高考数学一轮复习课时规范练43空间几何中的向量方法理新人教B版.doc

1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习课时规范练精选高考数学一轮复习课时规范练 4343 空间几何中空间几何中的向量方法理新人教的向量方法理新人教 B B 版版基础巩固组基础巩固组1.1.若平面若平面 , 的法向量分别为的法向量分别为 n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则则( ( ) )A.B.C., 相交但不垂直D.以上均不正确2.2.已知平面已知平面 的一个法向量为的一个法向量为 n=(1,-,0),n=(1,-,0),则则 y y 轴与平面轴与平面 所成的角的所成的角的大小为大小为( ( ) )A.B.C.D.3.3.两平行平面两平行平面 , 分别经过坐标原点分别经过坐标原点 O O 和点和点 A(2,1,1),A(2,1,1),且两平面的一个且两平面的一个法向量法向量 n=(-1,0,1),n=(-1,0,1),则两平面间的距离是则两平面间的距离是( ( ) )A.B.C.D.34.4.已知向量已知向量 m,nm,n 分别是直线分别是直线 l l 和平面和平面 的方向向量和法向量的方向向量和法向量, ,若若cos=-,cos=-,则则 l l 与与 所成的角为所成的角为( ( ) )A.30°B.60°C.120°D.150°5.5.2 / 13如图,过正方形 ABCD 的顶点 A,作 PA平面 ABCD.若 PA=BA,则平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°6.(20176.(2017 广东珠海质检广东珠海质检) )设正方体设正方体 ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1 的棱长是的棱长是 2,2,则点则点 D1D1 到平到平面面 A1BDA1BD 的距离是的距离是( ( ) )A.B.C.D.7.7.如图如图, ,在正四棱锥在正四棱锥 S-ABCDS-ABCD 中中,O,O 为顶点在底面上的射影为顶点在底面上的射影,P,P 为侧棱为侧棱 SDSD 的中的中点点, ,且且 SO=OD,SO=OD,则直线则直线 BCBC 与平面与平面 PACPAC 所成的角为所成的角为 . . 导学号 215005648.8.如图如图, ,在三棱锥在三棱锥 P-ABCP-ABC 中中,AB=AC,D,AB=AC,D 为为 BCBC 的中点的中点,PO,PO平面平面 ABC,ABC,垂足垂足 O O 落落在线段在线段 ADAD 上上. .已知已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:APBC;(2)若点 M 是线段 AP 上一点,且 AM=3.试证明平面 AMC平面 BMC.9.9.在直三棱柱在直三棱柱 ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1 中中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D,AA1=AB=BC=3,AC=2,D 是是 ACAC 的中点的中点. .(1)求证:B1C平面 A1BD;(2)求点 B1 到平面 A1BD 的距离.导学号 21500565综合提升组综合提升组3 / 1310.10.在三棱锥在三棱锥 P-ABCP-ABC 中中,PA,PA平面平面 ABC,BAC=90°,D,E,FABC,BAC=90°,D,E,F 分别是棱分别是棱AB,BC,CPAB,BC,CP 的中点的中点,AB=AC=1,PA=2,AB=AC=1,PA=2,则直线则直线 PAPA 与平面与平面 DEFDEF 所成角的正弦值为所成角的正弦值为( ( ) )A.B.C.D.11.11.已知直三棱柱已知直三棱柱 ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1 中中,ACB=90°,AC=1,CB=,ACB=90°,AC=1,CB=,侧棱侧棱 AA1=1,AA1=1,侧面侧面AA1B1BAA1B1B 的两条对角线交于点的两条对角线交于点 D,D,则平面则平面 B1BDB1BD 与平面与平面 CBDCBD 所成的二面角的余所成的二面角的余弦值为弦值为( ( ) )A.-B.-C.D.12.(201712.(2017 广东广州模拟广东广州模拟) )在长方体在长方体 ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1 中中,AB=2,BC=AA1=1.,AB=2,BC=AA1=1.则则D1C1D1C1 与平面与平面 A1BC1A1BC1 所成角的正弦值为所成角的正弦值为 . . 13.(201713.(2017 山东青岛模拟山东青岛模拟, ,理理 17)17)如图如图, ,在多面体在多面体 ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1 中中, ,四边形四边形A1ABB1A1ABB1 是正方形是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1BC,AB=AC,BC=AB,B1C1BC,二面角二面角 A1-AB-CA1-AB-C 是直二面角是直二面角. .求求证证: :(1)A1B1平面 AA1C;(2)AB1平面 A1C1C.14.14.如图所示如图所示, ,四棱锥四棱锥 S-ABCDS-ABCD 的底面是正方形的底面是正方形, ,每条侧棱的长都是底面边长每条侧棱的长都是底面边长的倍的倍,P,P 为侧棱为侧棱 SDSD 上的点上的点. .4 / 13(1)求证:ACSD.(2)若 SD平面 PAC,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE平面 PAC?