高考数学一轮复习第九章解析几何9-7抛物线学案理.doc

- 1 - / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第九章解析几何精选高考数学一轮复习第九章解析几何 9-9-7 7 抛物线学案理抛物线学案理考纲展示 考点 1 抛物线的定义及应用抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的_的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的_，直线 l 叫做抛物线的_答案：距离相等 焦点 准线教材习题改编动圆过点(1,0)，且与直线 x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_答案：y24x解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线 x1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y24x.抛物线的定义：关注应用过抛物线 y28x 的焦点且倾斜角为 45°的直线与抛物线交于点A，B，则|AB|_.答案：16解析：解法一：依题意，过抛物线焦点且倾斜角为 45°的直线方程为 yx2，将 yx2 代入 y28x，得 x212x40，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，- 2 - / 14则 x1x212，x1x24，所以|AB|·x1x224x1x2×16.解法二：过抛物线焦点且倾斜角为 45°的直线方程为 yx2，将 yx2 代入 y28x，得 x212x40，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x212.由抛物线定义知，|AB|x1x2416.考情聚焦 与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等主要有以下几个命题角度：角度一到焦点与定点距离之和最小问题典题 1 2017·江西赣州模拟若点 A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线 y22x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的点 M 的坐标为( )B.A(0,0) (1 2，1)D(2,2)C(1，) 答案 D解析 过点 M 作左准线的垂线，垂足是 N，则|MF|MA|MN|MA|，当 A，M，N 三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时 M 的坐标为(2,2)角度二到点与准线的距离之和最小问题典题 2 2017·河北邢台摸底已知 M 是抛物线 x24y 上一点，F 为其焦点，点 A 在圆 C：(x1)2(y5)21 上，则|MA|MF|的- 3 - / 14最小值是_答案 5解析 依题意，由点 M 向抛物线 x24y 的准线 l：y1 引垂线，垂足为 M1，则有|MA|MF|MA|MM1|，则|MA|MM1|的最小值等于圆心 C(1,5)到 y1 的距离再减去圆 C 的半径，即等于 615，因此|MA|MF|的最小值是 5.角度三到定直线的距离最小问题典题 3 已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )A. B2 C. D3答案 B解析 由题可知 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，设抛物线的焦点为 F(1,0)，则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|，则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值，即焦点 F 到直线l1：4x3y60 的距离，所以最小值是2.角度四焦点弦中距离之和最小问题典题 4 已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛物线交于A，B 两点，过 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|BD|的最小值为_答案 2解析 由题意知 F(1,0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值- 4 - / 14依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|2p4 时为最小值，所以|AC|BD|的最小值为 2.点石成金 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短” ，使问题得以解决转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决考点 2 抛物线的标准方程与性质1.抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：_；(2)顶点在坐标原点，焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：_；(3)顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：_；(4)顶点在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：_.答案：(1)y22px(p>0) (2)y22px(p>0)(3)x22py(p>0) (4)x22py(p>0)2抛物线的几何性质答案：O(0,0) y0 x0 1(1)教材习题改编若抛物线 yax2 的准线方程是 y2，则 a 的值是_答案：1 8解析：抛物线 yax2 的标准方程为 x2y，- 5 - / 142，a.(2)教材习题改编将抛物线 C1：x2y 绕原点逆时针旋转 90°，得到抛物线 C2，则 C2 的焦点坐标是_答案：(1 8，0)解析：易知抛物线 C2 的方程为 y2x，其焦点坐标为.抛物线的标准方程：注意一次项系数的符号抛物线 x22py0 的焦点到准线的距离为 4，则 p_.答案：±4解析：抛物线 x22py0 的标准方程为 x22py，依题意知|p|4，所以 p±4.求抛物线的标准方程：待定系数法抛物线的开口向左，过抛物线的焦点且与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段 AB 的长为 4，则该抛物线的标准方程为_答案：y24x解析：依题意设抛物线方程为 y22px(p>0)，则其焦点坐标为，易得|AB|2p4，所以 p2，所以所求抛物线方程为 y24x.典题 5 (1)已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )A(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1)答案 B解析 抛物线 y22px(p0)的准线为 x且过点(1,1)，故1，解得 p2.- 6 - / 14所以抛物线的焦点坐标为(1,0)(2)已知双曲线 C1：1(a>0，b>0)的离心率为 2.若抛物线C2：x22py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线C2 的方程为( )Bx2yAx2y Dx216yCx28y 答案 D解析 1(a0，b0)的离心率为 2，2，即4，.则1(a0，b0)的渐近线方程为 y±x，即 y±x.x22py(p0)的焦点坐标为，由题意得2，解得 p8.故 C2 的方程为 x216y.点石成金 1.求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p 的值即可2利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程3涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.若抛物线 y2x 的准线经过椭圆1 的左焦点，则实数 m 的值为_答案：1 2解析：抛物线 y2x 的准线方程为 x，椭圆1 的左焦点坐标为(2,0)，- 7 - / 14由题意知2，所以实数 m.