高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数的再研究与幂函数教师用书文北师大版.doc

1第四节第四节 二次函数的再研究与幂函数二次函数的再研究与幂函数考纲传真 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数yx，yx2，yx3，y ，yx的图像，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图像1 x和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x)ax2bxc(a0)；顶点式：f (x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f (x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f (x)的零点(2)二次函数的图像与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图像定义域R R值域4acb2 4a，)(，4acb2 4a单调性在上减，(，b 2a在上增b 2a，)在上增，(，b 2a在上减b 2a，)对称性函数的图像关于x对称b 2a2.幂函数(1)定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称为幂函数(2)五种常见幂函数的图像与性质yxyx2yx3yx1 2yx12图像定义域R RR RR Rx|x0x|x0值域R Ry|y0R Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)二次函数yax2bxc，xR R，不可能是偶函数( )(2)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.( )4acb2 4a(3)幂函数的图像一定经过点(1,1)和点(0,0)( )(4)当n0 时，幂函数yxn在(0，)上是增函数( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)2(教材改编)已知幂函数f (x)x的图像过点(4,2)，若f (m)3，则实数m的值为( )A. B±33C± D99D D 由题意可知 4222，所以 .1 2所以f (x)x，1 2x故f (m)3m9.m3已知函数f (x)ax2x5 的图像在x轴上方，则a的取值范围是( )【导学号：66482042】A. B(0，1 20)(，1 20)C. D(1 20，)(1 20，0)C C 由题意知Error!即Error!得a.1 204(2017·贵阳适应性考试(二)二次函数f (x)2x2bx3(bR R)零点的个数是( )3【导学号：66482043】A0 B1 C2 D4C C 因为判别式b2240，所以原二次函数有 2 个零点，故选 C.5若二次函数yax2bxc的图像与x轴交于A(2,0)，B(4,0)且函数的最大值为 9，则这个二次函数的表达式是_.【导学号：66482044】yx22x8 设ya(x2)(x4)，对称轴为x1，当x1 时，ymax9a9，a1，y(x2)(x4)x22x8.求二次函数的解析式已知二次函数f (x)满足f (2)1，f (1)1，且f (x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式解 法一(利用一般式)：设f (x)ax2bxc(a0). 2 分由题意得Error!8 分解得Error!所求二次函数为f (x)4x24x7. 12 分法二(利用顶点式)：设f (x)a(xm)2n.f (2)f (1)，抛物线的图像的对称轴为x . 3 分21 21 2m .又根据题意函数有最大值 8，n8.1 2yf (x)a28. 8 分(x1 2)f (2)1，a281，解得a4，(21 2)f (x)4284x24x7. 12 分(x1 2)4法三(利用零点式)：由已知f (x)10 的两根为x12，x21，2 分故可设f (x)1a(x2)(x1)，即f (x)ax2ax2a1. 6 分又函数的最大值是 8，即8，4a2a1a2 4a解得a4，所求函数的解析式为f (x)4x24x7. 12 分规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下变式训练 1 已知二次函数f (x)的图像经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR R，都有f (2x)f (2x)，求f (x)的解析式解 f (2x)f (2x)对xR R 恒成立，f (x)的对称轴为x2. 2 分又f (x)的图像被x轴截得的线段长为 2，f (x)0 的两根为 1 和 3. 6 分设f (x)的解析式为f (x)a(x1)(x3)(a0)又f (x)的图像过点(4,3)，3a3，a1. 10 分所求f (x)的解析式为f (x)(x1)(x3)，即f (x)x24x3. 12 分二次函数的图像与性质角度 1 二次函数图像的识别及应用(1)设abc0，则二次函数f (x)ax2bxc的图像可能是( )A B C D(2)已知函数f (x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f (x)0 成立，则5实数m的取值范围是_(1)D D (2) (1)由 A，C，D 知，f (0)c0.(22，0)abc0，ab0，对称轴x0，知 A，C 错误，D 符合要求由 B 知f (0)b 2ac0，ab0，x0，B 错误b 2a(2)作出二次函数f (x)的图像，对于任意xm，m1，都有f (x)0，则有Error!即Error!解得m0.22角度 2 二次函数的最值问题(1)(2017·广西一模)若xlog521，则函数f (x)4x2x13 的最小值为( )【导学号：66482045】A4 B3 C1 D0(2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f (x)x22ax1a在区间0,1上的最大值为 2，则a的值为( )A2 B1 或3C2 或3 D1 或 2(1)A A (2 2)D D (1)xlog521log52xlog5512x ，1 5令t2x，则有yt22t3(t1)24，(t1 5)当t1 ，即x0 时，f (x)取得最小值4.故选 A.1 5(2)函数f (x)(xa)2a2a1 图像的对称轴为xa，且开口向下，分三种情况讨论如下：当a0 时，函数f (x)x22ax1a在区间0,1上是减函数，f (x)maxf (0)1a，由 1a2，得a1.当 0a1 时，函数f (x)x22ax1a在区间0，a上是增函数，在a,1上是减函数，f (x)maxf (a)a22a21aa2a1，6由a2a12，解得a或a.0a1，两个值都不满足，舍去1 521 52当a1 时，函数f (x)x22ax1a在区间0,1上是增函数，f (x)maxf (1)12a1a2，a2.综上可知，a1 或a2.角度 3 二次函数中的恒成立问题已知a是实数，函数f (x)2ax22x3 在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_由题意知 2ax22x30 在1,1上恒成立(，1 2)当x0 时，适合；当x0 时，a2 .3 2(1 x1 3)1 6因为 (，11，)，当x1 时，右边取最小值 ，所以a .1 x1 21 2综上，实数a的取值范围是.(，1 2)规律方法 1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成2由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是af (x)af (x)max，af (x)af (x)min.幂函数的图像与性质(1)幂函数yf (x)的图像过点(4,2)，则幂函数yf (x)的图像是( )A B C D(2)已知幂函数f (x)xm22m3(mN N*)的图像关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则m的值为_(1)C C (2)1 (1)令f (x)x，则 42， ，1 2f (x)x.1 27(2)f (x)在(0，)上是减函数，m22m30，解得1m3.又mN N*，m1 或m2.由于f (x)的图像关于y轴对称m22m3 的值应为偶数，又当m2 时，m22m3 为奇数，m2 舍去因此m1.规律方法 1.幂函数的形式是yx(R R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式2若幂函数yx(R R)是偶函数，则必为偶数当是分数时，一般将其先化为根式，再判断3若幂函数yx在(0，)上递增，则0，若在(0，)上递减，则0.变式训练 2 (1)设a0.5 ，b0.9 ，clog50.3，则a，b，c的大小关系是( )1 21 4【导学号：66482046】Aacb BcabCabc Dbac(2)若(a1) (32a) ，则实数a的取值范围是_1 21 2(1)D D (2) (1)a0.5 0.25 ，b0.9 ，所以根据幂函数的性质知1，2 3)1 21 41 4ba0，而clog50.30，所以bac.(2)易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以Error!解得1 21a .2 3思想与方法1二次函数的三种形式的选法(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x)更方便2研究二次函数的性质要注意8(1)结合图像分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论3利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较4幂函数yx(R R)图像的特征>0 时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；0 时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立易错与防范1对于函数yax2bxc，若是二次函数，就隐含着a0，当题目条件中未说明a0 时，就要分a0，a0 两种情况讨论2幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点