高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-9函数模型及其应用学案理.doc

- 1 - / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第二章函数概念与精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数基本初等函数2-92-9 函数模型及其应用学案理函数模型及其应用学案理考纲展示 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用考点 1 用函数图象刻画实际问题中两个变量的变化过程典题 1 (1)2017·浙江湖州模拟物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )A BC D答案 B(2)已知正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 从点 B 开始沿折线 BCDA向点 A 运动设点 P 运动的路程为 x，ABP 的面积为 S，则函数 Sf(x)的图象是( )A BC D答案 D解析 依题意知，当 0x4 时，f(x)2x；- 2 - / 14当 40 且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a>0 且a1)幂函数f(x)axnb(a，b为常数，a0)- 4 - / 14模型2三种函数模型的性质函数性质 yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的增减性单调_单调_单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与_平行随x的增大逐渐表现为与_平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有 logax162，最后得出安装 3 个就可以，这是错误的复利公式(1)某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为 r，存期是 x，本利和(本金加利息)为 y 元，则本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式是_答案：ya(1r)x(2)人口的增长、细胞分裂的个数以及存款利率(复利)的计算等问题都可以用_函数模型解决答案：指数考情聚焦 高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现，考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题主要有以下几个命题角度：角度一二次函数模型典题 3 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：yx2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为 100 元则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位- 6 - / 14不亏损？解 设该单位每月获利为 S，则 S100xy100x(1 2x2200x80 000)x2300x80 000(x300)235 000，因为 400x600，所以当 x400 时，S 有最大值40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能不亏损点石成金 二次函数模型问题的三个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题角度二构造分段函数模型典题 4 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 或 30 以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30，则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解 (1)设旅行团人数为 x，由题得 00)模型典题 5 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系 C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；- 8 - / 14(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值解 (1)由已知条件得 C(0)8，则 k40，因此 f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x101021070(万元)，当且仅当 6x10，即 x5 时等号成立所以当隔热层厚度为 5 cm 时，总费用 f(x)达到最小值，最小值为 70 万元点石成金 应用函数模型 yx的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数 f(x)ax 与反比例函数 f(x)叠加而成的(2)解决实际问题时一般可以直接建立 f(x)ax的模型，有时可以将所列函数关系式转化为 f(x)ax的形式(3)利用模型 f(x)ax求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件角度四构建指、对函数或复杂的分式结构函数模型典题 6 已知一容器中有 A，B 两种菌，且在任何时刻 A，B 两种菌的个数乘积为定值 1010，为了简单起见，科学家用 PAlg nA 来记录 A 菌个数的资料，其中 nA 为 A 菌的个数，现有以下几种说法：PA1；若今天的 PA 值比昨天的 PA 值增加 1，则今天的 A 菌个数比昨天的 A 菌个数多 10；- 9 - / 14假设科学家将 B 菌的个数控制为 5 万，则此时 5200，两边同时取对数，得 n1>，又3.8，则n>4.8，即 a5 开始超过 200，所以 2019 年投入的研发资金开始超过200 万元，故选 B.22015·北京卷汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是( )A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案：D解析：根据图象所给数据，逐个验证选项- 11 - / 14根据图象知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，故选项 A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项 B 错；甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升，行驶 1 小时，里程为 80 千米，消耗 8 升汽油，故选项 C 错；最高限速 80 千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项 D 对32014·湖南卷某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )BA.p1q11 2D1C.答案：D解析：设年平均增长率为 x，原生产总值为 a，则(p1)(q1)aa(1x)2，解得 x1，故选 D.42015·四川卷某食品的保鲜时间 y(单位：h)与储藏温度x(单位：)满足函数关系 yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b 为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是 192 h，在 22 的保鲜时间是 48 h，则该食品在 33 的保鲜时间是_h.答案：24解析：由已知条件，得 192eb， bln 192.又48e22kbe22kln 192192e22k192(e11k)2，e11k) ) .设该食品在 33 的保鲜时间是 t h，则te33kln 192192e33k192(e11k)3192×324.课外拓展阅读 - 12 - / 14利用函数模型巧解抽象函数问题函数部分有一类抽象函数问题，这类问题给定函数 f(x)的某些性质，要证明它的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或方程这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“模型” ，若能分析猜测出这个函数模型，结合这个函数模型的其他性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单获解典例 1 已知函数 f(x)对任意实数 x，y 均有 f(xy)f(x)f(y)，且当 x>0 时有 f(x)>0，f(1)2，求 f(x)在2,1上的值域思路分析 判断fx的单调性代入特殊值猜测fx的函数模型为fxkxk 0得出fx在2，1上的值域解 因为对任意实数 x，y 均有 f(xy)f(x)f(y)，令 xy0，则 f(0)f(0)f(0)，故 f(0)0；再令 yx，则 f(xx)f(x)f(x)0，所以 f(x)f(x)，即 f(x)为奇函数设 x10.因为当 x>0 时，f(x)>0，所以 f(x2x1)>0.所以 f(x2)f(x1)f(x2x1)>0，所以 f(x)为 R 上的增函数又 f(2)f(11)2f(1)4，f(1)f(1)2，所以当 x2,1时，f(x)4,2典例 2 设函数 f(x)的定义域是 R，对于任意实数 m，n，恒有f(mn)f(m)·f(n)，且当 x>0 时，01；- 13 - / 14(2)判断 f(x)在 R 上的单调性思路分析 (1)证明 因为对任意实数 m，n，恒有 f(mn)f(m)·f(n)，令 m1，n0，则 f(1)f(1)·f(0)因为当 x>0 时，00，所以 f(0)f(x)·f(x)，所以 f(x)>1.即当 x1.(2)解 设 x10，所以 00，所以 f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)·f(x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)10，y>0)；f(xy)f(x)f(y)(x>0，y>0)正比例函数f(x)kx(k0)f(x)f(y)f(xy)(x，yR R)；f(xy)(x，yR R，f(y)0)指数函数f(x)ax(a>0，a1)f(xy)f(x)f(y)(x>0，y>0)；ff(x)f(y)(x>0，y>0)(x y)对数函数f(x)logax(a>0，a1)f(xy)f(x)f(y)(x，yR R)；f(x，yR R，y0)(x y)幂函数f(x)xn