高考数学一轮复习第八章立体几何8-7立体几何中的向量方法(一)__证明平行与垂直理.doc

1 / 18【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何精选高考数学一轮复习第八章立体几何 8-78-7 立立体几何中的向量方法体几何中的向量方法( (一一)_)_证明平行与垂直理证明平行与垂直理1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 内两不共线向量，n 为平面 的法向量，则求法向量的方程组为Error!2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2，则 l1l2(或 l1 与l2 重合)v1v2.(2)设直线 l 的方向向量为 v，与平面 共面的两个不共线向量 v1和 v2，则 l 或 l存在两个实数 x，y，使 vxv1yv2.(3)设直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，则 l 或lvu.(4)设平面 和 的法向量分别为 u1，u2，则 u1 u2.3用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2，则l1l2v1v2v1·v20.(2)设直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，则lvu.(3)设平面 和 的法向量分别为 u1 和 u2，则u1u2u1·u20.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)2 / 18(1)直线的方向向量是唯一确定的( × )(2)平面的单位法向量是唯一确定的( × )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行( )(5)若 ab，则 a 所在直线与 b 所在直线平行( × )(6)若空间向量 a 平行于平面 ，则 a 所在直线与平面 平行( × )1已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是( )A(1,1,1) B(1，1,1)C(，) D(， ，)答案 C解析 设 n(x，y，z)为平面 ABC 的法向量，则化简得Error!xyz.故选 C.2直线 l 的方向向量 a(1，3,5)，平面 的法向量n(1,3，5)，则有( )Al BlCl 与 斜交 Dl 或 l答案 B解析 由 an 知，na，则有 l，故选 B.3平面 的法向量为(1,2，2)，平面 的法向量为(2，4，k)，若 ，则 k 等于( )A2 B4 C4 D2答案 C3 / 18解析 ，两平面法向量平行，k4.4(教材改编)设 u，v 分别是平面 ， 的法向量，u(2,2,5)，当 v(3，2,2)时， 与 的位置关系为_；当v(4，4，10)时， 与 的位置关系为_答案 解析 当 v(3，2,2)时，u·v(2,2,5)·(3，2,2)0.当 v(4，4，10)时，v2u.5(教材改编)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是底面正方形 ABCD 的中心，M 是 D1D 的中点，N 是 A1B1 的中点，则直线ON，AM 的位置关系是_答案 垂直解析 以 A 为原点，分别以， ，所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，则 A(0,0,0)，M(0,1，)，O(， ，0)，N(，0,1)，·(0,1，)·(0，1)0，ON 与 AM 垂直.题型一 利用空间向量证明平行问题例 1 (2016·重庆模拟)如图所示，平面 PAD平面 ABCD，ABCD 为正方形，PAD 是直角三角形，且 PAAD2，E，F，G 分别是线段PA，PD，CD 的中点求证：PB平面 EFG.证明 平面 PAD平面 ABCD，ABCD 为正方形，PAD 是直角三角形，且 PAAD，AB，AP，AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，4 / 18P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，设st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得 st2，22，又与不共线，与共面PB平面 EFG，PB平面 EFG.引申探究本例中条件不变，证明平面 EFG平面 PBC.证明 (0,1,0)，(0,2,0)，2，BCEF.又EF平面 PBC，BC平面 PBC，EF平面 PBC，同理可证 GFPC，从而得出 GF平面 PBC.又 EFGFF，EF平面 EFG，GF平面 EFG，平面 EFG平面 PBC.思维升华 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算(2016·北京××区模拟)正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1C，B1C1 的中点求证：MN平面 A1BD.证明 如图所示，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x5 / 18轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，则 M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是(，0，)，(1,0,1)，(1,1,0)设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y，z)，则 n·0，且 n·0，得Error!