高考数学一轮复习第八章立体几何8.doc

1 / 11【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何精选高考数学一轮复习第八章立体几何 8 8时间：45 分钟基础组1.2016·枣强中学猜题若直线 l 的方向向量为a(1，1，2)，平面 的法向量为 u(2,2，4)，则( )BlAl Dl 与 斜交Cl 答案 B解析 因为直线 l 的方向向量 a(1，1,2)与平面 的法向量 u(2,2，4)共线，则说明了直线与平面垂直，故选 B.22016·衡水中学期中正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为a，点 M 在 AC1 上且，N 为 B1B 的中点，则|为( )B.aA.a D.aC.a 答案 A解析 BNBN()AA11 2，|(2 3AB16AA113AD)2a.32016·武邑中学期中平面 的一个法向量为(1,2,0)，平面 的一个法向量为(2，1,0)，则平面 和平面 的位置关系是( )2 / 11B相交但不垂直A平行 D重合C垂直 答案 C解析 由(1,2,0)·(2，1,0)1×22×(1)0×00，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直42016·衡水中学期末如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( )B.A. 53D.C. 3 5答案 A解析 设 CB1，则 CACC12，故 B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，则(0,2，1)，(2,2,1)，cos， ，即直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为.故选 A.5.2016·冀州中学猜题如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB，B1C 的中点，则 EF 和平面 ABCD 所成角的正切值为( )B.A. 22D2C. 答案 B解析 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则点 C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，F，E，(1 2，1 2，1 2)(0,0,1)为底面的一个法向量，DD1cos， ，所以 EF 和平面 ABCD 所成角 的正弦值为3 / 11sin，tan.故选 B.62016·武邑中学仿真过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA平面 ABCD，若 ABPA，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的锐二面角为( )B45°A30° D90°C60° 答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设 ABPA1，知 A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)由题意得，AD平面 ABP，设 E 为 PD 的中点，连接 AE，则 AEPD，又CD平面 PAD，AECD，又 PDCDD，AE平面 CDP.(0,1,0)，分别是平面 ABP、平面 CDP 的法向量，而， 45°，平面 ABP 与平面 CDP 所成的锐二面角为 45°.72016·衡水中学模拟若平面 的一个法向量为n(4,1,1)，直线 l 的一个方向向量为 a(2，3,3)，则 l 与 所成角的正弦值为_答案 4 1133解析 设 l 与 所成角为 ，则 sin|cosn，a|.82016·冀州中学期中已知在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 A1 到截面 AB1D1 的距离是_答案 4 3解析 如图建立空间直角坐标系 Dxyz，则 A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，4 / 11(2,0,4)，(0,2,4)，(0,0,4)，AD1设平面 AB1D1 的法向量为 n(x，y，z)，则即Error!解得 x2z 且 y2z，不妨设 n(2，2,1)，设点 A1 到平面 AB1D1 的距离为 d.则 d.92016·衡水中学仿真已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACB90°，ACBC2，AA14，D 是棱 AA1 的中点如图所示(1)求证：DC1平面 BCD；(2)求二面角 ABDC 的大小解 (1)证明：按如图所示建立空间直角坐标系由题意，可得点 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(2,0,2)，A1(2,0,4)，C1(0,0,4)于是，(2,0,2)，(2,0，2)，(2，2，2)可算得·0，·0.因此，DC1DC，DC1DB.又 DCDBD，所以 DC1平面 BDC.(2)设 n(x，y，z)是平面 ABD 的法向量，则Error!