高考数学一轮复习第十章统计与统计案例10-3变量间的相关关系统计案例学案理.doc

- 1 - / 18【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第十章统计与统计精选高考数学一轮复习第十章统计与统计案例案例 10-310-3 变量间的相关关系统计案例学案理变量间的相关关系统计案例学案理考纲展示 1.会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系2了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程3了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用4了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用考点 1 变量间的相关关系1.常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是_；与函数关系不同，_是一种非确定性关系答案：相关关系 相关关系2从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为_，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为_答案：正相关 负相关对回归系数的理解：解释变量；预报变量某工厂工人月工资 y(元)依劳动产值 x(万元)变化的回归直线方程为900x600，下列判断正确的是_劳动产值为 10 000 元时，工资为 500 元；劳动产值提高 10 000 元时，工资提高 1 500 元；- 2 - / 18劳动产值提高 10 000 元时，工资提高 900 元；劳动产值为 10 000 元时，工资为 900 元答案：解析：回归系数的意义为：解释变量每增加 1 个单位，预报变量平均增加 b 个单位.典题 1 (1)下列四个散点图中，变量 x 与 y 之间具有负的线性相关关系的是( )A BC D答案 D解析 观察散点图可知，只有 D 选项的散点图表示的是变量 x与 y 之间具有负的线性相关关系(2)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：y 与 x 负相关且2.347x6.423；y 与 x 负相关且3.476x5.648；y 与 x 正相关且5.437x8.493；y 与 x 正相关且4.326x4.578.其中一定不正确的结论的序号是( )A BC D答案 D解析 由回归方程x知，当0 时，y 与 x 正相关，当0时，y 与 x 负相关，一定错误点石成金 相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点- 3 - / 18图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性考点 2 线性回归分析1.回归分析对具有_的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析其基本步骤是：()画散点图；()求_；()用回归直线方程作预报答案：相关关系 回归直线方程2回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在_附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线答案：一条直线3回归直线方程的求法最小二乘法设具有线性相关关系的两个变量 x，y 的一组观察值为(xi，yi)(i1,2，n)，则回归直线方程x的系数为：其中i，yi，(，)称为样本点的_答案： 中心4相关系数当 r0 时，表明两个变量_；当 r0 时，表明两个变量_r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性_r 的绝对值越接近于 0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系通常|r|大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性答案：正相关 负相关 越强教材习题改编已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的- 4 - / 18中心为(4,5)，则回归直线方程为_答案：1.23x0.08解析：设回归直线方程为1.23x，因为回归直线必过样本点的中心(x，y)，将点(4,5)代入回归直线方程得0.08，所以所求方程为1.23x0.08.变量的相关关系：散点图；回归直线过(，)某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)有如下几组样本数据.x3456y2.5344.5据相关性检验，y 与 x 具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为 0.7，那么当产量 x10 吨时，估计相应的生产能耗为_吨标准煤答案：7.35解析：先求得4.5，3.5，由0.7x过点(，)，得0.35，所以回归直线方程是0.7x0.35.当 x10 吨时，70.357.35(吨标准煤)典题 2 (1)已知 x，y 的取值如下表，从散点图可以看出 y 与x 线性相关，且回归方程为0.95x，则( )x0134y2.24.34.86.7B2.6A.3.25 D0C2.2 答案 B解析 由已知得2，4.5，- 5 - / 18因为回归方程经过点(，)，所以4.50.95×22.6.(2)由某种设备的使用年限 xi(年)与所支出的维修费 yi(万元)的数据资料算得如下结果，90，iyi112，i20，i25.求所支出的维修费 y 对使用年限 x 的线性回归方程x；()判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关；()当使用年限为 8 年时，试估计支出的维修费是多少附：在线性回归方程x中，其中，为样本平均值解 i20，i25，i4，i5，1.2，51.2×40.2.a线性回归方程为1.2x0.2.()由知，1.2>0，变量 x 与 y 之间是正相关()由知，当 x8 时，9.8，即使用年限为 8 年时，支出维修费约是 9.8 万元点石成金 1.正确理解计算，的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键2回归直线方程x必过样本点的中心(，)3在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：- 6 - / 18年份20062008201020122014需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程x；(2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地 2016 年的粮食需求量解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：年份2 01042024需求量257211101929对预处理后的数据，容易算得，0，3.2，xb4 × 212 × 112 × 194 × 295 × 0 × 3.2 422222425 × 026.5，3.2.由上述计算结果知，所求回归直线方程为257(x2 010)ay6.5(x2 010)3.2，即6.5×(x2 010)260.2.(2)利用(1)中所求回归直线方程，可预测 2016 年的粮食需求量为 6.5×(2 0162 010)260.26.5×6260.2299.2(万吨)考点 3 独立性检验1.