取 x1，得 y1，z1.所以 n(1，1，1)又·n(，0，)·(1，1，1)0，所以n.又 MN平面 A1BD，所以 MN平面 A1BD.题型二 利用空间向量证明垂直问题命题点 1 证线面垂直例 2 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 的中点求证：AB1平面 A1BD.证明 方法一 设平面 A1BD 内的任意一条直线 m 的方向向量为 m.由共面向量定理，则存在实数 ，使 m.令a，b，c，显然它们不共面，并且|a|b|c|2，a·ba·c0，b·c2，以它们为空间的一个基底，则ac，ab，ac，m ma abbcc，·m(ac)·AB1(1 2)abc4240.故m，结论得证方法二 取 BC 的中点 O，连接 AO.6 / 18因为ABC 为正三角形，所以 AOBC.因为在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，平面 ABC平面 BCC1B1，所以 AO平面 BCC1B1.取 B1C1 的中点 O1，以 O 为原点，分别以， ，所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y，z)，(1,2，)，(2,1,0)因为 n，n，故Error!令 x1，则 y2，z，故 n(1,2，)为平面 A1BD 的一个法向量，而(1,2，)，所以n，所以n，故 AB1平面 A1BD.命题点 2 证面面垂直例 3 (2017·武汉月考)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面 PAD底面 ABCD，且 PAPDAD，设 E，F分别为 PC，BD 的中点(1)求证：EF平面 PAD；(2)求证：平面 PAB平面 PDC.证明 (1)如图，取 AD 的中点 O，连接 OP，OF.因为 PAPD，所以 POAD.因为侧面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，7 / 18所以 PO平面 ABCD.又 O，F 分别为 AD，BD 的中点，所以 OFAB.又 ABCD 是正方形，所以 OFAD.因为 PAPDAD，所以 PAPD，OPOA.以 O 为原点，OA，OF，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(，0,0)，F(0， ，0)，D(，0,0)，P(0,0，)，B(，a,0)，C(，a,0)因为 E 为 PC 的中点，所以 E(， ，)易知平面 PAD 的一个法向量为(0， ，0)，因为(，0，)，且·(0， ，0)·(，0，)0，所以 EF平面 PAD.(2)因为(，0，)，(0，a,0)，所以·(，0，)·(0，a,0)0，所以，所以 PACD.又 PAPD，PDCDD，所以 PA平面 PDC.又 PA平面 PAB，所以平面 PAB平面 PDC.思维升华 证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；8 / 18其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可(2016·青岛模拟)如图，在多面体 ABCA1B1C1 中，四边形 A1ABB1 是正方形，ABAC，BCAB，B1C1 綊 BC，二面角A1ABC 是直二面角求证：(1)A1B1平面 AA1C；(2)AB1平面 A1C1C.证明 (1)二面角 A1ABC 是直二面角，四边形 A1ABB1 为正方形，AA1平面 BAC.又ABAC，BCAB，CAB90°，即 CAAB，AB，AC，AA1 两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系，点 A 为坐标原点，设 AB2，则 A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)(0,2,0)，(0,0，2)，(2,0,0)，A1B1设平面 AA1C 的一个法向量 n(x，y，z)，则即Error!即取 y1，则 n(0,1,0)2n，即n.A1B1平面 AA1C.(2)易知(0,2,2)，(1,1,0)，(2,0，2)，设平面 A1C1C 的一个法向量 m(x1，y1，z1)，9 / 18则即Error!令 x11，则 y11，z11，即 m(1，1,1)·m0×12×(1)2×10，m.又 AB1平面 A1C1C，AB1平面 A1C1C.题型三 利用空间向量解决探索性问题例 4 (2016·北京)如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面 PAB；(2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；(3)在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM平面 PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由(1)证明 平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面ABCDAD，ABAD，AB平面 ABCD，AB平面 PAD.PD平面 PAD，ABPD.又 PAPD，PAABA，且 PA，PB平面 PAB，PD平面 PAB.(2)解 取 AD 中点 O，连接 CO，PO，PAPD，POAD.又PO平面 PAD，平面 PAD平面 ABCD，PO平面 ABCD，CO平面 ABCD，10 / 18POCO，ACCD，COAD.