高考数学一轮总复习 专题31 数列的概念与通项公式检测 理.doc

1 / 27【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮总复习精选高考数学一轮总复习 专题专题 3131 数列的概念与通项数列的概念与通项公式检测公式检测 理理本专题特别注意：1.归纳法求通项2.项和互化求通项时注意的取值n3.累和法求通项的方法4.累积法求通项的方法5.递推公式求通项的构造【学习目标】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项.4.会用数列的递推关系求其通项公式.【方法总结】1.利用通项公式，应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一，应善于运用函数观点认识数列，用函数的图象与性质研究数列性质.2.给出数列的常见途径有：列举、通项公式和递推关系式.3.应用公式 an是求数列通项公式或递推关系式的常用方法之一，同时应注意2 / 27验证 a1 是否符合一般规律.11(1)(2)nnS nSSn 【高考模拟】一、单选题1已知数列满足， ， ， ，若恒成立，则的最小值为（ ）A 0 B 1 C 2 D 【答案】D【解析】【分析】由，可得，利用裂项相消法可得结果.【详解】【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3） ；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2 （2017·××市一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，若数列满足，且，则（ ）A 2 B -2 C 6 D -6【答案】C3 / 27【解析】【分析】是周期数列且周期为，因此，利用题设的函数解析式可求函数值【详解】【点睛】（1）当从数列的递推关系无法求通项时，可以从先计算数列的若干初始项，找出规律后可得通项（必要时用数学归纳法证明） （2）对于奇函数（或偶函数） ，若已知的解析式，则当的时的解析为（偶函数时为） 3已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）A 数列的前项和为 B 数列的通项公式为C 数列为递增数列 D 数列是递增数列【答案】C【解析】【分析】方法一：根据数列的递推公式可得是以 5 为首项，以 5 为等差的等差数列，可得 Sn=，an=，即可判断，方法二：当 n=1 时，分别代入 A，B，可得 A，B 错误，当 n=2 时，a2+5a1（a1+a2）=0，即 a2+a2=0，可得 a2=，故 D 错误，4 / 27【详解】当 n=1 时，a1=，当 n2 时，an=SnSn1=，an=，故只有 C 正确，方法二：当 n=1 时，分别代入 A，B，可得 A，B 错误，当 n=2 时，a2+5a1（a1+a2）=0，即 a2+a2=0，可得 a2=，故 D 错误，故选：C【点睛】已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.4设的三边长分别为，的面积为，若， ，则（ ）A 为递减数列B 为递增数列C 为递增数列，为递减数列D 为递减数列，为递增数列【答案】B【解析】5 / 27【分析】由 an+1=an 可知AnBnCn 的边 BnCn 为定值 a1，由 bn+1+cn+12a1=及b1+c1=2a1 得 bn+cn=2a1，则在AnBnCn 中边长 BnCn=a1 为定值，另两边AnCn、AnBn 的长度之和 bn+cn=2a1 为定值，由此可知顶点 An 在以 Bn、Cn 为焦点的椭圆上，根据 bn+1cn+1=，得 bncn=，可知 n+时 bncn，据此可判断AnBnCn 的边 BnCn 的高 hn 随着 n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案【详解】【点睛】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题.5已知数列的首项，满足，则A B C D 【答案】C【解析】【分析】由 ,两式相加可得，利用“累加法”可得结果.【详解】【点睛】由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列） ；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数6 / 27列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法. 6已知是等差数列的前项和，则“对恒成立”是“数列为递增数列”的（ ）.A 充分必要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必条件【答案】A【解析】分析：根据题意先证充分性，再证必要性。详解：由题可得，化简可得,即所以即恒成立点睛：本题主要考查充分必要条件，以及等差数列的通项公式和前 n 项和公式，由得到即是证明充分性的关键，作差化简得，是证明必要性的关键，属于中档题。7已知数列的任意连续三项的和是 18，并且，那么（ ）A 10 B 9 C 5 D 4【答案】D【解析】分析：由题 ， ，可导出.详解：由题 ，则由，可得 7 / 27，由此可得.故 故选 D.