(全国通用)2022版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题三数列第1讲等差数列与等比数列练习理.pdf

全国通用全国通用 20222022 版高考数学二版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专轮复习专题提分教程第二编专题三数列第题三数列第1 1讲等差数列与等比讲等差数列与等比数列练习理数列练习理第第 1 1 讲讲等差数列与等比数列等差数列与等比数列考情研析考情研析1.1.从具体内容上，主从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的根本计算和根本性要考查等差数列、等比数列的根本计算和根本性质及等差、质及等差、等比数列中项的性质、等比数列中项的性质、判定与证明判定与证明 2.2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为分别为 5 5 分和分和 1212 分分.核心知识回忆核心知识回忆1.1.等差数列等差数列0 01 1a an na a1 1(n n1)1)d da am m(n n(1)(1)通项公式：通项公式：m m)d d.0 02 22 2a an na an n1 1a an n1 1(n nN N*，(2)(2)等差中项公式：等差中项公式：n n2)2)0 03 3S Sn n(3)(3)前前n n项和公式：项和公式：n n a a1 1a an n 2 2nana1 1n n n n1 1 d d2 2.2 2等比数列等比数列-2-2-n n1 1n n0 01 1(1)(1)等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：a an na a1 1q qa am mq qm m.*0 02 2a a2 2(2)(2)等比中项公式：等比中项公式：a aa a(n nN N，n nn n1 1n n1 1n n2)2)(3)(3)等比数列的前等比数列的前n n项和公式：项和公式：nana1 1 q q1 1，n n0 03 3S Sn n a a1 1a an nq qa a1 1 1 1q q q q11 1 1q q 1 1q q.3 3等差数列的性质等差数列的性质(n n，m m，l l，k k，p p均为正均为正整数整数)0 01 1a am ma an na al l(1)(1)假设假设m mn nl lk k，那么，那么a ak k(反之不一定成立反之不一定成立)；特别地，当；特别地，当m mn n2 2p p时，时，0 02 2a am ma an n2 2a ap p.有有(2)(2)假设假设 a an n，b bn n 是等差数列，那么是等差数列，那么 kakan n0 03 3等差数列等差数列tbtbn n(k k，t t是非零常数是非零常数)是是0 04 4S S2 2m m(3)(3)等差数列“依次每等差数列“依次每m m项的和即项的和即S Sm m，0 05 5S S3 3m mS S2 2m m，仍是等差数列，仍是等差数列S Sm m，-3-3-(4)(4)等差数列等差数列 a an n，当项数为，当项数为 2 2n n时，时，S S偶偶S S奇奇S S奇奇a an n0 06 6ndnd，0 07 7，项数为，项数为 2 2n n1 1 时，时，S S奇奇S S偶偶S S偶偶a an n1 1S S奇奇8 8a a中中0 09 9a an n，S S2 2n n 1 1(2(2n n1)1)a an n且且1 10 00 0S S偶偶n nn n1 1.(.(其中其中S S偶偶表示所有的偶数项之和，表示所有的偶数项之和，S S奇奇表示表示所有的奇数项之和所有的奇数项之和)4 4等比数列的性质等比数列的性质(n n，m m，l l，k k，p p均为正均为正整数整数)1 1a am ma an n(1)(1)假假设设m mn nl lk k，那那么么0 0a al la ak k(反之不一定成立反之不一定成立)；特别地，当；特别地，当m mn n2 2p p2 20 02 2时，有时，有a am ma an na ap p.S S偶偶0 03 3q q(公比公比)(其中其中S S(2)(2)当当n n为偶数时，为偶数时，S S奇奇偶偶表示所有的偶数项之和，表示所有的偶数项之和，S S奇奇表示所有的奇数项表示所有的奇数项之和之和)4 4S S2 2m m(3)(3)等比数列“依次等比数列“依次m m项的和，项的和，即即S Sm m，0 00 05 5S S3 3m mS S2 2m m，(，(S Sm m0)成等比数列0)成等比数列S Sm m，-4-4-热点考向探究热点考向探究考向考向 1 1等差数列、等比数列的运算等差数列、等比数列的运算例例1 1(1)(2022陕西榆林高考第三次模拟(1)(2022陕西榆林高考第三次模拟)在等差数列在等差数列 a an n 中，其前中，其前n n项和为项和为S Sn n，且满足假，且满足假设设a a3 3S S5 51212，a a4 4S S7 72424，那么，那么a a5 5S S9 9()A A2424C C4040答案答案C C解析解析a a3 3S S5 56 6a a3 31212，a a4 4S S7 78 8a a4 42424，a a3 32 2，a a4 43 3，a a5 54 4，a a5 5S S9 91010a a5 540.40.