高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数12-5复数学案理.doc

- 1 - / 11【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第十二章推理与证明算精选高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数法复数 12-512-5 复数学案理复数学案理考纲展示 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件2了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算3了解复数代数形式的加、减运算的几何意义考点 1 复数的有关概念复数的有关概念(1)复数的定义形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中实部是_，虚部是_(2)复数的分类(3)复数相等abicdi_(a，b，c，dR)(4)共轭复数abi 与 cdi 共轭_(a，b，c，dR)(5)复数的模向量的模叫做复数 zabi 的模，记作_或_，即|z|abi|(a，bR)答案：(1)a b (2) (3)ac 且 bd (4)ac 且 bd(5)|z| |abi|- 2 - / 11教材习题改编若复数 zm1(m1)i 为虚数，则实数 m 的取值范围是_答案：(，1)(1，)解析：当虚部不等于 0，即 m1 时，复数 z 为虚数.复数有关概念的误区：纯虚数；虚部；共轭复数(1)已知复数 zm21(m1)i 是纯虚数，则实数m_.(2)复数 32i 的虚部为_(3)复数 23i 的共轭复数是_答案：(1)1 (2)2 (3)23i解析：(1)由 m210 且 m10，得 m1.(2)实部为 3，虚部为2.(3)复数 23i 的共轭复数是 23i.典题 1 (1)2017·江西九江模拟设复数 z，则 z 的共轭复数为( )B.i A.i D13i C13i 答案 B解析 zi，i.(2)设 i 是虚数单位若复数 a(aR)是纯虚数，则 a 的值为( )B1 A3 D3C1 答案 D解析 复数 aa(a3)i 为纯虚数，a30，a3.- 3 - / 11(3)若复数 z 满足(34i)z|43i|，则 z 的虚部为( )B A4 D.C4 4 5答案 D解析 (34i)z|43i|5，z，z 的虚部为.(4)2016·江苏卷复数 z(12i)(3i)，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是_答案 5解析 (12i)(3i)35i2i255i，所以 z 的实部为5.点石成金 求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 abi(a，bR)的形式，再根据题意求解考点 2 复数的几何意义复数的几何意义(1)复平面的概念建立_来表示复数的平面叫做复平面(2)实轴、虚轴在复平面内，x 轴叫做_，y 轴叫做_，实轴上的点都表示_；除原点以外，虚轴上的点都表示_(3)复数的几何表示复数 zabi 复平面内的点_ 平面向量_答案：(1)直角坐标系- 4 - / 11(2)实轴 虚轴 实数 纯虚数(3)Z(a，b) OZ(1)教材习题改编在复平面内，O 是原点，向量对应的复数为2i，若点 B 是点 A 关于实轴的对称点，点 C 为点 B 关于虚轴的对称点，则点 C 对应的复数是_答案：2i解析：点 C 是点 A 关于原点的对称点，故其对应的复数是2i.(2)教材习题改编的共轭复数是 z，则|z3i|_.答案：22解析：2i，所以 z2i，所以|z3i|22i|2 .典题 2 (1)2017·吉林长春质检复数的共轭复数对应的点位于( )B第二象限 A第一象限 D第四象限 C第三象限 答案 A解析 i，所以其共轭复数为i.所以对应的点位于第一象限(2)在复平面内与复数 z所对应的点关于虚轴对称的点为 A，则A 对应的复数为( )B12i A12i D2iC2i 答案 C解析 依题意，得复数 zi(12i)2i，其对应的点的- 5 - / 11坐标是(2,1)，因此点 A(2,1)对应的复数为2i.(3)已知复数 z112i，z21i，z334i，它们在复平面上对应的点分别为 A，B，C，若(，R)，则 的值是_答案 1解析 由条件，得(3，4)，(1,2)，(1，1)，根据，得(3，4)(1,2)(1，1)(，2)，解得Error!1.点石成金 对复数几何意义的理解及应用(1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观考点 3 复数的代数运算复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)_；减法：z1z2(abi)(cdi)_；乘法：z1·z2(abi)(cdi)_；除法：i(cdi0)- 6 - / 11(2)复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3C，有z1z2_，(z1z2)z3_.(3)复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3C，有 z1·z2z2·z1，(z1·z2)·z3z1·(z2·z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.