点睛：本题考查由数列的递推关系得到数列的有关性质，是基础题.8已知数列的通项为，则数列的最大值为（ ）A B C D 不存在【答案】C【解析】点睛：本题考查了数列中项的最值问题、考查了对勾函数的图象与性质，属于基础题9已知数列中， ， ，则等于（ ）A B C -1 D 2【答案】C【解析】【分析】根据前几项，确定数列的周期，然后求解数列的项【详解】数列an满足， ，可得 a2=1，a3=2，a4=，所以数列的周期为 3，=a3×672+2= a2=1，故选：C8 / 27【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项10数列的一个通项公式为（ ）A B C D 【答案】C点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用处理.11在数列中，若， ，则的值A B C D 【答案】A【解析】分析：由叠加法求得数列的通项公式，进而即可求解的和.详解：由题意，数列中， ，9 / 27则，所以所以，故选 A.点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.12在数列中， ， ， ，依次计算， ，后，猜想的表达式是（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：由题意，分别求解出，由此可以猜想，得到数列的表达式.点睛：本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中根据数列的递推关系式，准确求解数列的的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.13如图所示的三角形数阵满足：其中第一行共有一项是，第二行共有二项是，第三行共有三项是， ， ，依此类推第行共有项，若该数阵的第 15 行中的第 5 个数是，则（ ）A 105 B 109 C 110 D 215【答案】B【解析】分析：由题意，根据三角形数阵的数字的排列规律，利用等差数列的求和公式，可计算得出第 14 行的最后一个数字，从而求得第 15 行的第 5 个数字的值. 10 / 27详解：由题意，三角形数阵中可知，第一行有 1 个数字，第二行有 2 个数字，第三行由 3 个数字， ，第行有个数字，由等差数列的前项和公式可得前共有个数字，即第 14 行的最后一个数字为，所以第 15 行的第 1 个数字为，第 15 行的第 5 个数字为，故选 B.点睛：本题主要考查了数表、数阵数列的应用，其中根据数表、数阵数列的数字排列规律，合理利用等差、等比数列的通项公式和前项和公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能，以及转化与化归思想的应用.14在数列中，=1， ，则的值为 （ ）A 512 B 256 C 2048 D 1024【答案】D【解析】分析：由，所以是等比数列，所以，公比，列出通项公式求解即可。点睛：后一项为前一项的常数倍，那么此数列为等比数列。15在数列中， ，则等于A B C D 【答案】D【解析】分析：已知逐一求解。详解：已知逐一求解。故选 D点睛：对于含有的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律。11 / 2716已知，给出 4 个表达式：，.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，的通项公式的是（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：逐一写出为可以逐一写出为排除详解：逐一写出为可以，逐一写出为不满足，故选 A。点睛：分奇数、偶数的摆动数列，我们往往逐一写出前面有限项观察其规律 17已知数列满足：，.设， ，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B详解：数满足：， ， 化为数列是等比数列，首项为，公比为 2， ，12 / 27故选 B.点睛：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，考查数列的函数特性，是中档题18一给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数列满足.则该函数的图象可能是（ ）A B C D 【答案】D【解析】由得，所以在上都成立，即， ，所以函数图象都在的下方.故选 D.13 / 2719已知数列的通项为，则数列的最大值为（ ）A B C D 不存在【答案】C点睛：本题考查了数列中项的最值问题、考查了对勾函数的图象与性质，属于基础题20已知数列an满足 a10，an1an2n，那么 a2018 的值是( )A 2 0182 B 2 019×2 018 C 2 017×2 018 D 2 016×2 017【答案】C【解析】分析：先利用累加法求数列的通项，再求 a2018 的值.详解：由题得 an1-an=2n，所以，所以.故 a2018=2017×2018. 点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累加法”求通项.21如图所示的数阵中，用表示第行的第个数，则依次规律为（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：在数阵中找出规律，每行中除两端数外其余数字等于上一行两14 / 27数字和点睛：本题考查了数列中数阵的规律，找出内在规律是本题关键。22已知数列满足， ，是数列的前项和，则（ ）A B C 数列是等差数列 D 数列是等比数列【答案】B【解析】分析：由，可知数列隔项成等比，再结合等比的有关性质即可作出判断.