应选应选 C.C.(2)(2)在等差数列在等差数列 a an n 中，中，a a4 45 5，a a3 3是是a a2 2和和a a6 6的等比中项，的等比中项，那么数列那么数列 a an n 的前的前 5 5 项的和为项的和为()A A1515C C2525答案答案D D解析解析设公差为设公差为d d，a a3 3为为a a2 2，a a6 6的等比中项，的等比中项，a aa a2 2a a6 6，即，即(a a4 4d d)(a a4 42 2d d)()(a a4 42 2d d)，-5-5-B B3232D D7272B B2020D D1515 或或 25252 23 32 25 5d d(d d2)2)0 0，d d0 0 或或d d2.2.5 5d d5 5 或或 3 3，即即a a3 35 5 或或 3 3，S S5 55 5a a3 32525 或或 15.15.应选应选 D.D.(3)(3)正项数列正项数列 a an n 满足满足a an n1 16 6a an na an n1 1a an n，假设假设2 22 2a a1 12 2，那么数列，那么数列 a an n 的前的前n n项和为项和为_答案答案3 3n n1 1解析解析a an n1 16 6a an na an n1 1a an n，(a an n1 13 3a an n)()(a an n1 12 22 22 2a an n)0 0，a an n00，a an n1 13 3a an n，a an n 为等比为等比n n数列，且首项为数列，且首项为 2 2，公比为，公比为 3 3，S Sn n3 3 1.1.利用等差数列、等比数列的通项公式、前利用等差数列、等比数列的通项公式、前n n项和公式，能够在三个元素的前提下求解另外两项和公式，能够在三个元素的前提下求解另外两个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最根本的量，解题中首先要注意的首项和公比为最根本的量，解题中首先要注意求解最根本的量求解最根本的量1 1在各项为正数的等比数列在各项为正数的等比数列 a an n 中，中，S S2 29 9，S S3 32121，那么，那么a a5 5a a6 6()A A144144B B121121-6-6-C C169169答案答案A AD D148148 a a1 1a a2 29 9，解析解析由题意可知，由题意可知，a a1 1a a2 2a a3 32121，a a1 1 1 1q q 9 9，即即 2 2 a a1 1 1 1q qq q 2121，q q2 2，解得解得 a a1 13 3或或2 2 q q，3 3 a a1 12727(舍去舍去)a a5 5a a6 6a a1 1q q(1(1q q)4 4144.144.应选应选 A.A.2 2(2022辽宁沈阳郊联体高三一模(2022辽宁沈阳郊联体高三一模)我国南我国南北朝时的数学著作北朝时的数学著作?张邱建算经张邱建算经?有一道题为：有一道题为：“今有十等人，“今有十等人，每等一人，每等一人，宫赐金以等次差降之，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？那么在该问题中，五等人与六等各得金几何？那么在该问题中，五等人与六等人所得黄金数之和为人所得黄金数之和为()-7-7-1 1A.A.3 37 7C.C.3 3答案答案C C7 7 B.B.6 66 6 D.D.7 7解析解析设设a an n为第为第n n等人的得金数，那么等人的得金数，那么 a an n 为等差数列，由题设可知为等差数列，由题设可知a a1 1a a2 2a a3 34 4，a a8 8a a9 94 47 7a a10103 3，故，故a a2 2，a a9 91 1，而，而a a5 5a a6 6a a2 2a a9 9.3 33 3应选应选 C.C.3 3(2022安徽太和第一中学高一调研(2022安徽太和第一中学高一调研)定定a an n2 2a an n1 1*义：义：在数列在数列 a an n 中，中，假设满足假设满足d d(n nN N，a an n1 1a an nd d为常数为常数)，称，称 a an n 为“等差比数列在“等差为“等差比数列在“等差a a20222022比数列比数列 a an n 中，中，a a1 1a a2 21 1，a a3 33 3，那么，那么a a20222022()A A4202242022 1 1C C42022420222 21 12 2B B4202242022 1 1D D42022420222 2-8-8-2 2答案答案A Aa a3 3a a2 2解析解析a a1 1a a2 21 1，a a3 33 3，2 2，a a2 2a a1 1 a an n1 1 a an n1 1 是以是以 1 1 为首项，为首项，2 2 为公差的等差数列，为公差的等差数列，a an n a an n 2 2n n1 1，a a20222022a a20222022a a20222022(22022(22022 a a20222022a a20222022a a202220221)(220221)(220221)1)4202242022 1.1.