边配成完全平方方程左边配成完全平方将方程转化为两个一元将方程转化为两个一元一次方程一次方程两个一元一次方程分别两个一元一次方程分别求解求解用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程的一般步骤的一般步骤:移项移项:把常数项移到方程的右边；配方配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方；开方开方:根据平方根意义，方程两边开平方；求解求解:解一元一次方程；定解定解:写出原方程的解.例例 市市区区内内有有一一块块边边长长为为1515米米的的正正方方形形绿绿地地，经经城城市市规规划划，需需扩扩大大绿绿化化面面积积，预预计计规规划划后后的的正正方方形形绿绿地地面面积积将将达到达到289289平方米，这块绿地的边长增加了多少米？平方米，这块绿地的边长增加了多少米？解解：设设这这块块绿绿地地的的边边长长增增加加了了x x 米米，则则有有(1515x x)2 2289289，解得，解得x x1 12 2，x x2 232(32(舍去舍去)所以所以这块绿地的边长增加了这块绿地的边长增加了2 2米米.2.2 一元二次方程的解法公式法教学目标教学目标学会用公式法解一元二次方程，其一般步骤：学会用公式法解一元二次方程，其一般步骤：1 1、把方程化成一般形式，并写出、把方程化成一般形式，并写出a a、b b、c c 的的值值.2 2、求出、求出b b2 2-4ac-4ac 的值的值.特别注意特别注意:当当b b2 2-4ac-4ac00时原方程有实数时原方程有实数解解.3 3、代入求根公式、代入求根公式4 4、写出方程的、写出方程的解解x x1 1=？，？，x x2 2=?=?用配方法解关于用配方法解关于x的方程：的方程：ax2+bx+c=0解解:把方程两边都除以把方程两边都除以a，得得 移项，移项，得得配方，配方，得得即即 4a2 0，当当 b2-4ac 0 时时，,即即一元二次方程一元二次方程（a0）在在 b2-4ac0 时，它的根为时，它的根为(b2-4ac 0)我我们们通常把通常把这这个式子叫作一元二次方程的求根公式个式子叫作一元二次方程的求根公式.运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.由求根公式可知，由求根公式可知，一元二次方程的根由方程的系一元二次方程的根由方程的系数数a a，b b，c c 决定，决定，这也反映出了一元二次方程的根与这也反映出了一元二次方程的根与系数系数a a，b b，c c之间的一个关系之间的一个关系.用公式法解方程用公式法解方程 x2-x-2=0解：解：a 1，b-1，c-2.因而因而b2-4ac (-1)2-4 1 (-2)1 8 9 0，所以所以 x 因此，因此，原方程的根为原方程的根为x1 2，x2-1.用公式法解方程：用公式法解方程：解：解：即即 这里这里因而因而 b2-4ac (-7)2-4 1 (-18)49 72 121 0，课堂练习课堂练习用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：小结：小结：1.回顾一元二次方程的求根公式是什么？它是如何推回顾一元二次方程的求根公式是什么？它是如何推导的？导的？3.应用公式法解一元二次方程的基本步骤有哪些？应用公式法解一元二次方程的基本步骤有哪些？2.怎样通过一元二次方程的根的判别式怎样通过一元二次方程的根的判别式=b2-4ac 判断根的情况？判断根的情况？2.2 一元二次方程的解法因式分解法教学目标教学目标1.用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、完全平方公式等解一元二次方程及其应用完全平方公式等解一元二次方程及其应用.2.三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与与区别区别.解方程：解方程：x2-3x=0方程的左方程的左边提取公因式提取公因式x，得，得x(x-3)=0，由此得，由此得x=0或或x-3=0,即即x1=0，x2=3像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解的方法叫做因式分解法法.可以用公式法求解可以用公式法求解例例 用因式分解法解下列方程：用因式分解法解下列方程：x2-10 x+24=0.解解 配方，配方，得得x2-10 x+52-52+24=0，因而因而(x-5)2-12=0，把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 (x-5+1)(x-5 1)=0，即即(x 4)(x 6)=0，由此得由此得 x-4=0 或或 x-6=0.解得解得 x1=4，x2=6.