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量2列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为- 7 - / 182×2 列联表：y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcdK2(其中 n_为样本容量)，则利用独立性检验判断表来判断“X 与 Y 的关系” 答案：abcd(1)教材习题改编为调查中学生的近视情况，测得某校 150 名男生中有 80 名近视，140 名女生中有 70 名近视在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，最有说服力的方法是_(填序号)回归分析；期望与方差；独立性检验；概率答案：解析：“近视”与“性别”是两个分类变量，其是否有关，应该用独立性检验来判断(2)教材习题改编在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有 99%以上的把握认为这个结论是成立的，有下列四种说法：100 个吸烟者中至少有 99 人患有肺癌；1 个人吸烟，那么这人有 99%的概率患有肺癌；在 100 个吸烟者中一定有患肺癌的人；在 100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有其中正确说法的序号是_答案： 对独立性检验的理解：K2 的计算；对 P(K2k0)的解释2017·湖南张家界模拟某高校教“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表：- 8 - / 18专业性别 非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到 K2 的观测值 k4.844.因为 k>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为_附表：P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828答案：5%解析：k>3.841，查临界值表，得 P(K23.841)0.05，故这种判断出错的可能性为 5%.典题 3 (1)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取 50 名学生，得到 2×2 列联表：理科文科总计男131023女72027总计203050已知 P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025.根据表中数据，得到 K24.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为_答案 5%解析 由 K24.8443.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为 5%.- 9 - / 18(2)2017·江西九江模拟某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在 40 分以下的学生后，共有男生 300名，女生 200 名现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为 6 组，得到如下所示的频数分布表.分数段40，50)50，60)60，70)70，80)80，90)90，100男39181569女64510132估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；规定 80 分以上为优分(含 80 分)，请你根据已知条件作出 2×2列联表，并判断是否有 90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.优分非优分总计男生女生总计100附表及公式：P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2.解 男45×0.0555×0.1565×0.375×0.2585×0.195×0.1571.5，女45×0.1555×0.165×0.12575×0.2585×0.32595×0.0571.5，x从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有- 10 - / 18关由频数分布表可知，在抽取的 100 名学生中， “男生组”中的优分有 15 人， “女生组”中的优分有 15 人，据此可得 2×2 列联表如下：优分非优分总计男生154560女生152540总计3070100可得 K21.79，因为 1.790，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元将 2015 年的年份代号 t9 代入(1)中的回归方程，得0.5×92.36.8，y故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元课外拓展阅读 统计案例问题的规范答题典例 2013·福建卷某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均- 17 - / 18生产件数分成 5 组：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手” ，请你根据已知条件完成 2×2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828附：K2.审题视角 由频率分布直方图列举基本事件，结合古典概型，求概率利用独立性检验公式计算 K2.解 (1)由已知得，样本中有 25 周岁以上组工人 60 名，25 周岁以下组工人 40 名所以，样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中，25 周岁以上组工人有 60×0.053(人)，记为 A1，A2，A3；25周岁以下组工人有 40×0.052(人)，记为 B1，B2.从中随机抽取 2 名工人，所有的可能结果共有 10 种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)其中，至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)故所求的概率 P.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的 100 名工人中， “25 周岁以上组”中的生产能手有 60×0.2515(人)， “25 周岁以下组”中的生- 18 - / 18产能手有 40×0.37515(人)，据此可得 2×2 列联表如下：生产能手非生产能手总计25 周岁以上组15456025 周岁以下组152540总计3070100所以 K2nadbc2 abcdacbd1.79.因为 1.79<2.706，所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” 答题模板 第 1 步：由分层抽样计算两组工人的数目；第 2 步：由频率分布直方图计算两组不足 60 件的人数；第 3 步：列举 5 人抽取 2 人的基本事件数；第 4 步，由古典概型计算概率；第 5 步：统计生产能手与非生产能手，列 2×2 列联表；第 6 步：由公式计算 K2，确定答案归纳总结(1)分层抽样比为，故 25 周岁以上有 300×60(人)，25 周岁以下的 200×40(人)，然后再根据频率计算“不足 60 件”的人数，并设定符号(2)列 2×2 列联表时，其中的数字应先由频率分布直方图算出后再列表