考点 3 焦点弦问题典题 6 已知过抛物线 y22px(p>0)的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于- 8 - / 14A，B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴求证：直线 AC 经过原点 O.证明：设直线 AB 的方程为 xmy，代入 y22px，得 y22pmyp20.由根与系数的关系，得 yAyBp2，即 yB.BCx 轴，且点 C 在准线 x上，C，则 kOCkOA.直线 AC 经过原点 O.考点 4 直线与抛物线的位置关系典题 7 已知 A(8,0)，B，C 两点分别在 y 轴上和 x 轴上运动，并且满足·0，(1)求动点 P 的轨迹方程；(2)是否存在过点 A 的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 M，N 两点，且满足·97，其中 Q(1,0)，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由解 (1)设 B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)，则(8，b)，(x，yb)，(c，b)，(xc，y)·8xb(yb)0，由，得Error!将 by 代入，得 y24x.动点 P 的轨迹方程为 y24x.(2)当直线 l 的斜率不存在时，x8 与抛物线没有交点，不合题意当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的斜率为 k，- 9 - / 14则 l：yk(x8)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x11，y1)，(x21，y2)，由·97，得(x11)(x21)y1y297.即 x1x2x1x21k2(x18)(x28)97，(1k2)x1x2(18k2)(x1x2)64k296.将 yk(x8)代入 y24x，得 k2x2(416k2)x64k20.直线 l 与 y24x 交于不同的两点，(416k2)24×k2×64k20，即k，由根与系数的关系，得 x1x2，x1x264.代入式，得64(1k2)(18k2)64k296.整理得 k2，k±.k±，这样的直线 l 不存在综上，不存在过点 A 的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 M，N 两点，且满足·97.点石成金 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式- 10 - / 143涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求” “整体代入”等解法提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.如图，已知抛物线 C1：yx2，圆 C2：x2(y1)21，过点P(t,0)(t0)作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2相切，A，B 为切点(1)求点 A，B 的坐标；(2)求PAB 的面积解：(1)由题意知，直线 PA 的斜率存在，故可设直线 PA 的方程为 yk(xt)由消去 y，整理得x24kx4kt0，由于直线 PA 与抛物线相切，得 kt.因此，点 A 的坐标为(2t，t2)设圆 C2 的圆心为 D(0,1)，点 B 的坐标为(x0，y0)由题意知，点 B，O 关于直线 PD 对称，故解得Error!因此，点 B 的坐标为.(2)由(1)知，|AP|t·，直线 PA 的方程为 txyt20.点 B 到直线 PA 的距离是 d.设PAB 的面积为 S(t)，则 S(t)|AP|·d.方法技巧 1.求抛物线的标准方程时，一般要用待定系数法求出 p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程- 11 - / 142抛物线的离心率 e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化3设 AB 是过抛物线 y22px(p>0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下几个结论：(1)x1x2，y1y2p2；(2)弦长|AB|x1x2p( 为弦 AB 的倾斜角)；(3)；(4)以 AF 为直径的圆与 y 轴相切；(5)以弦 AB 为直径的圆与准线相切易错防范 直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式真题演练集训 12015·浙江卷如图，设抛物线 y24x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A，B，C，其中点 A，B 在抛物线上，点C 在 y 轴上，则BCF 与ACF 的面积之比是( )B.A. |BF|21 |AF|21D.C. |BF|21 |AF|21答案：A解析：由图形可知，BCF 与ACF 有公共的顶点 F，且 A，B，C三点共线，易知BCF 与ACF 的面积之比就等于.由抛物线方程知，焦点 F(1,0)，作准线 l，则 l 的方程为 x1. 点 A，B 在抛物线上，过 A，B 分别作 AK，BH 与准线垂直，垂- 12 - / 14足分别为点 K，H，且与 y 轴分别交于点 N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN 中，BMAN， .22016·新课标全国卷以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4，|DE|2，则C 的焦点到准线的距离为( )A2 B4 C6 D8答案：B解析：由题意，不妨设抛物线方程为 y22px(p>0)，由|AB|4，|DE|2，可取 A，D，设 O 为坐标原点，由|OA|OD|，得85，解得 p4，故选 B.32016·四川卷设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线y22px(p>0)上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为( )A. B. C. D1答案：C解析：设 P，易知 F，则由|PM|2|MF|，得 M.当 t0 时，直线 OM 的斜率 k0；当 t0 时，直线 OM 的斜率 k，所以|k|，当且仅当时等号成立，于是直线 OM 的斜率的最大值为，故选 C.42016·天津卷设抛物线(t 为参数，p0)的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C，AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|2|AF|，且ACE 的面积为 3，则 p 的值为_- 13 - / 14答案：6解析：抛物线的普通方程为 y22px，故 F，l：x.由|CF|2|AF|，得|AF|p，不妨设点 A(x，y)在第一象限，则 x，即 xp，所以 yp.易知ABEFCE，所以|EF|2|AE|，所以ACF 的面积等于AEC 的面积的 3 倍，即 SACF9，所以 SACF×3p×p9，解得 p.52016·浙江卷若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为10，则 M 到 y 轴的距离是_答案：9解析：由于抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，准线为 x1，设点 M 的坐标为(x，y)，则 x110，所以 x9.故 M 到 y 轴的距离是9.课外拓展阅读 对抛物线的标准方程认识不准而致误分析典例 抛物线 C1：x22py(p>0)的焦点与双曲线 C2：y21的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于C2 的一条渐近线，则 p( )A. B. C. D.4 33解析 抛物线 C1：x22py(p>0)的焦点坐标为，双曲线y21 的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为 y(x2)，联立Error!消去 y，得 2x2p2x2p20.设点 M 的横坐标为 a，- 14 - / 14易知在点 M 处切线的斜率存在，则在点 M 处切线的斜率为yxaxa，又因为双曲线y21 的渐近线方程为±y0，其与切线平行，所以，即 ap，代入 2x2p2x2p20，得 p或 p0(舍去)答案 D