应选应选 A.A.考向考向 2 2等差数列、等比数列的判定与证明等差数列、等比数列的判定与证明例例 2 2数列数列aan n 中，中，a a1 11 1，其前，其前 n n 项的和为项的和为2S2S2 2n n*S Sn n，且满足，且满足 a an n(n2，n(n2，nN N)2S2Sn n1 1 1 1(1)(1)求证：数列求证：数列 是等差数列；是等差数列；S Sn n 2 21 11 11 11 11 1(2)(2)证明：证明：S S1 1S S2 2S S3 3S Sn n .3 35 57 72 2n n1 12 22 2S S2 2n n证明证明(1)(1)当当n n22 时，时，S Sn nS Sn n1 1，S Sn n2 2S Sn n1 1-9-9-1 1 2 2，所以数列，所以数列 是以是以1 1S Sn n2 2S Sn nS Sn n1 1，S Sn nS Sn n1 1 S Sn n 1 11 11 1 为首项，为首项，2 2 为公差的等差数列为公差的等差数列(2)(2)由由(1)(1)可知，可知，(n n1)21)22 2n n1 1，1 11 1S Sn nS S1 11 1所以所以S Sn n.2 2n n1 11 11 11 11 1S S1 1S S2 2S S3 3S Sn n3 35 57 72 2n n1 11 11 11 11 1131335355757 2 2n n1 1 2 2n n1 1 1 11 11 11 11 11 11 1 1 1 3 33 35 55 57 72 2n n1 12 2n n1 1 1 12 21 1 1 11 1 00，q q00，2 23 3a aa a q qa a q qa a q q1515，1 11 1 1 11 14 42 2 a a1 1q q3 3a a1 1q q4 4a a1 1，a a1 11 1，解得解得 q q2 2，a a3 3a a1 1q q2 24.4.应选应选 C.C.-18-18-3 3(2022安徽宣城高三第二次调研(2022安徽宣城高三第二次调研)我国明我国明代珠算家程大位的名著代珠算家程大位的名著?直指算法统宗直指算法统宗?中有如下中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该假减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该假设干？其意思为：设干？其意思为：“今有白米一百八十石，“今有白米一百八十石，甲、甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？请问：乙应该分得得多少白米？请问：乙应该分得_白米白米()A A9696 石石C C6060 石石答案答案C C解析解析今有白米一百八十石，甲、乙、丙三今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石设此等差数列为道甲比丙多分三十六石设此等差数列为 a an n，公差为公差为d d，其前其前n n项和为项和为S Sn n，d dB B7878 石石D D4242 石石a a3 3a a1 136363 31 12 2-19-19-32321818，S S3 33 3a a1 1(18)18)180180，解得解得a a1 178.78.2 2a a2 2a a1 1d d7878181860.60.乙应该分得乙应该分得6060石应选石应选 C.C.4 4(2022全国卷(2022全国卷)记记S Sn n为等差数列为等差数列 a an n 的的前前n n项和项和S S4 40 0，a a5 55 5，那么，那么()A Aa an n2 2n n5 5C CS Sn n2 2n n8 8n n答案答案A A解析解析设等差数列设等差数列 a an n 的首项为的首项为a a1 1，公差为，公差为 a a1 14 4d d5 5，d d.由由S S4 40 0，a a5 55 5 可得可得 4 4a a1 16 6d d0 0，a a1 13 3，d d2.2.2 2B Ba an n3 3n n10101 12 2D DS Sn nn n2 2n n2 2解得解得所以所以a an n3 32(2(n n1)1)2 2n n5 5，S Sn n22n n4 4n n.