答案：(1)(ac)(bd)i (ac)(bd)i (acbd)(adbc)i(2)z2z1 z1(z2z3)掌握复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1)(1±i)2_；_；_.(2)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n3_，nN*.答案：(1)±2i i i (2)0典题 3 (1)2017·吉林实验中学模拟设复数 z1i(i 是虚数单位)，则z2( )B1iA1i D1iC1i 答案 A解析 z2(1i)21i2i1i，故选 A.(2)2016·新课标全国卷若 z12i，则( )A1 B1 Ci Di- 7 - / 11答案 C解析 z(12i)(12i)5，i，故选 C.(3)已知 i 是虚数单位，2 0166_.答案 0解析 原式1 00861 008i6i1 008i6i4×252i421i20.点石成金 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法：除法的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式.方法技巧 1.设 zabi(a，bR)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法2在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化3复数 zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法4常见结论(1)(1±i)2±2i；i；i.(2)baii(abi)(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)(4)i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)易错防范 1.判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，- 8 - / 11还需考虑它的实部是否有意义2两个虚数不能比较大小3注意复数的虚部是指在 abi(a，bR)中的实数 b，即虚部是一个实数真题演练集训 12016·新课标全国卷已知 z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是( )B(1,3)A(3,1) D(，3)C(1，) 答案：A解析：由已知，可得3<m<1.故选 A.22016·山东卷若复数 z 满足 2z32i，其中 i 为虚数单位，则 z( )B12i A12i D12iC12i 答案：B解析：设 zabi(a，bR)，则 2z2(abi)abi3abi32i，a1，b2，z12i，故选 B.32016·四川卷设 i 为虚数单位，则(xi)6 的展开式中含x4 的项为( )A15x4 B15x4 C20ix4 D20ix4答案：A解析：T3Cx4i215x4，故选 A.42016·新课标全国卷设(1i)x1yi，其中 x，y 是实数，则|xyi|( )- 9 - / 11B. A1 D2 C. 答案：B解析：x，yR，(1i)x1yi，xxi1yi，|xyi|1i|.故选 B.52016·天津卷已知 a，bR，i 是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_答案：2解析：由(1i)(1bi)a 得 1b(1b)ia，则解得所以2.62016·北京卷设 aR，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则 a_.答案：1解析：(1i)(ai)(a1)(a1)i，aR，该复数在复平面内对应的点位于实轴上，a10，a1.课外拓展阅读 利用共轭复数的性质解复数方程复数方程是复数学习中的一个重要内容，解题时，不少学生总是迫不及待地将方程中的复数 z 设为代数形式 abi(a，bR)，将复数方程转化为实数方程解决这种方法有时候是非常费时费力的有没有解决此类问题的更简单的方法呢？共轭复数的概念在复数学习中占有极其重要的地位，若能在解复数方程时灵活运用，则可以大大减少运算量，起到事半功倍的效果共轭复数的性质有很多，在此列举几条供大家参考：- 10 - / 11(1)zRz；(2)z 是纯虚数z0 且 z0 或 z2|z|2；(3)|z|2z·；(4)|z|.这些性质的应用非常广泛，下面以例题的形式展现上述性质在解复数方程中的应用典例 1 在复数集中解下列方程：(1)2zi1；(2)z(，C，且|1)解 (1)将原方程两边同时取共轭复数可得 2iz1，联立方程得解得 zi.(2)将原方程两边同时取共轭复数可得 z，联立方程得Error!从而(1)z.因为|1，所以 10，所以 z.方法探究 求解本题(1)时，常设 zabi(a，bR)，代入原方程，利用复数相等的充要条件建立方程组求 a，b.题(2)若用上述方法求解则非常繁琐典例 2 已知 zC，解方程 z·3iz13i.解 原方程可化为3iz3i1z·，因为 z·|z|2R，所以3iz3i3i3i，所以(z)3i6i，所以 z2.令 zxyi(x，yR)，则 x1.把 z1yi 代入原方程可- 11 - / 11得 y10，y23，所以原方程的解为 z11，z213i.方法探究 本题巧妙利用 zRz这一性质完成了解答本题也可以采用将原方程两边同时取共轭复数的方法解得 z2.