详解：数列满足， ，当时，两式作商可得：，数列的奇数项，成等比，偶数项，成等比，对于 A 来说， ，错误；对于 B 来说，正确；对于 C 来说，数列是等比数列 ，错误；对于 D 来说，数列是等比数列，错误，故选：B点睛：本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是隔项成等比数列的方法，注意偶数项的首项与原数列首项的关系.15 / 2723数列的一个通项公式是A B C D 【答案】C点晴：解决该试题的关键是理解给出的前几项与项数之间的关系，然后归纳推理得到结论，体现了数列的归纳猜想思想的运用。24数列满足， ，则（ ）A 2 B C D -3【答案】B【解析】分析：由，得，求出前五项，可发现是周期为的周期数列，从而可得.点睛：本题主要考查利用递推公式求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）所求项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）所求项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.25函数，定义数列如下：， ，若给定的值，得到无穷数列满足：对任意正整数，均有，则的取值范围是（ ） A B C D 【答案】A【解析】分析：先求必要条件或，再探究充分性，可举反例舍去选项.详解：由，得，或，而时， ，所以舍去 B,D16 / 27时， ， ，舍去 C，选点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则” 、 “若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件26已知数列中，若，则该数列的通项公式（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：由 a1=2，an+1=3an+2，变形为：an+1+1=3（an+1） ，利用等比数列的通项公式即可得出点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验 n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.27设，是的前项和.若是递增数列，且对任意，存在，使得.则的取值范围是（ ）A B C D 17 / 27【答案】D【解析】分析：若等价于，分类讨论的值使其满足不等式。点睛：对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：恒成立1、恒成立，等价于2、使得成立，等价于28大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第 20 项为A 180 B 200 C 128 D 162【答案】B【解析】分析：列举法，一一的写出来即可详解：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60,72,84,98,112，128,144,162,180,200，点睛：观察数的规律，当数不多时，用列举法，一一的写出来。 ，当数比较多时，或是无限项时，先用列举法，一一的写出前面有限项，直到能够观察其规律来为止。29已知定义域为正整数集的函数满足，则数列的前项和为（ ）18 / 27A B C D 【答案】A【解析】分析：通过求出，再利用等差数列的求和公式即可求得答案.故答案为：A. 点睛：本题主要考查了数列求和以及通项公式的求法，考查计算能力与分析能力，属于中档题.30已知，观察下列算式：；， ；若，则的值为（ ） A B C D 【答案】C【解析】分析：根据已知中的等式，结合对数的运算性质，可得（） ，进而得到答案.点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） 二、填空题31已知无穷数列具有如下性质：为正整数；对于任意的正整数，当为偶数时， ；当为奇数时，.在数列中，若当时， ，当时， ，则首项可取数值的个数为_【答案】【解析】19 / 27【分析】我们用倒推的方式，当时， ，则或 4，即 2 个；或 6 或 7 或 8，即 4 个；或 10 或11 或 12 或 13 或 14 或 15 或 16，即 8 个，从而可得结论.【详解】【点睛】本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，以及归纳推理的运用，属于难题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.32已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】要使函数在时单调递减，则；要使函数在单调递减，则必须满足，又函数在时，单调递减，则，联立解不等式即可得的范围. 【详解】【点睛】20 / 27本题考查了利用分段函数的单调性研究数列的单调性，属于难题. 分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.33意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数；，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”.