应选应选 A.A.2 2n n(3)3)n n n n1 1 2 25 5(2022新疆高三第一次诊断(2022新疆高三第一次诊断)数列数列 a an n 为为-20-20-1 1 等差数列，等差数列，a a3 33 3，a a1 1a a2 2a a6 62121，数列数列 的的 a an n 前前n n项和为项和为S Sn n，假设对一切假设对一切n nN N，恒有恒有S S2 2n nS Sn n 那么那么m m能取到的最大正整数是能取到的最大正整数是_答案答案7 7*m m1616，解析解析设数列设数列 a an n 的公差为的公差为d d，由题意得，由题意得，a a1 12 2d d3 3，6 6a a1 11515d d2121，a a1 11 1，解得解得 d d1 1，1 11 11 11 1a an nn n，且，且 ，S Sn n1 1 ，a an nn n2 23 3n n1 11 11 1令令T Tn nS S2 2n nS Sn n，n n1 1n n2 22 2n n1 11 11 1那么那么T Tn n1 1，n n2 2n n3 32 2n n2 21 11 11 11 1即即T Tn n1 1T Tn n 2 2n n2 22 2n n1 1n n1 1 2 2n n2 21 11 10 0，2 2n n2 2n n1 1T Tn n1 1 T Tn n，那么，那么T Tn n随着随着n n的增大而增大，的增大而增大，-21-21-1 11 1即即T Tn n在在n n1 1 处取最小值，处取最小值，T T1 1S S2 2S S1 1，2 2对一切对一切n nN N，恒有，恒有S S2 2n nS Sn n 1 1m m 即可，解得即可，解得m m800，n n0)0)，当且仅当，当且仅当n n2 2m mm mn n 4 4时“成立，时“成立，3 3所以所以 的最小值为的最小值为.m mn n4 4配套作业配套作业一、选择题一、选择题1 1(2022山东德州高三下学期联考(2022山东德州高三下学期联考)在等比在等比1 14 4a a5 5a a7 7数列数列 a an n 中，中，a a1 11 1，8 8，那么，那么a a6 6的值为的值为a a2 2a a4 4()A A4 4C C1616答案答案D D解析解析设等比数列设等比数列 a an n 的公比为的公比为q q，a a1 11 1，B B8 8D D3232a a5 5a a7 7a a1 1 q q4 4q q6 6 8 8，3 38 8，解得，解得q q2 2，那么，那么a a6 6a a2 2a a4 4a a1 1 q qq q 2 2 32.32.应选应选 D.D.2 2等比数列等比数列 a an n 满足满足a a1 1a a2 21 1，a a5 5a a6 64 4，那么，那么-25-25-5 5a a3 3a a4 4()A A2 2C.C.2 2答案答案A A解析解析a a1 1a a2 2，a a3 3a a4 4，a a5 5a a6 6成等比数列，成等比数列，即即(a a3 3a a4 4)2 22 2B B22D D 2 2(a a1 1a a2 2)()(a a5 5a a6 6)，(a a3 3a a4 4)4 4，a a3 3a a4 4与与a a1 1a a2 2符号相符号相同，故同，故a a3 3a a4 42 2，应选，应选 A.A.3 3(2022安徽蚌埠高三下学期第二次检测(2022安徽蚌埠高三下学期第二次检测)等差数列等差数列 a an n 的公差为的公差为d d，假设，假设a a1 11 1，a a2 21 1，a a4 41 1 成以成以d d为公比的等比数列，那么为公比的等比数列，那么d d()A A2 2C C4 4答案答案A A解析解析将将a a1 11 1，a a2 21 1，a a4 41 1 转化为转化为a a1 1，d d的形式为的形式为a a1 11 1，a a1 11 1d d，a a1 11 13 3d d，由于这三，由于这三B B3 3D D5 5a a1 11 1d d个数成以个数成以d d为公比的等比数列，故为公比的等比数列，故a a1 11 1-26-26-a a1 11 13 3d da a1 11 1d dd d，化简得化简得a a1 11 1d d，代入代入a a1 11 1d da a1 11 12 2d dd d，得，得2 2d d，应选，应选 A.A.d d4 4设等差数列设等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，假设，假设S S3 39 9，S S6 63636，那么，那么a a7 7a a8 8a a9 9()A A6363C C3636答案答案B B解析解析解法一：设等差数列解法一：设等差数列 a an n 的公差为的公差为d d，B B4545D D2727 3 3a a1 13232d d9 9，2 2由由S S3 39 9，S S6 63636，得，得 6565 6 6a a1 1d d3636，2 2 a a1 1d d3 3，2 2a a1 15 5d d1212，即即 a a1 11 1，解得解得 d d2 2，所以所以a a7 7a a8 8a a9 93 3a a8 83(3(a a1 17 7d d)3(13(17 72)2)45.45.