以 O 为原点建立如图所示空间直角坐标系易知 P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0，1,0)，C(2,0,0)则(1,1，1)，(0，1，1)，(2,0，1)(2，1,0)CD设 n(x0，y0,1)为平面 PCD 的一个法向量由得解得Error!即 n.设 PB 与平面 PCD 的夹角为 .则 sin |cosn， |1211|1 411 ×3.(3)解 设 M 是棱 PA 上一点，则存在 0,1使得，因此点M(0,1，)，(1，)，BM平面 PCD，BM平面 PCD，·n0，即(1，)·0，解得 ，在棱 PA 上存在点 M 使得 BM平面 PCD，此时.思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点” ，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在” (2016·深圳模拟)如图所示，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD平面 ABCD，NB平面 ABCD，且 MDNB1，E 为 BC 的中点11 / 18(1)求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值；(2)在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES平面 AMN？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由解 (1)如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Dxyz，依题意得 D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(，1,0)，所以(，0，1)，(1,0,1)，因为|cos， |.所以异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值为.(2)假设在线段 AN 上存在点 S，使得 ES平面 AMN.连接 AE，如图所示因为(0,1,1)，可设(0，)，又(，1,0)，所以(，1，)由 ES平面 AMN，得即解得 ，此时(0， ，)，|.经检验，当 AS时，ES平面 AMN.故线段 AN 上存在点 S，使得 ES平面 AMN，此时 AS.19利用向量法解决立体几何问题典例 (12 分)(2016·吉林实验中学月考)如图 1 所示，正ABC 的边长为 4，CD 是 AB 边上的高，E，F 分别是 AC 和 BC 边的中点，现将ABC 沿 CD 翻折成直二面角 ADCB，如图 2 所示(1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角 EDFC 的余弦值；12 / 18(3)在线段 BC 上是否存在一点 P，使 APDE？证明你的结论思想方法指导 对于较复杂的立体几何问题可采用向量法(1)用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想(2)两种思路：选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题规范解答解 (1)AB平面 DEF，理由如下：在ABC 中，由 E，F 分别是 AC，BC 中点，得 EFAB.又 AB平面 DEF，EF平面 DEF，AB平面 DEF.1 分(2)以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0， ，1)，F(1， ，0)，3 分易知平面 CDF 的法向量为(0,0,2)，设平面 EDF 的法向量为 n(x，y，z)，则即取 n(3，3)，cos，n，二面角 EDFC 的余弦值为.6 分(3)设 P(x，y,0)，则·y20，y.又(x2，y,0)，(x,2y,0)，(x2)(2y)xy，13 / 18xy2.9 分把 y代入上式得 x，P(， ，0)，在线段 BC 上存在点 P(， ，0)，使 APDE.12 分1(2016·茂名调研)已知 a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)若 a，b，c 三向量共面，则实数 等于( )A. B. C. D.65 7答案 D解析 由题意得 ctab(2t，t4，3t2)，Error!2(2017·西安质检)若平面 ， 的法向量分别是 n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则( )A BC， 相交但不垂直 D以上答案均不正确答案 C解析 n1·n22×(3)(3)×15×(4)0，n1 与 n2 不垂直，且不共线 与 相交但不垂直3已知平面 内有一点 M(1，1,2)，平面 的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点 P 中，在平面 内的是( )AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)答案 A解析 逐一验证法，对于选项 A，(1,4,1)，·n61260，n，点 P 在平面 内，同理可验证其他14 / 18三个点不在平面 内4若，则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是( )A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内答案 D解析 ，、 、共面，AB 与平面 CDE 平行或在平面 CDE 内5设 u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面 ， 的法向量若 ，则 t 等于( )A3 B4 C5 D6答案 C解析 ，则 u·v2×62×(4)4t0，t5.6(2016·泰安模拟)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，棱长为 a，M，N 分别为 A1B 和 AC 上的点，A1MAN，则 MN 与平面BB1C1C 的位置关系是( )A斜交 B平行C垂直 DMN 在平面 BB1C1C 内答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，由于 A1MAN，则 M(a， ，)，N(， ，a)，(，0，)又 C1D1平面 BB1C1C，所以(0，a,0)为平面 BB1C1C 的一个法向量因为·0，所以，又 MN平面 BB1C1C，15 / 18所以 MN平面 BB1C1C.7(2017·广州质检)已知平面 内的三点 A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面 的一个法向量 n(1，1，1)，则不重合的两个平面 与 的位置关系是_答案 解析 设平面 的法向量为 m(x，y，z)，由 m·0，得 x·0yz0yz，由 m·0，得 xz0xz，取 x1，m(1,1,1)，mn，mn，.8(2016·潍坊模拟)已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面 ABCD 的法向量；.其中正确的是_答案 解析 ·0，·0，ABAP，ADAP，则正确又与不平行，是平面 ABCD 的法向量，则正确(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误*9.如图，圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形，O 为底面中心，M 为 SO 中点，动点 P 在圆锥底面内(包括圆周)若 AMMP，则点 P 形成的轨迹长度为_答案 7216 / 18解析 由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示则 A(0，1,0)，B(0,1,0)，S(0,0，)，M(0,0，)，设 P(x，y,0)，(0,1，)，(x，y，)，即 y，点 P 的轨迹方程为 y.根据圆的弦长公式，可得点 P 形成的轨迹长度为 2 .10.如图，在三棱锥 PABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，PO平面ABC，垂足 O 落在线段 AD 上已知 BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点 M 是线段 AP 上一点，且 AM3.试证明平面 AMC平面 BMC.证明 (1)如图所示，以 O 为坐标原点，OD，OP 所在直线为 y 轴，z轴，建立空间直角坐标系 Oxyz.则 O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)于是(0,3,4)，(8,0,0)，BC·(0,3,4)·(8,0,0)0，即 APBC.(2)由(1)知 AP5，又 AM3，且点 M 在线段 AP 上，又(8,0,0)，(4,5,0)，(4，5,0)，BA，则·(0,3,4)·0，即 APBM，17 / 18又根据(1)的结论知 APBC，且 BMBCB，AP平面 BMC，于是 AM平面 BMC.又 AM平面 AMC，故平面 AMC平面 BMC.11(2016·长沙模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，PD底面ABCD，底面 ABCD 为正方形，PDDC，E、F 分别是 AB、PB 的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面 PAD 内求一点 G，使 GF平面 PCB，并证明你的结论(1)证明 如图，分别以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设 ADa，则 D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.，(0，a,0)EF·0，即 EFCD.(2)解 设 G(x,0，z)，则，若使 GF平面 PCB，则由··(a,0,0)a0，得 x；由··(0，a，a)a0，得 z0.G 点坐标为，即 G 为 AD 的中点*12.如图所示，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90°，BFFC，H 是 BC 的中点18 / 18(1)求证：FH平面 EDB；(2)求证：AC平面 EDB.证明 (1)四边形 ABCD 为正方形，ABBC.又 EFAB，EFBC.又 EFFB，FBBCB，EF平面 BFC.EFFH，ABFH.又 BFFC，H 为 BC 的中点，FHBC.又 ABBCB，FH平面 ABC.以 H 为坐标原点，为 x 轴正方向，为 z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系设 BH1，则 A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1，2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)设 AC 与 BD 的交点为 G，连接 GE，GH，则 G(0，1,0)，(0,0,1)，又(0,0,1)，.又 GE平面 EDB，HF平面 EDB，FH平面 EDB.(2)(2,2,0)，(0,0,1)，·0，ACACGE.又 ACBD，EGBDG，AC平面 EDB.