若存在,求 SEEC 的值;若不存在,试说明理由.创新应用组创新应用组15.(201715.(2017 宁夏中卫二模宁夏中卫二模, ,理理 18)18)如图如图, ,已知菱形已知菱形 ABCDABCD 与直角梯形与直角梯形 ABEFABEF 所在所在的平面互相垂直的平面互相垂直, ,其中其中 BEAF,ABAF,AB=BE=AF=2,CBA=.BEAF,ABAF,AB=BE=AF=2,CBA=.(1)求证:AFBC;(2)线段 AB 上是否存在一点 G,使得直线 FG 与平面 DEF 所成的角的正弦值为,若存在,求 AG 的长;若不存在,说明理由.导学号 2150056616.(201716.(2017 山西吕梁二模山西吕梁二模, ,理理 18)18)在四棱锥在四棱锥 P-ABCDP-ABCD 中中,PA,PA平面平面 ABCD,ABCD,底面底面ABCDABCD 是直角梯形是直角梯形, ,其中其中 ADBC,ABAD,AB=AD=BC,BE=BC.ADBC,ABAD,AB=AD=BC,BE=BC.(1)求证:DE平面 PAC;(2)若直线 PE 与平面 PAC 所成角的正弦值为,求二面角 A-PC-D 的平面角的余弦值.导学号 21500567参考答案课时规范练 43空间几何中的向量方法5 / 131.C1.C 因为因为 cos=0cos=0 且且 cos±1,cos±1,所以所以 , 相交但不垂相交但不垂直直. .2.B2.B 可知可知 y y 轴的方向向量为轴的方向向量为 m=(0,1,0),m=(0,1,0),设设 y y 轴与平面轴与平面 所成的角为所成的角为 ,则 sin =|cos|.cos=-,sin =,=.3.B3.B 两平面的一个单位法向量两平面的一个单位法向量 n0=,n0=,故两平面间的距离故两平面间的距离 d=|·n0|=.d=|·n0|=.4.A4.A 因为因为 cos=-,cos=-,所以所以 l l 与与 所成角所成角 满足满足 sinsin =|cos|=,=|cos|=,又又 ,所以所以 =30°.=30°.5.B5.B ( (方法一方法一) )建立如图建立如图 1 1 所示的空间直角坐标系所示的空间直角坐标系, ,不难求出平面不难求出平面 APBAPB 与平与平面面 PCDPCD 的法向量分别为的法向量分别为 n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面故平面 ABPABP 与平面与平面 CDPCDP所成二面角的余弦值为所成二面角的余弦值为, ,故所求的二面角的大小是故所求的二面角的大小是 45°.45°.(方法二)将其补成正方体.如图 2,不难发现平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角就是平面 ABQP 和平面 CDPQ 所成的二面角,其大小为 45°.6.D6.D 建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系, ,则则 D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),B(2,2,0),=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0).设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),6 / 13则令 x=1,则 n=(1,-1,-1),点 D1 到平面 A1BD 的距离是 d=.7.30°7.30° 如图所示如图所示, ,以以 O O 为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系. .设 OD=SO=OA=OB=OC=a,则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P.则=(2a,0,0),=(a,a,0).设平面 PAC 的法向量为 n,可求得 n=(0,1,1),则 cos=.=60°,直线 BC 与平面 PAC 所成角为 90°-60°=30°.8.8.证明证明 (1)(1)如图所示如图所示, ,以以 O O 为坐标原点为坐标原点, ,以射线以射线 OPOP 为为 z z 轴的正半轴建立空轴的正半轴建立空间直角坐标系间直角坐标系. .则 O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是=(0,3,4),=(-8,0,0),=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,即 APBC.7 / 13(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且点 M 在线段 AP 上,又=(-4,-5,0),则=(0,3,4)·=0,即 APBM,又根据(1)的结论知 APBC,AP平面 BMC,于是 AM平面 BMC.又 AM平面 AMC,故平面 AMC平面 BCM.9.(1)9.(1)证明证明 连接连接 AB1AB1 交交 A1BA1B 于点于点 E,E,连接连接 DE.DE.可知 E 为 AB1 的中点,D 是 AC 的中点,DEB1C.又 DE平面 A1BD,B1C平面 A1BD,B1C平面 A1BD.(2)解 建立如图所示的空间直角坐标系,则 B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3).设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),n=(3,0,1).