解法二：由等差数列的性质，知解法二：由等差数列的性质，知S S3 3，S S6 6S S3 3，S S9 9S S6 6成等差数列，即成等差数列，即 9,279,27，S S9 9S S6 6成等差数列，成等差数列，-27-27-所以所以S S9 9S S6 64545，即，即a a7 7a a8 8a a9 945.45.5 5S Sn n为等比数列为等比数列 a an n 的前的前n n项和，假设项和，假设S S3 3，S S9 9，S S6 6成等差数列，那么成等差数列，那么()A AS S6 62 2S S3 31 1C CS S6 6S S3 32 2答案答案C C解析解析设等比数列设等比数列 a an n 的公比为的公比为q q，那么，那么S S6 6(1(1q q3 3)S S3 3，S S9 9(1(1q q3 3q q6 6)S S3 3，因为，因为S S3 3，S S9 9，S S6 6成等差数列，成等差数列，所以所以2(12(1q qq q)S S3 3S S3 3(1(1q q)S S3 3，1 11 1解得解得q q，故，故S S6 6S S3 3.2 22 23 33 36 63 31 1B BS S6 6S S3 32 2D DS S6 62 2S S3 36 6(2022陕西西安高三第一次质检(2022陕西西安高三第一次质检)函数函数y yf f(x x1)1)的图象关于的图象关于y y轴对称，且函数轴对称，且函数f f(x x)在在(1(1，)上单调，假设数列，)上单调，假设数列 a an n 是公差不为是公差不为 0 0 的的等差数列，且等差数列，且f f(a a4 4)f f(a a1818)，那么，那么 a an n 的前的前 2121 项项之和为之和为()-28-28-A A0 0C C2121答案答案C C2525 B.B.2 2D D4242解析解析函数函数y yf f(x x1)1)的图象关于的图象关于y y轴对轴对称，平移可得称，平移可得y yf f(x x)的图象关于的图象关于x x1 1 对称，且对称，且函数函数f f(x x)在在(1(1，)上单调，)上单调，由数列由数列 a an n 是公差是公差不为不为 0 0 的等差数列，且的等差数列，且f f(a a4 4)f f(a a1818)，可得，可得a a4 4a a18182 2，所以，所以a a1 1a a2121a a4 4a a18182 2，可得数列，可得数列 a an n 2121 a a1 1a a2121 的前的前 2121 项和项和S S212121.21.应选应选 C.C.2 2二、填空题二、填空题7 7数列数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，a a1 11,21,2S Sn na an n1 1，那么，那么S Sn n_._.答案答案3 3n n1 1解析解析由由 2 2S Sn na an n1 1得得 2 2S Sn na an n1 1S Sn n1 1S Sn n，所所S Sn n1 1以以 3 3S Sn nS Sn n1 1，即，即3 3，所以数列，所以数列 S Sn n 是以是以S S1 1S Sn na a1 11 1 为首项，为首项，q q3 3 为公比的等比数列，所以为公比的等比数列，所以S Sn n-29-29-3 3n n1 1.8 8设等比数列设等比数列 a an n 满足满足a a1 1a a2 21 1，a a1 1a a3 33 3，那么，那么a a4 4_._.答案答案8 8解析解析设等比数列设等比数列 a an n 的公比为的公比为q q，a a1 1a a2 21 1，a a1 1a a3 33 3，a a1 1(1(1q q)1 1，a a1 1(1(1q q)3.3.a a1 1a a2 210，10，q q1 1，即，即 1 1q q0.0.，得，得 1 1q q3 3，q q2.2.a a1 11 1，a a4 42 2a a1 1q q1(1(2)2)8.8.9 9(2022山西太原第五中学高三阶段检测(2022山西太原第五中学高三阶段检测)各项均为正数的数列各项均为正数的数列 a an n 和和 b bn n 满足：满足：a an n，b bn n，a an n1 13 33 3成等差数列，成等差数列，b bn n，a an n1 1，b bn n1 1成等比数列，且成等比数列，且a a1 11 1，a a2 23 3，那么数列，那么数列 a an n 的通项公式为的通项公式为_答案答案a an nn n n n1 1 2 2解解析析由由题题设设可可得得a an n 1 1b bn nb bn n1 1，a an n-30-30-b bn nb bn n1 1，得得 2 2b bn na an na an n1 12 2b bn nb bn nb bn n1 1b bn nb bn n1 1，即即 2 2b bn nb bn n1 1b bn n1 1，又，又a a1 11 1，a a2 23 32 2b b1 14 4b b1 12 2，那么那么 b bn n 是首项为是首项为 2 2的等差数列的等差数列由由a a9 9得得b b2 2 ，那么数列那么数列 b bn n 的公差的公差d db b2 2b b1 1b b1 12 23 3 2 22 22 22 2，所以，所以b bn n2 2(n n1)1)2 22 22 22 2 n n1 1 n n1 1，即，即b bn n.