高考数学一轮复习第九章解析几何9-3圆的方程学案理.doc

- 1 - / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第九章解析几何精选高考数学一轮复习第九章解析几何 9-9-3 3 圆的方程学案理圆的方程学案理考纲展示 1.掌握确定圆的几何要素2掌握圆的标准方程与一般方程考点 1 圆的方程1.圆的定义及方程答案：定点 定长 (a，b) r 2点与圆的位置关系(1)理论依据：_到_的距离与半径的大小关系(2)三种情况：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点 M(x0，y0)(x0a)2(y0b)2_r2点在圆上；(x0a)2(y0b)2_r2点在圆外；(x0a)2(y0b)2_r2点在圆内答案：(1)点 圆心 (2) > 0，解得20)，半径 r2b.又圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2，圆心 C 到 x 轴的距离为 b，所以由勾股定理，解得 b1.因此圆 C 的标准方程为(x2)2(y1)24.解法二：因为圆 C 的圆心在直线 x2y0 上，设圆心 C(2b，b)，所以圆 C 的方程为(x2b)2(yb)2r2，因为圆 C 与 y 轴正半轴相切，则 r2b>0.又圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2，由勾股定理，得圆心 C 到 x 轴的距离为.联立，得 b1，r2.因此圆 C 的标准方程为(x2)2(y1)24.点石成金 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解考点 2 与圆有关的最值问题考情聚焦 与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重- 4 - / 13考查数形结合与转化思想主要有以下几个命题角度：角度一斜率型最值问题典题 2 2017·辽宁抚顺模拟已知实数 x，y 满足方程x2y24x10，求的最大值和最小值解 原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y x 所以设k，即 ykx.当直线 ykx 与圆相切时(如图)，斜率 k 取最大值或最小值，此时，解得 k±.所以的最大值为，最小值为.角度二截距型最值问题典题 3 在角度一条件下求 yx 的最大值和最小值解 yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，如图所示，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时，解得 b2±.所以 yx 的最大值为2，最小值为2.角度三距离型最值问题典题 4 在角度一条件下求 x2y2 的最大值和最小值- 5 - / 13解 如图所示，x2y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以 x2y2 的最大值是(2)274，x2y2 的最小值是(2)274.角度四建立目标函数求最值问题典题 5 已知圆 C：(x3)2(y4)21 和两点 A(m,0)，B(m,0)(m0)若圆 C 上存在点 P，使得APB90°，则 m 的最大值为( )A7 B6 C5 D4答案 B解析 由(x3)2(y4)21 知，圆上点 P(x0，y0)可化为Error!APB90°，即·0，(x0m)(x0m)y0，m2xy266cos 8sin 2610sin()36，0m6，即 m 的最大值为 6.点石成金 求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解(2)建立函数关系式求最值- 6 - / 13根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的考点 3 与圆有关的轨迹问题(1)教材习题改编已知点 P 与两个定点 O(0,0)，A(3,3)的距离之比为，则点 P 的轨迹方程是_答案：x2y22x2y60解析：依题意，得.设 P(x，y)，则，整理得 x2y22x2y60.(2)教材习题改编若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是_答案：(1,1)解析：因为点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，所以(1a)2(1a)2<4，即 a2<1，故1<a<1.1.求圆的标准方程：几何法经过三点 A(4,0)，B(0,2)，C(1,3)的圆的方程为_答案：(x2)2(y1)25解析：因为 kBC·kAC·1，所以 ACBC，所以ABC 是直角三角形，AB 是斜边，所以所求圆的圆心坐标为(2,1)，半径 r|AB|，所以所求圆的方程为(x2)2(y1)25.2求圆的一般方程：待定系数法ABC 的三个顶点分别为 A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)，其外接圆的方程为_- 7 - / 13答案：x2y24x2y200解析：解法一：设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0.由题意有 Error!解得 Error!故所求圆的方程为 x2y24x2y200.解法二：由题意可求得线段 AC 的中垂线方程为 x2，线段 BC 的中垂线方程为 xy30，则圆心是两中垂线的交点(2,1)，半径 r5.故所求圆的方程为(x2)2(y1)225.典题 6 设定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以OM，ON 为邻边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹解 如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为，线段 MN 的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，.从而 又 N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点 P 在直线 OM 上时的情况)点石成金 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆的几何性质列方程- 8 - / 13(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.已知圆 x2y24 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若PBQ90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程解：(1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，点 P 的坐标为(2x2,2y)因为点 P 在圆 x2y24 上，所以(2x2)2(2y)24.