高考数学一轮总复习 专题32 简单的递推数列检测 文.doc

1 / 27【2019【2019最新最新】精选高考数学一轮总复习精选高考数学一轮总复习 专题专题3232 简单的递推数列检测简单的递推数列检测 文文 【学习目标】了解递推公式是给出数列的一种方法，掌握几种简单的将递推数列问题转化化归为特殊数列(等差数列、等比数列等)的方法与途径，从而培养并提升学生的转化化归思想和能力【知识要点】1递推数列的概念如果已知数列an的第1项(或前k项)，且任一项an与它的前一项(或前若干项)间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的_；由递推公式确定的数列叫做递推数列2已知数列的递推关系求通项一般有三种途径：一是归纳、猜想，二是转化化归为等差、等比数列；三是逐项迭代【方法总结】递推数列求通项的特征归纳：(1)累加法：an1anf(n).(2)累乘法：f(n).(3)化归法：(常见)an1AanB(A0，A1)an1A(an)；an2pan1qanan2an1(p)·(an1an)；an1panpn11.(4)归纳法：计算a2，a3，a4呈现关于项数2，3，4的规律特征.(5)迭代法：an1pan或an1a或an1panf(n)等.【高考模拟】一、单选题 1已知数列满足，若恒成立，则的最小值为（ ）2 / 27A 0 B 1 C 2 D 【答案】D【解析】【分析】由，可得，利用裂项相消法可得结果.【详解】由题意知，由，得，恒成立，故最小值为，故选D.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2（2017·××市一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，若数列满足，且，则（ ）A 2 B -2 C 6 D -6【答案】C【解析】【分析】3 / 27是周期数列且周期为，因此，利用题设的函数解析式可求函数值【点睛】（1）当从数列的递推关系无法求通项时，可以从先计算数列的若干初始项，找出规律后可得通项（必要时用数学归纳法证明）（2）对于奇函数（或偶函数），若已知的解析式，则当的时的解析为（偶函数时为）3已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）A 数列的前项和为 B 数列的通项公式为C 数列为递增数列 D 数列是递增数列【答案】C【解析】【分析】方法一：根据数列的递推公式可得是以5为首项，以5为等差的等差数列，可得Sn=，an=，即可判断，方法二：当n=1时，分别代入A，B，可得A，B错误，当n=2时，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2+a2=0，可得a2=，故D错误，【详解】方法一：an+5Sn1Sn=0，SnSn1+5Sn1Sn=0，Sn0，=5，4 / 27a1=，=5，是以5为首项，以5为等差的等差数列，=5+5（n1）=5n，Sn=，当n=1时，a1=，当n2时，an=SnSn1=，an=，故只有C正确，方法二：当n=1时，分别代入A，B，可得A，B错误，当n=2时，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2+a2=0，可得a2=，故D错误，故选：C【点睛】已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.4设的三边长分别为，的面积为，若，则（ ）A 为递减数列B 为递增数列C 为递增数列，为递减数列5 / 27D 为递减数列，为递增数列【答案】B【解析】【详解】b1=2a1c1且b1c1，2a1c1c1，a1c1，b1a1=2a1c1a1=a1c10，b1a1c1，又b1c1a1，2a1c1c1a1，2c1a1，由题意，+an，bn+1+cn+12an=（bn+cn2an），bn+cn2an=0，bn+cn=2an=2a1，bn+cn=2a1，由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上，又由题意，bn+1cn+1=，=a1bn，bn+1a1=，bna1=，cn=2a1bn=，=单调递增（可证当n=1时0）故选：B【点睛】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题.5已知数列的首项，满足，则A B C D 【答案】C6 / 27【解析】【分析】由 ,两式相加可得，利用“累加法”可得结果.【详解】,两式相加有；且，故答案为C.【点睛】由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法.6已知数列的任意连续三项的和是18，并且，那么（ ）A 10 B 9 C 5 D 4【答案】D【解析】分析：由题 ，可导出.详解：由题 ，则由，可得 ，由此可得.7 / 27故 故选D.点睛：本题考查由数列的递推关系得到数列的有关性质，是基础题.7已知数列中，则等于（ ）A B C -1 D 2【答案】C【解析】【分析】根据前几项，确定数列的周期，然后求解数列的项【详解】数列an满足，可得a2=1，a3=2，a4=，所以数列的周期为3，=a3×672+2= a2=1，故选：C【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项8在数列中，若，则的值A B C D 【答案】A点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键8 / 27，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.9在数列中，依次计算，后，猜想的表达式是（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：由题意，分别求解出，由此可以猜想，得到数列的表达式.详解：由题意，数列中，所以 由此可推测数列的表达式为，故选A.点睛：本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中根据数列的递推关系式，准确求解数列的的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10在数列中，则等于A B C D 【答案】D【解析】分析：已知逐一求解。详解：已知逐一求解。故选D点睛：对于含有的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律。11在数列中，则的值为（ ）A B 5 C D 以上都不对【答案】B【解析】分析：逐一写出前面有限项观察其规律。详解：，故以3为周期的摆动数列，故选B。9 / 27点睛：对于递推表达式不好化简的摆动数列，我们往往逐一写出前面有限项观察其规律，若有周期，利用周期求解。12已知数列满足：，.