当当n n1 1 时，时，b b1 1 2 2，2 22 2当当n n22 时，时，b bn n1 12 22 2n n2 2，那么，那么a an nb bn nb bn n1 1n n n n1 1 2 2，a a1 11 1 符合上式，符合上式，所以数列所以数列 a an n 的通项公的通项公式为式为a an nn n n n1 1 2 2.1 11 11 11010数列数列 a an n 满足满足a a1 12 2a a2 2n na an n3 3n n3 33 33 31 1，那么，那么a an n_，a a1 1a a2 2a a3 3a an n_._.-31-31-答答案案 1212，n n1 1，n n1 1 3 3，n n221212，n n1 1，n n2 2 3 33 3，n n22 2 21 1解析解析由题意可得，当由题意可得，当n n1 1 时，时，a a1 14 4，解，解3 31 11 11 1得得a a1 112.12.当当n n22 时，时，a a1 12 2a a2 2n n1 1a an n1 13 33 33 31 13 3n n2 2，所以，所以n na an n3 3，n n2，即2，即a an n3 3n n1 1，n n2，2，3 3又又当当n n1 1 时时，a an n3 3 1212，n n1 1，n n1 1 3 3，n n2.2.n n 1 1不不成成立立，所所以以a an n当当n n22 时，时，a a1 1a a2 2a an n12123 33 33 3n n2 23 3n n2 23 3.1 13 32 2三、解答题三、解答题1111(2022广东茂名五大联盟学校高三(2022广东茂名五大联盟学校高三 3 3 月月1 1联考联考)设数列设数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，且满足且满足a an nS Sn n2 2-32-32-1 10(0(n nN N)(1)(1)求数列求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；(2)(2)是否存在实数是否存在实数，使得数列，使得数列 S Sn n(n n2 2)为等差数列？假设存在，求出为等差数列？假设存在，求出的值；假的值；假设不存在，请说明理由设不存在，请说明理由1 1解解(1)(1)由由a an nS Sn n1 10(0(n nN N*)，可知当，可知当n n2 21 1 时，时，1 11 1a a1 1a a1 11 10 0，即，即a a1 12.2.又由又由a an nS Sn n1 12 22 20(0(n nN N)1 1可得可得a an n1 1S Sn n1 11 10 0，2 2 1 11 1两式相减，得两式相减，得 a an n1 1S Sn n1 11 1 a an nS Sn n1 1 2 22 2 *n n0 0，1 1即即a an n1 1a an n0 0，即，即a an n1 12 2a an n.2 2所以数列所以数列 a an n 是以是以 2 2 为首项，为首项，2 2 为公比的等比为公比的等比-33-33-数列，数列，故故a an n2 2(n nN N)n n*a a1 1 1 1q q n n(2)(2)由由(1)(1)知，知，S Sn n2(22(2 1)1)，1 1q q所以所以S Sn n(n n2 2)2(22(2 1)1)(n n2 2)假设数列假设数列 S Sn n(n n2 2)为等差数列，为等差数列，那么那么S S1 1(1(12)2)，S S2 2(2(22 2)，S S3 3(3(32 2)成等差数列，成等差数列，即有即有 22S S2 2(2(22 22 2)S S1 1(1(12)2)S S3 3(3(32 2)，即即 2(62(66 6)(2(23 3)(14(141111)，解，解得得2.2.经检验经检验2 2 时，时，S Sn n(n n2 2)成等差成等差数列，故数列，故的值为的值为2.2.1212(2022江西上饶市高三二模(2022江西上饶市高三二模)首项为首项为 1 1的等比数列的等比数列 a an n 满足满足a a2 2a a4 43(3(a a1 1a a3 3)，等差数列等差数列 b bn n 满足满足b b1 1a a2 2，b b4 4a a3 3，数列，数列 b bn n 的前的前n n项和为项和为n n3 33 32 2n nn nn nn nn nS Sn n.