从例中可以看出，从例中可以看出，我们能把方程我们能把方程 x2-10 x+24=0 的左边因式分解后，的左边因式分解后，写成写成x2-10 x+24=(x-4)(x 6)=0，则，则4和就是原方程的两个根和就是原方程的两个根.一般地，若我们能把方程x2+bx+c=0的左边进行因式分解后，写成 x2+bx+c=(x-d)(x h)=0，则 d 和h 就是方程 x2+bx+c=0 的两个根.反过来，如果d和h是方程 x2+bx+c=0 的两个根，则方程的左边可以分解成x2+bx+c=(x-d)(x h)=0.我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方程的特点，选择合适的方法来求解.如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？公式法适用于所有一元二次方程公式法适用于所有一元二次方程.因式分解法因式分解法（有时需要先配方）适用于所有一元二次方程（有时需要先配方）适用于所有一元二次方程.配方法是为了推导出求根公式配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，以及先配方，然后用因式分解法然后用因式分解法.解一元二次方程的基本思路都是解一元二次方程的基本思路都是：将将一一元元二二次次方方程程转转化化为为一一元元一一次次方方程程，即即降降次次，其其本本质质是是把把ax2+bx+c=0（a0）的的左左端端的的二二次次多多项项式分解成两个一次多项式的乘积，即式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），其其中中x1和和x2是是方方程程 ax2+bx+c=0的两个根的两个根.解下列方程：解下列方程：（1）x2-7x=0；（2）3x2=5x.1.1.因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，我们是如何通过因式分解把一元二次方程降次的呢？2.利用因式分解法解一元二次方程的主要步骤有哪些？归纳总结归纳总结第第2 2章章 一元二次方程一元二次方程2.3 2.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式教学目标教学目标1.1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；2.2.能运用根的判别式，能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推判别方程根的情况和进行有关的推理论证理论证；3.3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围.新课引入新课引入 我们在运用公式法求解一元二次方程我们在运用公式法求解一元二次方程 axax2 2+bxbx+c c=0=0(a a0)0)时，总是要求时，总是要求b b2 2-4-4acac0.0.这是为什么？这是为什么？把方程把方程axax2 2+bxbx+c c=0(=0(a a0)0)配方后得到：配方后得到：由于由于a a00，所以，所以 0 0，因此我们不难发现：，因此我们不难发现：此时，原方程有两个不相等的实数根此时，原方程有两个不相等的实数根.（1 1）当当 时，时，由于正数有两个平方根，所以原方程的根为由于正数有两个平方根，所以原方程的根为此时，原方程有两个相等的实数根此时，原方程有两个相等的实数根.当当 时时，（2 2）由于由于0 0的平方根为的平方根为0 0，所以原方程的根为，所以原方程的根为由于负数在实数范围内没有平方根，所以由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根原方程没有实数根.当当 时，时，（3 3）当当 0 0 时，时，原方程有两个不相等的实数根原方程有两个不相等的实数根，其根为，其根为当当=0 =0 时，时，原方程有两个相等的实数根原方程有两个相等的实数根，其根为，其根为当当 0 0 时，时，原方程没有实数根原方程没有实数根.例例 已知关于已知关于x x的方程的方程x x2 22(2(k k1)1)x xk k2 20 0有两个有两个不相等的实数根不相等的实数根(1)(1)求求k k的取值范围；的取值范围；(2)(2)求证：求证：x x1 1不可能是此方程的实数根不可能是此方程的实数根(2)证明：若证明：若x1是方程是方程x22(k1)xk20的实数的实数根，则有根，则有(1)22(k1)k20，即，即k22k30.b24ac80，故此方程无实数根，故此方程无实数根，k值不存在，值不存在，x1不可能此方程的实数根不可能此方程的实数根1.1.一元二次方程一元二次方程 的根的情况为的根的情况为 ()()A.A.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 B.B.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根C.C.