故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设 PQ 的中点为 N(x，y)在 RtPBQ 中，|PN|BN|.设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以 x2y2(x1)2(y1)24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10.方法技巧 1.求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解2解答圆的问题，应注意数形结合，充分利用圆的几何性质，简化运算3圆心在过切点且垂直于切线的直线上4圆心在任一弦的中垂线上- 9 - / 135两圆相切时，切点与两圆心三点共线易错防范 求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线真题演练集训 12015·新课标全国卷一个圆经过椭圆1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_答案：2y225 4解析：由题意知，a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在 x 轴的正半轴上知，圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m4，r0)，则解得Error!所以圆的标准方程为 2y2.22014·陕西卷若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1,0)关于直线 yx 对称，则圆 C 的标准方程为_答案：x2(y1)21解析：因为点(1,0)关于直线 yx 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为 1，于是圆 C 的标准方程为x2(y1)21.32016·江苏卷如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M为圆心的圆 M：x2y212x14y600 及其上一点 A(2,4)(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且 BCOA，求直线 l 的方程；- 10 - / 13(3)设点 T(t,0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得，求实数 t 的取值范围解：圆 M 的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心 M(6,7)，半径为 5.(1)由圆心 N 在直线 x6 上，可设 N(6，y0)因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以 0<y0<7，于是圆 N 的半径为 y0，从而7y05y0，解得 y01.因此，圆 N 的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线 lOA，所以直线 l 的斜率为2.设直线 l 的方程为 y2xm，即 2xym0，则圆心 M 到直线 l 的距离d.因为 BCOA2，而 MC2d22，所以 255，解得 m5 或 m15.故直线 l 的方程为 2xy50 或 2xy150.(3)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为 A(2,4)，T(t,0)，所以因为点 Q 在圆 M 上，所以(x26)2(y27)225.将代入，得(x1t4)2(y13)225.于是点 P(x1，y1)既在圆 M 上，又在圆x(t4)2(y3)225 上，从而圆(x6)2(y7)225 与圆x(t4)2(y3)225有公共点，- 11 - / 13所以 5555，解得 22t22.因此，实数 t 的取值范围是22，22 课外拓展阅读 圆中避免求“交点”的几种策略有关圆锥曲线与圆的交点问题，若用解方程组的方法求出交点坐标，往往比较繁琐，有些甚至没有必要，下面举例介绍如何避免求“交点”的几种策略：1整体代入法典例 1 已知圆 C1：x2y2D1xE1yF10 和圆C2：x2y2D2xE2yF20 交于两点 A，B，则公共弦 AB 所在的直线方程为_解析 设圆 C1：x2y2D1xE1yF10 和圆C2：x2y2D2xE2yF20 任一交点的坐标是(x0，y0)，则 xyD1x0E1y0F10，xyD2x0E2y0F20.，得(D1D2)x0(E1E2)y0(F1F2)0，因为 A，B 的坐标都满足方程(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0，所以是过 A，B 两点的直线方程而过 A，B 两点的直线是唯一的，故方程就是公共弦 AB 所在的直线方程答案 (D1D2)x(E1E2)yF1F202数形结合法典例 2 已知曲线 xy1 与圆 M：x2y24x4y30 相交于 A，B 两点，则 AB 的中垂线方程为_- 12 - / 13解析 曲线 xy1 是反比例函数，其图象关于直线 yx 对称，而圆 M 的圆心(2,2)在直线 yx 上，就是说圆 M 也关于直线 yx 对称，故 AB 的中垂线方程为 yx.答案 yx方法点睛数形结合思想，通过“以形助数，以数解形” ，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，往往能起到化繁为简，化难为易的作用，使一些看似复杂的问题通过作图得以轻松解决3根与系数之间的关系典例 3 过点 A(0,3)作直线 l 与圆 C：x2y22x4y60交于 P，Q 两点，且 OPOQ，则直线 l 的方程为_解析 由题意，斜率不存在的直线不符合题意，设直线 l：ykx3，代入圆的方程式整理，得(1k2)x22(k1)x90.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x2，x1x2.所以 y1y2(kx13)(kx23)k2x1x23k(x1x2)9.而 OPOQx1x2y1y20，联立解得，k0 或 k1，故所求直线为 y3 或 xy30.答案 y3 或 xy304巧设方程法典例 4 过点 A(0,1)，B(4，m)且与 x 轴相切的圆有且只有一- 13 - / 13个，求实数 m 的值和这个圆的方程解 设所求的圆的方程为(xa)2(yb)2r2，其中 r2b2.将 A，B 的坐标代入，得消去 b，得(1m)a28a(m2m16)0.(*)由题设，得知方程(*)只有一解因此(1)当 1m0，即 m1 时，方程(*)只有一解，此时 a2，b.故所求方程为(x2)222.(2)当 m1 时，方程(*)为关于 a 的一元二次方程，故 0，解得 m0，此时 a4，b.故所求方程(x4)222.