设，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：由a，可得数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式；把数列的通项公式代入，结合数列bn是单调递增数列，可得 且对任意的恒成立，由此求得实数的取值范围详解：数满足：， 化为数列是等比数列，首项为，公比为2， ， ，且数列是单调递增数列， ， ，解得 ，由 ，可得 对于任意的*恒成立， ，故答案为：.10 / 27故选B.点睛：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，考查数列的函数特性，是中档题13一给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数列满足.则该函数的图象可能是（ ）A B C D 【答案】D【解析】由得，所以在上都成立，即，所以函数图象都在的下方.故选D.14数列an满足an+1(1)n an 2n1，则an的前64项和为（ ）A 4290 B 4160 C 2145 D 2080【答案】D【解析】分析：令a1=a，由递推式，算出前几项，得到相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值详解：令a1=a，由，可得a2=1+a，a3=2a，a4=7a，a5=a，a6=9+a，a7=2a，a8=15a，a9=a，a10=17+a，a11=2a，a12=24a，11 / 27可得（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+（a61+a63）=2+2+2+2=2×16=32；a2+a6+a10+a62=（1+a）+（9+a）+（121+a）=16（1+a）+×16×15×8=976+16a；a4+a8+a12+a64=（7a）+（15a）+（127a）=16（7a）+×16×15×8=107216a；即有前64项和为32+976+16a +107216a =2080故选：D点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项15已知数列满足，是数列的前项和，则（ ）A B C 数列是等差数列 D 数列是等比数列【答案】B【解析】分析：由，可知数列隔项成等比，再结合等比的有关性质即可作出判断.详解：数列满足，当时，两式作商可得：，数列的奇数项，成等比，偶数项，成等比，对于A来说，错误；对于B来说，12 / 27，正确； 对于C来说，数列是等比数列 ，错误；对于D来说，数列是等比数列，错误，故选：B点睛：本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是隔项成等比数列的方法，注意偶数项的首项与原数列首项的关系.16数列满足，则（ ）A 2 B C D -3【答案】B【解析】分析：由，得，求出前五项，可发现是周期为的周期数列，从而可得.详解：由，得，由得， 由是周期为的周期数列，因为，故选B.点睛：本题主要考查利用递推公式求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）所求项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）所求项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.17已知数列的任意连续三项的和是18，并且，那么（ ）A 10 B 9 C 5 D 413 / 27【答案】D点睛：本题考查由数列的递推关系得到数列的有关性质，是基础题.18设为数列的前项和，则（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：根据和项与通项关系求项之间递推关系，再根据等比数列定义求通项，注意起始项是否满足.详解：当时，,当时，,所以数列从第二项起成等比数列，首项为，公比为3，所以当时，,所以，选C.点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题19设为数列的前项和，且，则_【答案】-601.【解析】【分析】利用把题设中的递推关系化为，由后者可以求出的通项14 / 27【详解】，又，因此即，因此，所以，故，从而 即，故，填【点睛】一般地，数列的通项与前项和之间的关系式，利用它可把含的递推关系转化为只含或只含的递推关系20已知无穷数列具有如下性质：为正整数；对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，.在数列中，若当时，当时，则首项可取数值的个数为_【答案】【解析】【分析】我们用倒推的方式，当时，则或4，即2个；或6或7或8，即4个；或10或11或12或13或14或15或16，即8个，从而可得结论.【详解】【点睛】本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，以及归纳推理的运用，属于难题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列15 / 27等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.21意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数；，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”.那么是斐波那契数列中的第_项【答案】2016【解析】【分析】利用，结合叠加法，即可得出结论.【详解】，.故答案为：2016.【点睛】本题考查斐波那契数列，考查叠加法，考查学生的计算能力，属于中档题.22已知数列与满足，且，则_【答案】【解析】分析：令和，得，令，得，令，得,-得：，利用累加求通项即可.16 / 27详解：由，当,；当,.由，令，得：,令，得：,-得：.从而得：， .上述个式子相加得：.由式可得：，得.所以.故答案为：.点睛：本题主要考虑数列的递推关系求通项，关键在于找到数列与的隔项特征，属于难题.23已知数列的首项，且，则数列的前项的和为_17 / 27【答案】.【解析】分析：先证明为等比数列，求得，利用等比数列求和公式可得结果.详解：由，得，为等比数列，故答案为.点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.24表示不超过的最大整数.若，则_【答案】【解析】分析：先根据条件，观察，的起始数，项数的规律，再根据规律归纳推理，得到的起始数，项数，从而求得详解：第一个等式，起始数为，项数为，第二个等式，起始数为，项数为，18 / 27第三个等式，起始数为，项数为，第个等式，起始数为，项数为，故答案为，点睛：本题是一道归纳推理的题目，需要结合题中的式子正确分析得出解题方法，本题的解题关键是得到的起始数，项数，即可求出答案25已知数列的前项和为，且满足，若，则的最小值为_【答案】-14【解析】分析：由，即 利用等差数列的通项公式可得： 当且仅当时，即可得出结论详解：由由，即数列 为等差数列，首项为-5，公差为1 可得：，当且仅当时，已知 ，则最小值为 即答案为-14.