只有一个实数根只有一个实数根D.D.没有实数根没有实数根 课堂练习课堂练习D2.一元二次方程一元二次方程ax2bxc0(a 0)有两个不相有两个不相等的等的实实数数根根，则则b24ac满满足的条件是足的条件是()A.b24ac0 Bb24ac0 C.b24ac0 Db24ac0B第第2 2章章 一元二次方程一元二次方程2.4 2.4 一元二次方程一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系教学目标教学目标了解一元二次方程了解一元二次方程的两个根分的两个根分别是是、，那么：那么：这就是一元二次方程根与系数的关系，也这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理叫韦达定理.新课引入新课引入 的两个根为的两个根为 x1，x2，则：则：ax2+bx+c又又 ax2+bx+c=于是于是 .所以 ，即 ，这表明，当 时，一元二次方程根与系数之间具有如下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.例例1 1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根方程的两根 x x1 1，x x2 2 的和与积：的和与积：(1)(2)(3)（1）（2）整理，得整理，得（3）整理，得整理，得课堂练习课堂练习1 1根据一元二次方程根与系数的关系，求下列根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两方程的两根根x x1 1，x x2 2的和与积的和与积 (1)2x (1)2x2 24x4x3 30 0；(2)x (2)x2 24x4x3 37 7；(3)5x (3)5x2 23 310 x10 x4.4.2已知已知x1，x2是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程x22(m1)xm250的两的两实实数根数根(1)若若(x11)(x21)28,求求m的的值值；(2)已知等腰已知等腰 ABC的一的一边长为边长为7,若若x1,x2恰好是恰好是 ABC另另外两外两边边的的边长边长,求求这这个三角形的周个三角形的周长长解：解：(1)x1，x2是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程x22(m1)xm250，x1x22(m1)，x1x2m25，(x11)(x21)x1x2(x1x2)1m252(m1)128，解，解得得m4或或m6.m4时原方程无时原方程无解，解，m6.(2)当当7为底边时，此时方程为底边时，此时方程x22(m1)xm250有两有两个相等的实数根，个相等的实数根，4(m1)24(m25)0，解，解得得m2.方程变为方程变为x26x90，解得，解得x1x23.337，不能构成三角形；不能构成三角形；当当7为腰时，设为腰时，设x17，代入方程得：，代入方程得：4914(m1)m250，解，解得得m10或或4.当当m10时，方程时，方程变为变为x222x1050，解，解得得x7或或15.7715，不能组，不能组成三角形；当成三角形；当m4时方程变为时方程变为x210 x210，解，解得得x3或或7，此时三角形的周长为，此时三角形的周长为77317.课堂小结课堂小结2.2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式要把已知方程化成一般形式.3.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当且仅当 时时，才能应用根与系数的关，才能应用根与系数的关系系.1.1.一元二次方程根与系数的关系是什么一元二次方程根与系数的关系是什么?第第2 2章章 一元二次方程一元二次方程2.5 2.5 一元二次方程一元二次方程的应用的应用重重、难点难点重点：重点：熟练地应用一元二次方程解决实际问题熟练地应用一元二次方程解决实际问题.难点难点：从实际问题中建立一元二次方程的模型从实际问题中建立一元二次方程的模型.某某省省农农作作物物秸秸秆秆资资源源巨巨大大，但但合合理理使使用用量量十十分分有有限限，因因此此该该省省准准备备引引进进适适用用的的新新技技术术来来提提高高秸秸秆秆的的合合理理使使用用率率，若若今今年年的的使使用用率率为为40%40%，计计划划后后年年的的使使用用率率达达到到90%90%，求求这这两两年年秸秸秆秆使使用用率率的的年年平平均均增增长长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）.由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：今年的使用率今年的使用率(1+(1+年平均增长率年平均增长率)2 2=后年的后年的使用率使用率.