高考数学一轮复习第五章平面向量5-3平面向量的数量积学案理.doc

- 1 - / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第五章平面向量精选高考数学一轮复习第五章平面向量 5-35-3 平平面向量的数量积学案理面向量的数量积学案理考纲展示 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系考点 1 平面向量的数量积的运算1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，记a，b，则AOB(0°180°)叫做向量 a 与 b 的夹角(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为，则_ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即a·b_，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a0.(3)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a的方向上的投影_的乘积答案：(2)|a|b|cos |a|b|cos (3)|b|cos 2平面向量数量积的运算律(1)a·bb·a(交换律)(2)a·b(a·b)a·(b)(结合律)(3)(ab)·c_(分配律)答案：(3)a·cb·c- 2 - / 12(1)教材习题改编在ABC 中，·>0，则ABC 是_三角形答案：钝角解析：由向量夹角的定义可知，与的夹角为 B，则·|cos(B)>0，得 cos(B)>0，cos B (4)0， b，e1b，e230°.由 b·e11，得|b|e1|cos 30°1， |b|.(2)2017·河北石家庄模拟已知平面向量 a，b 的夹角为，|a|2，|b|1，则|ab|_.答案 3解析 |ab|2|a|22a·b|b|242|a|b|cos 1523，|ab|.角度二平面向量的夹角- 7 - / 12典题 3 (1)2017·湖南衡阳八中高三月考若向量 a，b 的夹角为，且|a|2，|b|1，则 a 与 a2b 的夹角为( )B. A. D.C. 5 6答案 A解析 设向量 a 与 a2b 的夹角等于 ，因为向量 a，b 的夹角为，且|a|2，|b|1，所以 a·(a2b)a22a·b42×2×1×cos 6，|a2b|2，cos .0，.故选 A.(2)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，cta(1t)b.若b·c0，则 t_.答案 2解析 b·cb·ta(1t)bta·b(1t)b2t|a|b|cos 60°(1t)|b|2t1tt10，t2.角度三平面向量的垂直典题 4 已知向量与的夹角为 120°，且|3，|2.若，且，则实数 的值为_答案 7 12解析 ，由于，所以·0，即()·()22(1)·94(1)×3×2×0，解得.- 8 - / 12点石成金 平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意 0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：aba·b0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2a·a|a|2 或|a|.|a±b|.若 a(x，y)，则|a|.真题演练集训 12016·新课标全国卷已知向量，则ABC( )B45° A30° D120°C60° 答案：A解析：由两向量的夹角公式，可得cosABC，则ABC30°.22016·北京卷设 a，b 是向量，则“|a|b|”是“|ab|ab|”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案：D解析：取 ab0，则|a|b|0，|ab|0|0.|ab|2a|0，所以|ab|ab|，故由|a|b|推不出|ab|ab|.- 9 - / 12由|ab|ab|，得|ab|2|ab|2，整理得 a·b0，所以 ab，不一定能得出|a|b|，故由|ab|ab|推不出|a|b|.故“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要条件故选 D.32015·重庆卷若非零向量 a，b 满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则 a 与 b 的夹角为( )B. A. DC. 答案：A解析：由(ab)(3a2b)，得(ab)·(3a2b)0，即 3a2a·b2b20.又 |a|b|，设a，b，即 3|a|2|a|b|cos 2|b|20， |b|2|b|2·cos 2|b|20. cos .又 0， .42014·新课标全国卷设向量 a，b 满足|ab|，|ab|，则 a·b( )B2 A1 D5C3 答案：A解析：由条件可得，(ab)2 10，(ab)2 6，两式相减得4a·b4，所以 a·b1.- 10 - / 1252016·天津卷已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得DE2EF，则·BC的值为( )B. A D.C. 11 8答案：B解析：如图，设m，n.根据已知得，m，所以mn，mn，··(mn)AFm2n2m·n.6.2016·浙江卷已知向量 a，b，|a|1，|b|2.若对任意单位向量 e，均有|a·e|b·e| ，则 a·b 的最大值是_答案：1 2解析：由题意，令 e(1,0)，a(cos ，sin )，b(2cos ，2sin )，则由|a·e|b·e|，可得|cos |2|cos |.令 sin 2sin m.2 2，得 4|cos cos |sin sin 1m2 对一切实数 ， 恒成立，所以 4|cos cos |sin sin 1.故 a·b2(cos cos sin sin )2|cos cos |sin sin .- 11 - / 12课外拓展阅读 以向量为背景的创新题典例 1 (1)对任意两个非零的平面向量 和 ，定义·，若两个非零的平面向量 a，b 满足 a 与 b 的夹角 ，且a·b 和 b·a 都在集合中，则 a·b 等于( )B. A. D.C1 1 2答案 D 审题视角 先根据定义表示 a·b 和 b·a，利用其属于集合，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出 cos ，然后利用 确定 cos 的取值范围，结合集合中 nZ 的限制条件即可确定 n 的值，从而求出 a·b 的值解析 根据新定义，得a·ba·bcoscos ，b·ab·acoscos .又因为 a·b 和 b·a 都在集合中，设 a·b，b·a(n1，n2Z)，那么(a·b)·(b·a)cos2，又 ，故 cos2，所以 0<n1n2<2.所以 n1，n2 的值均为 1.故 a·b.(2)设向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积ab(a1b1，a2b2)已知向量 m，n，点 P(x，y)在 ysin x的图象上运动，Q 是函数 yf(x)图象上的点，且满足mn(其中- 12 - / 12O 为坐标原点)，则函数 yf(x)的值域是_答案 1 2，1 2审题视角 根据定义先写出 m，进而求出，确定函数 yf(x)的解析式解析 设 Q(c，d)，由新的运算可得mn( 3，0)OQ，由消去 x，得dsin，所以 yf(x)sin，易知 yf(x)的值域是.方法点睛解答创新型问题时，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，将问题转化为我们熟悉的定义运算，然后确定解题策略，根据题目条件进行求解