点睛：本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19 / 2726一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下3只羊，则牧羊人在过第1个关口前有_只羊.【答案】18【解析】分析：根据题意，记此牧羊人通过第一个关口前、通过第二个关口前、通过第四个关口前剩下的羊只数能组成数列an（n=1，2，3，4），则问题转化为求a1；结合题中信息可得a2=a1+1，a3=a2+1，a4=a3+1，结合“过完这些关口后，只剩下3只羊”求出a4，进而求出a1.点晴：认真读题，根据牧羊人过关口剩下的羊的只数的特点可以建立数学模型，将问题转化为数列问题进行解答；27在数列中，则数列的前10项的和等于_。【答案】【解析】分析：先根据累加法求出数列的通项公式，然后再根据裂项相消法求数列的前10项和详解：，20 / 27，数列的前10项的和点睛：使用裂项相消法求和时，要注意相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，另外相消后剩余的项有前后对称的特点28设数列的前项和为，已知，猜想_【答案】【解析】分析：令，可求得，由，得，两式相减，得，可依次求出，观察前四项，找出规律，从而可得结果.详解： 中令可求得 由，得，两式相减，得，即，可得 归纳可得，故答案为.点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.29已知数列的前项的和为，满足，则_21 / 27【答案】【解析】分析：由，得，即，则，说明数列是以2为公差的等差数列，求其通项公式，然后利用累加法求出的通项公式得答案.详解：由，得，即，则，数列是以为首项，以2为公差的等差数列，则，；，累加得：，则，.故答案为：.点睛：本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，把已知数列递推式变形是关键，是中档题.30已知数列满足，且，则_【答案】【解析】分析：由已知条件得，从而得到是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出.详解：数列满足，且，22 / 27，又， 是首项为2，公比为2的等比数列，故答案为：.点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用.三、解答题 31设为数列的前项和，已知.（1）证明：为等比数列；（2）求的通项公式，并判断是否成等差数列？【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知可得：a3=7，a3=3a22，解得a2=3，可得an=2an1+1，可得，即可证明（2）由（1）知，可得Sn，an只要计算n+Sn2an=0即可【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题32对任意函数，可按如图所示的程序框图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列，. （）若定义函数，且输入，请写出数列的所有项；（）若定义函数，且输入，求数列的通项公式.【答案】（1）数列只有三项：，.23 / 27(2）.【解析】分析：（）把代入可得；把代入可得；把代入可得，即可得到数列的所有项；（）根据题意，由，求得，又由，化简得，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，即可求解数列的通过公式.详解：（）函数的定义域，把代入可得；把代入可得；把代入可得.所以数列只有三项：，.（）的定义域为，若，则，则，所以，即.所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即数列的通项公式.点睛：本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及等比数列的定义及通项公式的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想方法的应用，试题属于中档试题.33已知正项数列的前项和满足.（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和；（）在（）的条件下，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】分析：（）当时，当时， 24 / 27即是以为首项，以1为公差的等差数列，求出，得到，即可求出数列的通项公式；（）由（）知，利用错位相减法可求数列的前项和；（）由得，则， 利用基本不等式可求实数的取值范围.详解：（）当时，当时， 即是以为首项，以1为公差的等差数列，则. （）由（）知，则从而两式相减得所以 （）由得，则， 当且仅当时，有最大值， .点睛：补充库存数列通项公式的求法，考查错位相减法，考查基本不等式的应用，是中档题.34已知数列满足， （）求数列的通项公式；25 / 27（）设，求【答案】（1） （2）6【解析】分析：（）利用累加法可求数列的通项公式，注意验证是否符合； （）由（）可知由，由则由此可求详解：（）由有时，化简得到而也满足，故. （）由（）可知由，由.点睛：本题考查数列通项公式的求法，以及等差数列的前项和公式的应用，属基础题.35数列满足.（1）计算，并由此猜想通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】（1）；（2）见解析26 / 27（2）当时，结论成立；假设（为大于等于1的正整数）时，结论成立，即，那么当（大于等于1的正整数）时，即时，结论成立，则.点睛：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法36数列满足.（1）计算，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】(1) ；.(2)证明见解析.【解析】分析：（1）将n进行赋值，分别求得前三项的数值，猜想归纳处通项；（2）利用数学归纳法的证明步骤，证明猜想即可.详解：（1）当时，；当时，；当时，；27 / 27由此猜想；（2）证明：当时，结论成立，假设（，且）时结论成立，即，当时， ，当时结论成立，由可知对于一切的自然数，成立. 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等37数列满足.（1）计算；（2）并猜想的通项公式.【答案】(1) ,.(2) .【解析】分析：（1）利用Sn=2nan，代入计算，可得结论；（2）根据（1）中的特例猜想an=（nN*）详解：（1）当时，；当时，；当时，；