故所求距离为 d=.10.C10.C 以以 A A 为原点为原点,AB,AC,AP,AB,AC,AP 所在直线分别为所在直线分别为 x x 轴轴,y,y 轴轴,z,z 轴建立空间直轴建立空间直角坐标系角坐标系( (图略图略),),由由 AB=AC=1,PA=2,AB=AC=1,PA=2,得得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),8 / 13P(0,0,2),D,E,F,=(0,0,-2),.P(0,0,2),D,E,F,=(0,0,-2),.设平面 DEF 的法向量为 n=(x,y,z),则由得取 z=1,则 n=(2,0,1),设 PA 与平面 DEF 所成的角为 ,则 sin =,PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为.11.A11.A 建立如图所示的空间直角坐标系,则 C(0,0,0),B(,0,0),A(0,1,0),B1(,0,1),D=(,0,0),=(-,1,0),=(0,0,1).设平面 CBD 和平面 B1BD 的法向量分别为 n1,n2,可得 n1=(0,1,-1),n2=(1,0),所以 cos=,又平面B1BD 与平面 CBD 所成的二面角的平面角与互补,故平面 B1BD 与平面 CBD 所成的二面角的余弦值为-.12.12. 建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系, ,由于由于 AB=2,BC=AA1=1,AB=2,BC=AA1=1,所以所以A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),D1(0,0,1).A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),D1(0,0,1).9 / 13所以=(-1,2,0),=(-1,0,1),=(0,2,0),设平面 A1BC1 的法向量为n=(x,y,z),则有令 x=2,则 y=1,z=2,则 n=(2,1,2).又设 D1C1 与平面 A1BC1 所成的角为 ,则 sin =|cos|=.13.13.证明证明 二面角二面角 A1-AB-CA1-AB-C 是直二面角是直二面角, ,四边形四边形 A1ABB1A1ABB1 为正方形为正方形,AA1,AA1平面平面 BAC.BAC.又 AB=AC,BC=AB,CAB=90°,即 CAAB,AB,AC,AA1 两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设 AB=2,则 A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),设平面 AA1C 的一个法向量 n=(x,y,z),则取 y=1,则 n=(0,1,0).=2n,即n.A1B1平面 AA1C.10 / 13(2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),设平面 A1C1C 的法向量m=(x1,y1,z1),则令 x1=1,则 y1=-1,z1=1,即 m=(1,-1,1).·m=0×1+2×(-1)+2×1=0,m.又 AB1平面 A1C1C,AB1平面 A1C1C.14.(1)14.(1)证明证明 连接连接 BD,BD,设设 ACAC 交交 BDBD 于点于点 O,O,连接连接 SO,SO,则则 ACBD,ACBD,由题意知 SO平面 ABCD.以 O 为坐标原点,的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系如图.设底面边长为 a,则高 SO=a,于是 S,D,C,则=0.故 OCSD.从而 ACSD.(2)解 棱 SC 上存在一点 E 使 BE平面 PAC.理由如下:由已知条件知是平面 PAC 的一个法向量,且 0,-a,.设=t,则+t,11 / 13由=0,解得 t=.当 SEEC=21 时,.又 BE平面 PAC,故 BE平面 PAC.15.(1)15.(1)证明证明 菱形菱形 ABCDABCD 与直角梯形与直角梯形 ABEFABEF 所在的平面互相垂直所在的平面互相垂直,ABAF,ABAF,AF平面 ABCD,BC平面 ABCD,AFBC.(2)解 取 AB 的中点 O,连接 CO,则 COAB,平面 ABCD平面 ABEF,CO平面 ABEF.建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(-2,0,),F(-1,4,0),E(1,2,0),=(1,4,-),=(-2,2,0),设平面 DEF 的法向量为 n=(x,y,z),则即取 n=,设 G(,0,0),-1,1,则=(-1,4,0).直线 FG 与平面 DEF 所成的角的正弦值为,=-1-1,1,12 / 13AG=0,直线 FG 与平面 DEF 所成的角的正弦值为.16.(1)16.(1)证明证明 以以 A A 为原点为原点,AB,AB 为为 x x 轴轴,AD,AD 为为 y y 轴轴,AP,AP 为为 z z 轴轴, ,建立空间直角建立空间直角坐标系坐标系, ,如图所示如图所示. .不妨设 AB=AD=BC=2,则 D(0,2,0),E(2,1,0),A(0,0,0),C(2,4,0),=(2,-1,0),=(2,4,0),=4-4+0=0,DEAC.PA平面 ABCD,DE平面 ABCD,DEPA.PAAC=A,DE平面 PAC.(2)解 设 P(0,0,t)(t>0),=(0,0,t),=(2,4,0),=(2,1,-t),设平面 PAC 的法向量 n=(x,y,z),则取 x=2,得 n=(2,-1,0),直线 PE 与平面 PAC 所成角的正弦值为,解得 t=1 或 t=-1(舍),P(0,0,1),=(2,4,-1),=(0,2,-1),设平面 PCD 的法向量 m=(a,b,c),则取 b=1,得 m=(-1,1,2),设二面角 A-PC-D 的平面角为 ,则 cos =.13 / 13二面角 A-PC-D 的平面角的余弦值为.