设这两年秸秆的使用率的年平均增长率为设这两年秸秆的使用率的年平均增长率为x x，则根据等量关，则根据等量关系，可列出方程：系，可列出方程：40%(1+40%(1+x x)2 2=90=90%.%.整理，得整理，得(1+1+x x)2 2=2.25.=2.25.解得解得x x1 1=0.5=50%=0.5=50%，x x2 2=-2.5=-2.5（不合题意，舍去（不合题意，舍去）.因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为5050%.例例1 1 为为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100100元将元将为为8181元，求平均每次降价的元，求平均每次降价的百分率百分率.分析分析：问题中涉及的等量关系是：问题中涉及的等量关系是：原价原价(1-(1-平均每次降价的百分率平均每次降价的百分率)2 2=现行售价现行售价解解:设平均每次降价的百分率平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系得根据等量关系得100(1-x)2=81.整理，得整理，得(1-x)2=0.81.解得解得 x1=0.1=10%，x2=1.9(不合不合题意，舍去意，舍去）.答：答：平均每次降价的百分率平均每次降价的百分率为10%.例例2 2 某某商商店店从从厂厂家家以以每每件件2121元元的的价价格格购购进进一一批批商商品品，若若每每件件商商品品的的售售价价为为x x元元，则则可可卖卖出出(350-10 x)(350-10 x)件件，但但物物价价局局限限定定每每件件商商品品的的售售价价不不能能超超过过进进价价的的120%120%，若若该该商商店店计计划划从从这这批批商商品品中中获获取取400400元元利利润润（不不计计其其他他成成本本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？，问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？分析分析：本本问题中涉及的等量关系是：中涉及的等量关系是：（售价（售价-进价）价）销售量售量=利利润.解：解：根据等量根据等量关系，得关系，得(x-21)(350-10 x)=400.整理，得整理，得 x2-56x+775=0.解得解得 x1=25，x2=31.又因又因为21120%=25.2，即售价不能超，即售价不能超过25.2元，元，所以所以x=31不合不合题意，意，应当舍去，故当舍去，故x=25，从而，从而卖出出350-10 x=350-1025=100（件（件）.答：答：该商店需要商店需要卖出出100件商品，且每件商品的售件商品，且每件商品的售价是价是25元元.实际问题实际问题建立一元二建立一元二次方程模型次方程模型解一元二解一元二次方程次方程一元二次一元二次方程的根方程的根实际问题的解实际问题的解分析数量关分析数量关系设未知数系设未知数检验检验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？有哪些？1.1.某校图书馆的藏书在两年内从万册增加到某校图书馆的藏书在两年内从万册增加到7.27.2万万册，册，问问:平均平均每年藏书增长的百分率是多少？每年藏书增长的百分率是多少？解：解：设平均每年藏书增长的百分率为设平均每年藏书增长的百分率为x，则则5（1+x）=7.2.整理，得整理，得 (1+x)=1.44.解得解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去不符合题意，舍去).答：答：平均每年藏书增长的百分率为平均每年藏书增长的百分率为2020%.%.2.2.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装2020件，每件可盈利件，每件可盈利4444元若每件降价元若每件降价1 1元，则每天可元，则每天可多售出多售出5 5件若要平均每天盈利件若要平均每天盈利16001600元，则应降价元，则应降价多少元？多少元？解：解：设应降价设应降价x元，则元，则(44-(44-x)(20+5)(20+5x)=)=1600.1600.整理，得整理，得 x-40-40 x+144=0.+144=0.解得解得 x1 1=36,=36,x2 2=4.=4.答：答：应降价应降价3636元或元或4 4元元.合作探究合作探究 如如图图2-22-2，一一块块长长和和宽宽分分别别为为40 40 cmcm，28 28 cmcm的的矩矩形形铁铁皮皮，在在它它的的四四角角截截去去四四个个全全等等的的小小正正方方形形，折折成成一一个个无无盖盖的的长长方方体体盒盒子子，使使它它的的底底面面积积为为364 364 cmcm2 2.求截去的小正方形的边长求截去的小正方形的边长.