又(2,2,0)，(0,0,2)，所以取 y1，可得Error!即平面 ABD 的一个法向量是 n(1,1,0)由(1)知，是平面 DBC 的一个法向量，记 n 与的夹角为 ，则 cos，.结合三棱柱可知，二面角 ABDC 是锐角，故所求二面角 ABDC 的大小是.10. 2016·枣强中学预测如图所示的长方体 ABCDA1B1C1D15 / 11中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，BB1，M 是线段 B1D1 的中点(1)求证：BM平面 D1AC；(2)求证：D1O平面 AB1C；(3)求二面角 BAB1C 的大小解 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则点 O(1,1,0)，D1(0,0，)，(1，1，)，又点 B(2,2,0)，M(1,1，)，(1，1，)，又OD1 与 BM 不共线，OD1BM.又 OD1平面 D1AC，BM平面 D1AC，BM平面 D1AC.(2)证明：连接 OB1，·(1，1，)·(1,1，)0，·(1，1，)·(2,2,0)0，即 OD1OB1，OD1AC，又 OB1ACO，D1O平面 AB1C.(3)CBAB，CBBB1，CB平面 ABB1，(2,0,0)为平面 ABB1 的一个法向量，(1，1，)为平面 AB1C 的一个法向量cos， ，与的夹角为 60°，即二面角 BAB1C 的大小为 60°.112016·冀州中学一轮检测如图 1，在 RtABC 中，ACB30°，ABC90°，D 为 AC 中点，AEBD 于点 E，延长 AE交 BC 于点 F，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，如图 2所示(1)求证：AE平面 BCD；6 / 11(2)求二面角 ADCB 的余弦值；(3)在线段 AF 上是否存在点 M 使得 EM平面 ADC？若存在，请指明点 M 的位置；若不存在，请说明理由解 (1)证明：因为平面 ABD平面 BCD，交线为 BD，又在ABD 中，AEBD 于点 E，AE平面 ABD，所以 AE平面 BCD.(2)由(1)中 AE平面 BCD 可得 AEEF.由题意可知 EFBD，又 AEBD，如图，以 E 为坐标原点，分别以 EF，ED，EA 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 Exyz，不妨设ABBDDCAD2，则 BEED1.由图 1 条件计算得 AE，BC2，BF，则 E(0,0,0)，D(0,1,0)，B(0，1，0)，A(0,0，)，F，C(，2,0)，(，1,0)，(0,1，)由 AE平面 BCD 可知平面 DCB 的法向量为，(0,0，)，设平面 ADC 的法向量为 n(x，y，z)，则即Error!令 z1，则 y，x1，所以 n(1， ，1)因为平面 DCB 的法向量为，所以 cosn， .所以二面角 ADCB 的余弦值为.(3)设，其中 0,1由于，所以，其中 0,1所以.由·n0，即(1)0，解得 (0,1)所以在线段 AF 上存在点 M 使 EM平面 ADC，且.122016·武邑中学一轮检测如图，在长方体ABCDA1B1C1D1 中，ADAA11，AB2，点 E 在棱 AB 上移动7 / 11(1)求证：D1EA1D；(2)当 E 点为 AB 的中点时，求点 E 到平面 ACD1 的距离；(3)AE 为何值时，二面角 D1ECD 的大小为？解 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)E 在棱 AB 上移动，设 E(1，a,0)，0a2.(1，a，1)，(1,0，1)，·0，D1EA1D.(2)设平面 ACD1 的法向量为 m(x，y，z)，点 E 到平面 ACD1的距离为 h.(1,2,0)，(1,0,1)，令 y1，则 m(2,1,2)又 E(1,1,0)，(1，1,0)，CE 与平面 ACD1 所成角的正弦值为，h|·.(3)设平面 D1EC 的法向量为 n(x1，y1，z1)，(1，a，1)，(0,2，1)，令 y11，得 n(2a,1,2)易知平面 ECD 的一个法向量为(0,0,1)，则|cosn， |，可得 a2或 a2(不符合，舍去)，当 AE2时，二面角 D1ECD 的大小为.能力组132016·武邑中学月考如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，PC2，在四边形 ABCD 中，BC90°，AB4，CD1，点 M 在 PB 上，PB4PM，PB 与平面 ABCD 成 30°的角求证：(1)CM平面 PAD；(2)平面 PAB平面 PAD.证明 以 C 为坐标原点，CB 为 x 轴，CD 为 y 轴，CP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.PC平面 ABCD，8 / 11PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，PBC30°，PC2，BC2，PB4，D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，.(1)设 n(x，y，z)为平面 PAD 的一个法向量，由Error!得Error!