-34-34-(1)(1)求数列求数列 a an n，b bn n 的通项公式；的通项公式；c c1 1c c2 2c c3 3c cn n(2)(2)假设数列假设数列 c cn n 满足满足a a1 1a a2 2a a3 3a an nS Sn n，求，求 c cn n 的前的前n n项和项和T Tn n.解解(1)(1)设设 a an n 的通项公式为的通项公式为a an na a1 1q q3 32 2n n1 1，a a1 1q qa a1 1q q3(3(a a1 1a a1 1q q)，q q3.3.a a1 11 1，a an n3 3n n1 1，a a2 23 3，a a3 39 9，b b1 13 3，b b4 49.9.设设 b bn n 的公差为的公差为d d，d d2 2n n1.1.(2)(2)b bn n2 2n n1 1，S Sn n2 2n n，b b4 4b b1 13 32 2，b bn nn n 3 32 2n n1 1 2 2n n2 2c c1 1当当n n1 1，3 3，c c1 13 3，a a1 1c c1 1c c2 2c cn n2 2当当n n2，2，n n2 2n n，a a1 1a a2 2a an nc c1 1c c2 2c cn n1 12 2(n n1)1)2(2(n n1)1)，a a1 1a a2 2a an n1 1-35-35-c cn n两式相减，得两式相减，得 2 2n n1 1，c cn n(2(2n n1)31)3n na an n1 1，经检验，经检验，n n1 1 时上式也成立时上式也成立综上，综上，c cn n(2(2n n1)31)3n n1 1，n nN N*.T Tn n3333 5353(2(2n n1)31)3，3 3T Tn n3333 5353(2(2n n1)31)3，两式相减两式相减 2 2T Tn n3 3(2(2n n1)31)3 2323 2323 23232 21 12 20 01 1n n1 1n nn n1 1n n 1 1 3 3 (2(2n n 1)31)3 n n6 6 1 13 3n n1 1 n n2 2n n33.1 13 3T Tn nn n33.1313数列数列 a an n 的各项均为正数，记数列的各项均为正数，记数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，数列，数列 a an n 的前的前n n项和为项和为T Tn n，且，且3 3T Tn nS Sn n2 2S Sn n，n nN N.(1)(1)求求a a1 1的值；的值；(2)(2)求数列求数列 a an n 的通项公式的通项公式解解(1)(1)由由 3 3T T1 1S S2 2S S1 1，得得 3 3a aa a2 2a a1 1，即即2 21 12 21 12 21 12 2*2 2n na aa a1 10.0.-36-36-2 21 1因为因为a a1 100，所以，所以a a1 11.1.(2)(2)因为因为 3 3T Tn nS Sn n2 2S Sn n，所以所以 3 3T Tn n1 1S Sn n1 12 2S Sn n1,1,，得得 3 3a an n1 1S Sn n1 1S Sn n2 2a an n1 1，即即 3 3a an n1 1(S Sn na an n1 1)2 2S S2 2n n2 2a an n1 1.因为因为a an n1 100，所以所以a an n1 1S Sn n1,1,所以所以a an n2 2S Sn n1 11,1,，得，得a an n2 2a an n1 1a an n1 1，即，即a an n2 22 2a an n1 1，2 22 22 22 22 22 2a an n1 1所以当所以当n n22 时，时，2.2.a an n2 22 2又由又由 3 3T T2 2S S2 22 2S S，得，得 3(13(1a a)(1(1a a)2 22 22 22 22(12(1a a2 2)，即即a a2 2a a2 20.0.2 22 2a a2 2因为因为a a2 200，所以，所以a a2 22 2，所以，所以 2 2，所以对，所以对a a1 1a an n1 1任意的任意的n nN N，都有，都有2 2 成立，所以数列成立，所以数列 a an n a an n*的通项公式为的通项公式为a an n2 2n n1 1，n nN N.*1414(2022河北省中原名校联盟高三联考(2022河北省中原名校联盟高三联考)-37-37-1 1正项等比数列正项等比数列 a an n 中，中，a a1 1，且，且a a2 2，a a3 3，a a4 41 1 成成2 2等差数列等差数列(1)(1)求数列求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；1 1 的前的前(2)(2)假设假设b bn n2log2log2 2a an n4 4，求数列，