解：解：若设截去的小正方形的边长为若设截去的小正方形的边长为xcmcm，则无盖长方体，则无盖长方体盒子的底面边长分别为盒子的底面边长分别为(40-2(40-2x)cm)cm，(28-2(28-2x)cm)cm，根据等根据等量关系量关系列出列出方程方程.(40-2(40-2x x)(28-2)(28-2x x)=364)=364原方程可以写成原方程可以写成 x x2 2-34x+189=0.-34x+189=0.这里这里 a=1 a=1，b=-34b=-34，c=189c=189，b b2 2-4ac=(-34)-4ac=(-34)2 2-41189=(217)-41189=(217)2 2-4189-4189 =4(172-189)=4(289-189)=400 =4(172-189)=4(289-189)=400，解得解得 x x1 1=27=27，x x2 2=7=7 如果截去的小正方形的边长为如果截去的小正方形的边长为27 cm27 cm，那么左下角和，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm54 cm，这超过了，这超过了矩形铁皮的长矩形铁皮的长40 cm.40 cm.因此因此x1 1=27=27不合题意，应当舍去不合题意，应当舍去答：答：截去的小正方形的边长为截去的小正方形的边长为 7 cm7 cm例例3 3 如图如图2-42-4，一长为，一长为32m32m、宽为、宽为24m24m的矩形地面上的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化进行了绿化.若已知绿化面积为若已知绿化面积为540m540m，求道路的宽，求道路的宽.分分析析：虽虽然然“整整个个矩矩形形的的面面积积-道道路路所所占占面面积积=绿绿化化面面积积”，但但道道路路不不是是规规则则图图形形，因因此此不不便便于于计计算算.若若把把道道路路平平移移，此此时时绿绿化化部部分分就成了一个新的矩形就成了一个新的矩形了了.解：解：设道路宽为设道路宽为x x m m，则新矩形的边长为，则新矩形的边长为(32-(32-x x)m)m，宽为，宽为(20-(20-x x)m)m，根据等量关系根据等量关系列出列出方程方程.(32-(32-x)(20-)(20-x)=540)=540 整理，得整理，得 x-52x+100=0.解得解得x1=2,x2=50.x2=5032，不符合题意，舍去，不符合题意，舍去,故故x=2.答：答：道路的宽道路的宽为为2 2米米.例4 如图2-6，在ABC中，C=90，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使PCQ的面积为9cm？根据根据题意，得题意，得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm.解：解：设点设点P，Q出发出发x s后可使后可使PCQ的面积为的面积为9cm.整理，得整理，得解得解得x1=x2=3.答：答：点点P，Q出发出发3s后可使后可使PCQ的面积为的面积为9cm.列：列：方程解应用题的一般步骤是方程解应用题的一般步骤是:1.1.审审:审清题意审清题意:已知什么已知什么,求什么求什么?2.2.设设:设未知数设未知数,语句完整语句完整,有单位有单位(同一同一)的要注明单位的要注明单位;3.3.列列:列代数式列代数式,找出相等关系列方程找出相等关系列方程;4.4.解解:解所列的方程解所列的方程;5.5.验验:是否是所列方程的根是否是所列方程的根;是否符合题意是否符合题意;6.6.答答:答案也必需是完整的语句答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生注明单位且要贴近生活活.列方程解应用题的关键是列方程解应用题的关键是:找出相等关系找出相等关系.归纳总结归纳总结1 1随随着着市市民民环环保保意意识识的的增增强强，烟烟花花爆爆竹竹销销售售量量逐逐年年下下降降某某市市20132013年年销销售售烟烟花花爆爆竹竹2020万万箱箱，到到20152015年年烟烟花花爆爆竹竹销销售售量量为为9.89.8万万箱箱求求该该市市20132013年年到到20152015年年烟烟花花爆爆竹竹年年销销售量的平均下降率售量的平均下降率解：解：设咸宁市设咸宁市2013年到年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率是年烟花爆竹年销售量的平均下降率是x，依，依题意，得题意，得20(1x)29.8，解这个方程，得，解这个方程，得x10.3，x21.7.由于由于x21.7不符合题意，故不符合题意，故x0.330%.答答：咸宁市咸宁市2013年到年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率为年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%.