那么是斐波那契数列中的第_项【答案】2016【解析】【分析】利用，结合叠加法，即可得出结论.【详解】，.故答案为：2016. 21 / 27【点睛】本题考查斐波那契数列，考查叠加法，考查学生的计算能力，属于中档题.34已知数列与满足，且，则_【答案】利用累加求通项即可.详解：由，当,；当,.由，令，得：,令，得：,-得：.从而得：，.点睛：本题主要考虑数列的递推关系求通项，关键在于找到数列与的隔项特征，属于难题.35已知数列：， ， ， ， ， ， ， ， ，根据它的前 9 项的规律，这个数列的第 30 项为_22 / 27【答案】2.【解析】分析：观察数列的规律：第大项为， ， ，由此能够找到这个数列的第30 项.故答案为.点睛：本题考查归纳推理，解题时要合理分组，探索规律并仔细验证，由特殊到一般推断出数列的规律36已知数列的首项，且，则数列的前项的和为_【答案】.【解析】分析：先证明为等比数列，求得， ，利用等比数列求和公式可得结果.详解：由，得，为等比数列， ， ，故答案为.点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列） ；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.37已知数列满足.记，则数列的前项和=_23 / 27【答案】.【解析】分析：首先从题中所给的递推公式推出数列成等差数列，利用等差数列的通项公式求得，代入题中的条件，可以求得，可以发现是由一个等差数列和一个等比数列对应项积所构成的新数列，用错位相减法求和即可得结果.（2） ，两式相减得：所以，故答案为.点睛：该题考查的是有关数列求和的问题，涉及的知识点有由倒数型的递推公式通过构造等差数列求得通项公式，以及错位相减法求和，在操作的过程中，需要时刻保持头脑清醒，再者就是在求和时，涉及到等比数列求和时，一定要分清项数.三、解答题38设数列满足.（）求及的通项公式;（）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】（）分别令可求出，因为是恒等式，故也成立，两式相减可得，结合前者可得通项.（）用裂项相消法求数列的前项和. 24 / 27【详解】【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.39已知各项都不为零的无穷数列满足: ；(1)证明为等差数列,并求时数列中的最大项:(2)若为数列中的最小项,求的取值范围.【答案】(1)证明见解析，最大项为.(2) .【解析】(1)由 是等差数列,且公差:当时, 数列递减数列,最大项为40设为数列的前项和，已知.（1）证明：为等比数列；（2）求的通项公式，并判断是否成等差数列？【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】25 / 27【分析】（1）由已知可得：a3=7，a3=3a22，解得 a2=3，可得 an=2an1+1，可得，即可证明（2）由（1）知， ，可得 Sn，an只要计算 n+Sn2an=0 即可【详解】（1）证明：， ，是首项为 2 公比为 2 的等比数列.【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题41对任意函数， ，可按如图所示的程序框图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列，. （）若定义函数，且输入，请写出数列的所有项；（）若定义函数，且输入，求数列的通项公式.【答案】 （1）数列只有三项：， ，.(2）.【解析】分析：（）把代入可得；把代入可得；把代入可得，即可得到数列的所有项；（）根据题意，由，求得，又由，化简得，则数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列，即可求解数列的通过公式.26 / 27（）的定义域为，若，则，则，所以，即.所以数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以，即数列的通项公式. 点睛：本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及等比数列的定义及通项公式的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想方法的应用，试题属于中档试题.42已知数列满足，它的前项和为，且，.数列满足，其前项和为，求的最小值.【答案】-225.【解析】分析：可得为等差中项，故数列为等差数列，由， ，列等式解两个基本量，得出的通项公式，再由等差数列的前项和公式得出，将看作二次函数得出最小值。点睛：数列中的五个基本量知三求二。 ，灵活应用公式是快速解题的关键。应用函数的思想，将等差数列的和当作二次型函数对最值进行研究是常见方法。43已知正项数列的前项和满足.（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和；（）在（）的条件下，若对任意恒成立，求实数的取值范围.27 / 27【答案】 （1） （2）【解析】分析：（）当时， ，当时， 即是以为首项，以 1 为公差的等差数列，求出，得到，即可求出数列的通项公式；（）由（）知，利用错位相减法可求数列的前项和；（）由得，则， 利用基本不等式可求实数的取值范围.（）由（）知，则从而两式相减得所以（）由得，则， 当且仅当时，有最大值， .点睛：补充库存数列通项公式的求法，考查错位相减法，考查基本不等式的应用，是中档题.