令 y2，得 n(，2,1)n·×2×01×0，n.又 CM平面 PAD，CM平面 PAD.(2)如图，取 AP 的中点 E，连接 BE，则 E(，2,1)，(，2,1)PBAB，BEPA.又·(，2,1)·(2，3,0)0，BEDA.又 PADAA，BE平面 PAD.又BE 平面 PAB，平面 PAB平面 PAD.142016·衡水中学热身在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面ABB1A1 为矩形，AB1，AA1，D 为 AA1 的中点，BD 与 AB1 交于点O，CO侧面 ABB1A1.(1)证明：BCAB1；(2)若 OCOA，求直线 C1D 与平面 ABC 所成角的正弦值解 (1)证明：由题意 tanABD，tanAB1B，注意到 0<ABD，AB1B<，所以ABDAB1B.9 / 11所以ABDBAB1AB1BBAB1.所以 AB1BD.又 CO侧面 ABB1A1，所以 AB1CO.又 BD 与 CO 交于点 O，所以 AB1面 CBD.又因为 BC面 CBD，所以 BCAB1. (2)如图，分别以 OD，OB1，OC 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴，以 O 为原点，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 A，B，C，B1，D.又因为2，所以 C1.所以，.AC设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)，则根据·n0，·n0 可得 n(1， ，)是平面 ABC 的一个法向量，设直线 C1D 与平面 ABC 所成角为 .则 sin.152016·冀州中学期末如图，在几何体 ABCA1B1C1 中，点 A1，B1，C1 在平面 ABC 内的正投影分别为 A，B，C，且ABBC，AA1BB14，ABBCCC12，E 为 AB1 中点(1)求证：CE平面 A1B1C1；(2)求二面角 B1AC1C 的大小解 (1)证明：由题知 AA1平面 ABC，BB1平面 ABC，CC1平面 ABC，AA1BB1CC1.如图，取 A1B1 中点 F，连接 EF，FC1，E 为 AB1 中点，EF 綊 A1A.AA14，CC12，CC1 綊 A1A，EF 綊 CC1，四边形 EFC1C 为平行四边形，CEC1F.CE平面 A1B1C1，C1F平面 A1B1C1，10 / 11CE平面 A1B1C1.(2)由题知，ABBC，又 BB1平面ABC，BB1AB，BB1BC，分别以 BA，BC，BB1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0,4)，C1(0,2,2)，(2,2,0)，(0,0,2)，(2,0,4)，(0,2，2)设平面 ACC1 的法向量为 m(x1，y1，z1)，则 m·0，m·0，令 x11，得 m(1,1,0)，设平面 AB1C1 的法向量为 n(x2，y2，z2)，则 n·0，n·0，令 z21，得Error!n(2,1,1)cosm，n.由图知，二面角B1AC1C 是钝角，二面角 B1AC1C 的大小为 150°.16. 2016·衡水中学预测在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BC2AD2AB2，ABC90°，如图所示，把ABD沿 BD 翻折，使得平面 ABD平面 BCD，如图所示(1)求证：CDAB；(2)若点 M 为线段 BC 的中点，求 DM 与平面 ACD 所成角的正弦值；(3)在线段 BC 上是否存在点 N，使得 AN 与平面 ACD 所成的角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解 (1)证明：由已知条件可得，BD2，CD2，又 BD2CD2BC2，CDBD.平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，CD平面ABD.AB平面 ABD，CDAB.(2)以点 D 为原点，BD 所在的直线为 x 轴，DC 所在的直线为 y轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则各相关点的坐标为11 / 11A(1,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,1,0)(0，2,0)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1,1,0)设平面 ACD 的法向量为 n(x，y，z)，则n，n，Error!令 x1，得平面 ACD 的一个法向量为 n(1,0，1)若 DM 与平面 ACD 所成的角为 ，则 DM 与平面 ACD 所成角的正弦值为 sin|cosn， |.(3)假设在线段 BC 上存在点 N，使得 AN 与平面 ACD 所成的角为60°.设，0<<1，则 N(22，2，0)，(12，2，1)平面 ACD 的一个法向量为 n(1,0，1)，且直线 AN 与平面ACD 所成的角为 60°，sin60°，整理得 82210，或(舍去)综上所述，在线段 BC 上存在点 N，使 AN 与平面 ACD 所成的角为60°，此时.